专题：椭圆地切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程椭圆是数学中的一种经典的问题，由于它具有许多有趣的性质及其复杂的结构，因此被广泛应用于实际问题中。
由于椭圆的形状并不像圆那样是圆形的，因此在研究椭圆上某一点到圆周上其它点的连线时，会发现它们存在一定的规律，其中就包括椭圆上过某一点外一点求椭圆的切线方程。
任意给定一个椭圆的标准方程：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴半径和短轴半径，椭圆上的任意一点$P(xi,eta)$，则当这个点外另一个点$Q(x_0,y_0)$固定时，可以推导出椭圆切线的方程为： $$frac{x}{x_0}+frac{y}{y_0}=m$$$$frac{(x-xi)(y_0-eta)}{(x_0-xi)(y-eta)}=1$$ 上面的式子其实都可以算出椭圆切线方程，但是两者有一定的运用区别：1.点$P$不是椭圆上的点时，就可以用第一式：$frac{x}{x_0}+frac{y}{y_0}=m$求出椭圆的切线方程，其中$m$为椭圆切线的斜率，$x_0$和$y_0$分别为点$Q$的横纵坐标；2.当点$P$是椭圆上一个点时，就可以用第二式：$frac{(x-xi)(y_0-eta)}{(x_0-xi)(y-eta)}=1$求出椭圆的切线方程，其中$xi$和$eta$分别为点$P$的横纵坐标，$x_0$和$y_0$分别为点$Q$的横纵坐标。
因此，我们在求解椭圆上某一点外一点求椭圆切线方程时，要根据实际情况选择适当的方法；即当椭圆上的点不定时，可以用第一式算出切线斜率；当椭圆上的点是固定的时，就可以用第二式求出椭圆的切线方程，其实现过程相当的简单，只要把解析几何的思想用起来，就可以解决这个问题。
本文分析了椭圆上某一点外一点求椭圆的切线方程的问题，首先给出了一个椭圆的标准方程，由此推出了求解椭圆上某一点外一点求椭圆的切线方程所采用的方法，即当椭圆上的点不定时，可以用第一式算出切线斜率；当椭圆上的点是固定的时，就可以用第二式求出椭圆的切线方程。
椭圆外一点的切线方程
椭圆外一点的切线方程
椭圆是一种常见的平面图形，其由一组点构成，满足到两个定点的距离之和为常数的性质。
在椭圆上取一点P，我们可以通过求出该点处椭圆的切线方程来研究椭圆的性质。
具体来说，我们先求出椭圆的参数方程，即：
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴，t是参数。
接下来，我们考虑椭圆上一点P(x0,y0)，以及该点的切线L。
设切线L的斜率为k，则L的方程为：
y-y0 = k*(x-x0)
由于P在椭圆上，因此有：
(x0/a)^2 + (y0/b)^2 = 1
同时，P处于L上，因此有：
y0 = k*x0 - k*x + y
将L的方程代入上式，得到：
(x0/a)^2 + ((k*x0 - k*x + y)/b)^2 = 1
化简后得到一个关于x的二次方程：
(k^2/a^2 + 1/b^2)*x^2 - 2*k*y0/b^2*x + (y0^2/b^2 - 1) = 0 由于L是切线，因此该方程有且只有一个解，即判别式为0：
(-2*k*y0/b^2)^2 - 4*(k^2/a^2 + 1/b^2)*(y0^2/b^2 - 1) = 0 解出k，带入L的方程即可得到切线方程。
椭圆上一点处切线方程的几种求法
答案
椭圆上一点处切线方程的几种求法
段落一：椭圆是一种二次曲线，它是由两个椭圆轴组成的，椭圆上的任意一点都可以过椭圆的长轴和短轴的中点，椭圆上的任意一点都可以求出其切线方程，有多种方法可以求出椭圆上一点处的切线方程。
段落二：其中一种求法是使用对称性，利用椭圆的对称性来求出椭圆上一点处的切线方程。
例如，当椭圆中心在原点时，椭圆的一条对称轴上的任一点A（x，y）处的切线方程可以求得，它的斜率为-xy，切线方程为y=xk，其中k= -xy。
段落三：另一种求法是使用椭圆的椭球坐标系。
椭球坐标系是一种直角坐标系，由长短轴和椭圆中心组成，可以用椭球坐标系求出椭圆上任意一点处的切线方程。
例如，椭圆上任一点A（x，y）处的切线方程可以用椭球坐标系求得，斜率为xy，切线方程为y=xk，其中k= xy。
总之，椭圆上一点处的切线方程可以采用对称性和椭球坐标系等多种求法来求解。
求椭圆切线方程(3篇)
第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。
在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。
本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。
一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。
