直线与椭圆相切
切线方程
1、已知直线l 过点(4,0)，且与椭圆22
143
x y +=相切，求直线l 的方程
解：设直线l 的方程：(4)y k x =-
联立直线与椭圆得：22(4)143
y k x x y =-???+=?? 消y 整理得：2222(34)324(163)0k x k x k +-+-=
直线l 与椭圆相切，2222(32)4(34)4(163)0k k k ?=--+?-= 解得：12
k =± 直线l 的方程：1(4)2y x =±
- 即122y x =-或122y x =-+
设所求直线方程为：y=k*(x-4) 把直线方程代入椭圆x^2/4+y^2/3=1之中,可以得到关于x 的二元一次方程： (4*k^2+3)*x^2-(32k^2)*x+64k^2-12=0
令方程的判别式=0 得到k=-1/2或1/2即为直线的斜率.
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问题 1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y kx m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于,P Q 两点，求弦长 ||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： 222222 ,, y kx m b x a y a b =+??+=?消去y 整理成关于x 的一元二次方程：2 0Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，2 40B AC ?=->；由韦达定理得：12,B x x A +=- 12,C x x A = 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而 ||PQ === =【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：2 0Ay By C ，则 ||PQ ==反斜截式 22 (1) m A 】 3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2 a b c S rp p 这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、 短半轴长和焦半距，则有θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及题设可得： 24c o s 816)22(422 2 =-??α ，解得 αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴， 直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π ，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的 方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为 1)1() 3(2 2 2 2 =-+ --b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线 为Y 轴，故有 32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有 3 cos 22 2 2 2 πc a ab -= 5 16 （2） 又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为 13 ) 1(4) 4(2 2 =-+ -y x 。 例3、已知椭圆C ： 12 22 2=+ b y a x （0>>b a ），直线1l ： 1=- b y a x 被椭圆C 截得的
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式 一、知识点 1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式 引例：经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作倾斜角为60 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长． 分析：左焦点(1,0)F - ，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2 212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32? 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 ||AB == 122||2 || x x a - ==7 一般： 若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明： 1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -= 但通常利用12||x x -= 算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，?为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想 2 ） 如图，因为2112||:||:|||P M P M P P k = ，又1 12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可 知 ，12 1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若||7 AB = l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2 2 220x y +-=，得到 2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ?=+ 则 ||7 AB === 所以k = 又当k 不存在时，||AB = 所以，直线l 的方程1)y x =+ 配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到： 22(2)210y y λλ+--=，则2=8 +1λ?（）， 则||AB == 所以，λ= 当λ不存在，即 0y =时，||AB = 所以直线l 的方程为1x y = - 例2 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ?面积的最大值． 解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到：
《椭圆的弦长公式》专题
《椭圆的弦长公式》专题 2018年（）月（）日班级姓名从善如登,从恶如崩。——《国语》 两点间距离公式：|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 完全平方公式：(a+b) 2＝① 完全平方公式：(a-b) 2＝② ①-②，得： 问题：设直线l：y＝kx＋m交椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 (a>b>0)于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝ ＝ ＝ 同理可得|P1P2|＝|y1－y2|·1＋1 k2(k≠0).
1.已知椭圆22 12521 x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 2.已知直线y =2x -5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB 3.已知直线y =x +2与椭圆9 2 x +2y =1相交于A ，B 两点，求AB 4.已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303 D.32 6 5.过椭圆x 25＋y 2 4 ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________.
6.已知椭圆x 236＋y 29 ＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点. (1)当直线l 的斜率为12 时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程. 7.已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12 . (1)试求动点P 的轨迹方程C ； (2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |＝ 423 时，求直线l 的方程. 8.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C . (1)写出C 的方程； (2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB |的值是多少？