2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。
3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。
二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。
根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。
又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。
联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。
将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。
椭圆某点的切线方程
椭圆某点的切线方程
要求求解椭圆上某点的切线方程，需要以下信息：
1.椭圆的方程：一般椭圆的方程可表示为x²/a²+ y²/b²= 1，
其中 a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴长度。
2.某点的坐标：已知椭圆上的某点P(x₀, y₀)。
步骤：
1.求解椭圆上某点的斜率：
o对椭圆方程进行求导，得到关于x 的导数：(2x/a²) + (2y/b²) * (dy/dx) = 0。
o将上述导数表达式中的 x 和 y 替换为给定点的坐标x₀ 和y₀，求解 dy/dx，得到某点切线的斜率。
2.使用点斜式或一般式得到切线方程：
o点斜式：使用某点P(x₀, y₀) 和切线的斜率，即可得到切线方程为 y - y₀ = m(x - x₀)，其中 m 是切线的斜率。
o一般式：通过将点斜式转化为一般式 Ax + By + C = 0 的形式，最终得到切线方程。
需要注意的是，当椭圆方程不在标准形式 x²/a² + y²/b² = 1 时，求导并代入点坐标的步骤会略有不同。
在这种情况下，需要根据给定的椭圆方程进行计算。
椭圆上一的切线方程
椭圆上一的切线方程
椭圆是一种椭圆形物体，是由两条相交的曲线组成的，它是一种非常有趣的几何形状，学习椭圆的切线方程是非常重要的。
什么是椭圆的切线方程？椭圆的切线方程是一个定义如何切割椭圆的公式。
它可以用来求出垂线和对称轴之间的距离，以及椭圆上任意两个点之间的距离。
具体来说，椭圆的切线方程是一个二次方程，可以用来表示椭圆上任意一点的切线方向，及椭圆长短轴之间的比值。
它可以用如下形式来写：
$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$
其中(h, k)是椭圆的中心，a, b分别是椭圆的长短轴，当x和y 的值满足此方程时，点P(x, y)在椭圆上。
椭圆的切线方程可以用来计算椭圆上的任意点的切线方向，相邻两个点的坐标之差即是切线的方向。
因此，用椭圆的切线方程可以求出椭圆上任意两点之间的距离，而且有助于求解更复杂的几何问题，例如确定椭圆周长等。
总之，椭圆的切线方程可以用来计算椭圆上的任意点的任意方向，相邻两个点的坐标之差或者对称轴之间的关系，以及椭圆上任意两个点之间的距离。
学习椭圆的切线方程是非常重要的一部分，了解它可以帮助我们更好地理解椭圆以及几何问题。
椭圆上一点处切线方程的几种求法
椭圆上一点处切线方程的几种求法
王 洪 涛
（新 乡职业技 术学院 河南 新 乡 ４５３００６）
在 中学阶段 ，曾学过直线与圆的位置关 系 。若直线与圆相切，则有圆心到直线 的距 离等于圆的半径 。但对 于椭 圆来说 ，若直线 与椭圆相切 ，就没法得 出上述 结论 了。如何
Ｘ ＯＸ
＋
一（ ＋
－．．
，
·点 · ．
尸（
ｙ。）在
分析：显然，题 目已经给出点Ｐ 的坐 垒 ＋兰 ：０
椭 圆 上
标 ，只需求 出切线 ｆ的斜率 ，即可得 出切线 Ｚ 方程 。
二 、 解法 举 例 方 法 一 ： 交 点个 数 法
分析：由椭圆Ｃ 与直线，相切于点Ｐ
得，直线 ，与椭圆 Ｃ 只有一个交点，通过联
２、对 于本文开头给 出的问题来 说，若
方法四：参数求导法
使用命题 的结论 ，那么可以直接得 出答案：
分析：显然，椭圆ｃ：等 了７２＝１可以转
化为参数函数，结合参数 函数求导法及导数 的几何意义可得椭圆Ｃ 在点Ｐ 处的切线 ， 的斜率 。
解 ：设切线 Ｚ的斜 率为 ｋ ，由椭 圆
３
即 一 ３ｘ 由导数的几何意义及点 Ｐ（１ ３ 即 ４ｙ ， ，由导数的几何意义及点 ｋｘ， ２
ｋ ： 一 １３－１
： 一
得 ， ’ｉ ‘ ．切 线 Ｚ ：
ｃ 一 一
＝ 一
，
· ． ．
＋ 等一 ．·．切线，： ＸＯＸ＋ 一－＝ｏ
ｚｎ ＹｎＹ ．
即 ：
注 ：１、除了隐 函数 求导法 以外，还可 以利 用 复合 函数 法 ，参 数函数 法等加 以证 明 。
椭圆一点处的切线方程
椭圆一点处的切线方程一、椭圆的定义与性质椭圆可以用数学方式定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为焦距。
椭圆还有一个重要的参数，即长半轴和短半轴，分别表示椭圆的长和宽。
椭圆具有许多重要的性质。
首先，椭圆是一个闭合曲线，它的内部被圆形所包围。
其次，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于焦距。
此外，椭圆的两个焦点和中心共线，并且椭圆的两个焦点之间的距离等于长半轴的两倍。
椭圆还具有对称性，即椭圆关于x 轴和y轴都具有对称性。
二、椭圆上一点处的切线方程在椭圆上的任意一点，都存在唯一的切线。
切线是与曲线仅有一个公共点且与曲线在该点处切于一点的直线。
对于椭圆上的一点P(x,y)，其切线方程可以通过以下步骤求得。
我们需要知道椭圆的方程。
椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
假设椭圆的中心为原点(0,0)，则椭圆上的一点P(x,y)满足该方程。
我们需要求出椭圆上一点处的斜率。
椭圆上一点处的切线斜率等于曲线在该点处的导数。
对椭圆的标准方程进行求导，可以得到导数的表达式。
然后将椭圆上一点的横坐标x代入导数表达式中，即可得到切线的斜率。
我们可以利用点斜式或一般式来表示切线方程。
点斜式通过一点的坐标和斜率来表示直线方程，而一般式则通过直线的一般形式Ax+By+C=0来表示直线方程。
三、切线方程的实例为了更好地理解椭圆上一点处的切线方程，我们来看一个实例。
假设椭圆的方程为(x/4)^2 + (y/3)^2 = 1，而我们要求解椭圆上的一点P(2,1)处的切线方程。
根据椭圆的方程可知，a=4，b=3。
然后，求解椭圆的导数表达式，得到导数为dy/dx = -3x/4y。
接下来，将点P(2,1)的横坐标2代入导数表达式中，得到切线的斜率为dy/dx = -3*2/4*1 = -3/2。
我们可以使用点斜式或一般式来表示切线方程。
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O“椭圆的切线方程”教学设计 马二中 向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切？
设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫：
问题1、已知椭圆22:182xyC与直线l只有一个公共点 （1）请你写出一条直线l的方程； （2）若已知直线l的斜率为1k，求直线l的方程；
（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；
（4）若已知切点5(3,)2P,求直线l的方程。 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如22,2xy。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。 （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化：
猜想：椭圆2222:1xyCab与直线l相切于点00(,)Pxy，则切线l的方程？ （椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课） 设计意图：类比经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为200xxyyr进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？ 例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程。
xy
OP
经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为200xxyyr，且直线OP垂直于切线，所以，=-1opkk切线， 1.点与圆 设点P(x0，y0)，圆222()()xaybr则
点在圆22200()()xaybr， 点在圆上 22200()()xaybr， 点在圆外22200()()xaybr 由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则 l 与圆C相交0，
l 与圆C相切0，
l与圆C相离0
类比到圆中： 已知圆222:Cxyr与直线l相切于点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点BA、.
xy
OBA
P
结论（1）过点P的切线方程为200xxyyr； （2）OPAB1OPABkk；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的ab
时，椭圆圆，所以221OPABbkka）
（3）过点P的切线方程为200xxyyr与x轴、y轴分别交于点BA、,20(0,)rAy，20(,0)rBx，所以00ABxky；（椭圆中2020ABbxkay也可理解为a趋于b时，ABk趋于00xy）
（4）2||||||2||||2||2ABAPBPAPBPOPr，当且仅当||||APBPr时，取“=”
由2014年高考题最后一道题 [2014·卷] 如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限. （1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； （2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限. （1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； yxO
P
(1)解：设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由
y＝kx＋m，
x2a2＋y2b2＝1，
联立消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 由于l与C只有一个公共点，所以42222222244()()0akmambbak，化简
得2222makb(*)，解得点P的坐标为－a2kmb2＋a2k2，b2mb2＋a2k2. 又点P在第一象限，故222makb, 所以点P的坐标为22222222(,)akbPakbakb. （2）设点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，用点P的坐标00,xy表示椭圆的切线方程；
(2)解：00(,)Pxy，则由（1）知2200222222,akbxyakbakb，
则可设过点P切线l的方程为00()yykxx消参得 22002200xbxakkybay代入00()yykxx得200020()bxyyxxay 化为整式222222220000ayybxxaybxab（因为点P在椭圆上，所以2222222200
0022
1xyaybxabab），
两边同除以22ab得椭圆的切线方程00221xxyyab，与圆的切线方程做类比，形式相仿。所以，过切点00(,)Pxy的椭圆的切线方程00221xxyyab. (3)连接OP，切线l的斜率为k切线，直线OP的斜率为OPk,求证=opkk切线定值；
(3)由（2）中所得的22002200xbxakkybay 又因为000000OPyykxx，所以22OPABbkka=定值 （与圆的=-1opkk切线做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的ab时，椭圆加强为了圆，所以221OPABbkka）
问题2、已知椭圆2222:1xyCab与直线l相切于点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点BA、，求线段||AB的最小值。
xy
BA
OP
直线AB的方程设为,(0,),(,0)mykxmAmBk，则根据两点间的距离公式可得222
2||mABmk
，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出2222makb(*)，代入可得
2222222222222222
222||()2()mbbABmakbaabakabababkkk
，线段||AB的最小值为ab.当且仅当22224222bbbakkkkaa时，取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。 由前面已证过的22OPABbkka知，此时2323232000230OPybkbxayxa
2332232200002(1),xaabbxaaxxaab代入2320230OPybkxa得3
20
byab
，
所以可得到，22200||()PAxym222220000()(1)(1)bxkxkxxa，代入320,axab得2||PA32abaaaab
.||,||PAaPBb
问题3、已知椭圆2222:1xyCab与直线l相切于点00(,)Pxy，且点00(,)Pxy在第一象限，若直线l与x轴、y轴分别交于点BA、.若过原点O的直线l1与l垂直交与点D， 证明：||||PDAB定值.
y
xD
OA
BP
证明：由于过点P的切线l方程为00221xxyyab，直线l与x轴、y轴分别交于点BA、，所以2200(0,),(,0)baAByx，则442200||abABxy 由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离002||||1kyxPDk，前面已证过2020bxkay，代入得202222
02
000000
2424242440002242
000
||||||||||11bxxkyxaxybxyabaPDkbxaybxabxyay
22222||||||PDABababc
=定值（c为椭圆的半焦距）
问题4、如图，设椭圆2222:1(0)xyCabab，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ab.
y
xl1
lD
OP
证明：方法一、