专题：椭圆的切线方程doc资料
九上 椭圆的切线性质与判定的经典题型总结(典藏版)
九上椭圆的切线性质与判定的经典题型
总结(典藏版)
引言
本文档总结了九上椭圆的切线性质与判定的经典题型，旨在帮助同学们更好地理解和应用相关知识。
切线性质
椭圆的切线具有以下性质：
1. 切线与椭圆的长轴和短轴相切。
2. 切线与椭圆的法线垂直。
判定题型
1. 已知椭圆上一点P(x₁, y₁)，求过点P的切线方程。
解题步骤如下：
* 求点P在椭圆上的切线斜率k。
* 利用点斜式或一般式，得出过点P的切线方程。
2. 已知椭圆的焦点F₁和F₂，求椭圆的切线方程。
解题步骤如下：
* 连接F₁F₂并求其中点M。
* 求MF₁和MF₂的距离d。
* 求椭圆的长轴a。
* 求椭圆的焦距c。
* 求切点P(x₁, y₁)的坐标。
* 利用点斜式或一般式，得出切线方程。
3. 已知椭圆的方程，求其切线方程。
解题步骤如下：
* 将椭圆的方程化为标准形式。
* 求出椭圆的长轴a和短轴b。
* 求切点P(x₁, y₁)的坐标。
* 利用点斜式或一般式，得出切线方程。
结论
九上椭圆的切线性质与判定的经典题型总结了椭圆的切线性质以及三种判定题型的解题步骤。
希望本文档对同学们的研究有所帮助，能够更好地掌握和应用相关知识。
注意：本文档中的内容为经典题型的总结，不包含具体题目，具体题目请参考教材或老师提供的习题。
过椭圆上一点的切线方程公式
过椭圆上一点的切线方程公式结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 p（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将p点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 p点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得p点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上p点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。
如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。
椭圆外一点的切线方程
椭圆外一点的切线方程
椭圆是一种常见的平面图形，其由一组点构成，满足到两个定点的距离之和为常数的性质。
在椭圆上取一点P，我们可以通过求出该点处椭圆的切线方程来研究椭圆的性质。
具体来说，我们先求出椭圆的参数方程，即：
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴，t是参数。
接下来，我们考虑椭圆上一点P(x0,y0)，以及该点的切线L。
设切线L的斜率为k，则L的方程为：
y-y0 = k*(x-x0)
由于P在椭圆上，因此有：
(x0/a)^2 + (y0/b)^2 = 1
同时，P处于L上，因此有：
y0 = k*x0 - k*x + y
将L的方程代入上式，得到：
(x0/a)^2 + ((k*x0 - k*x + y)/b)^2 = 1
化简后得到一个关于x的二次方程：
(k^2/a^2 + 1/b^2)*x^2 - 2*k*y0/b^2*x + (y0^2/b^2 - 1) = 0 由于L是切线，因此该方程有且只有一个解，即判别式为0：
(-2*k*y0/b^2)^2 - 4*(k^2/a^2 + 1/b^2)*(y0^2/b^2 - 1) = 0 解出k，带入L的方程即可得到切线方程。
过某点椭圆的切线方程
过某点椭圆的切线方程
为了找到过某点（例如点P(x0, y0)）的椭圆切线方程，我们首先需要知道椭圆的一般方程。
假设椭圆的一般方程为：
Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
其中A, B, C, D, E, F 是常数，并且A 和B 不全为零。
现在，为了找到过点P(x0, y0) 的切线方程，我们需要使用以下步骤：
将点P(x0, y0) 代入椭圆方程，得到：
Ax0^2 + By0^2 + Cx0y0 + Dx0 + Ey0 + F = 0
求椭圆方程对x 和y 的偏导数，得到椭圆上任一点(x, y) 的切线斜率：
对x 求偏导：2Ax + Cy + D = 0
对y 求偏导：Cx + 2By + E = 0
在点P(x0, y0) 处，切线的斜率k 为：
k = - (偏导数对y / 偏导数对x) 在(x0, y0) 处的值
即k = - ((Cx0 + 2By0 + E) / (2Ax0 + Cy0 + D))
使用点斜式方程，切线方程为：
y - y0 = k(x - x0)
将k 的值代入点斜式方程，得到切线方程。
最后，将切线方程化为一般形式（Ax + By + C = 0）。
请注意，这种方法假设椭圆在点P(x0, y0) 处有唯一的切线。
在某些情况下，例如当点P 在椭圆上或当椭圆退化时，可能不存在唯一的切线。
在这些特殊情况下，需要额外的分析来确定切线方程。
专题_椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马二中向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x yC+=与直线l只有一个公共点（1）请你写出一条直线l的方程；（2）若已知直线l的斜率为1k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；（4）若已知切点)2P,求直线l的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y=±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
椭圆切线方程
68
y′=k=
2
-b x 2 a
姨%
2
2
b-
b
2
x
2
a
（10）
姨2 %
由（9）式解得x=a k
1
22 2
a k -b
（11）
姨2 %
将 （10）式 代 入 （9）式 解 得 y=b
1
2 22
b -a k
（12）
姨 姨 2 %
因 此 其 中 一 切 点 为 （a k
1
2%
，b
1
），另 一
22 2
2 22
2π））的 切 线 ，设 Z=kx0+m-y0，则 Zmin=0或 Zmax=0，其 中 k为 直 线 l 的
斜率.
证明：若l与椭圆相切，则椭圆上的点都在l的同侧，根据线
性 规 划 知 识 可 知 ，对 于 椭 圆 上 任 意 一 点P（x0，y0），Z=kx0+m-y0
≥0或 ≤0， 所 以 Zmin=0或 Zmax=0， 当 且 仅 当 P为 切 点 时 等 号 成 立 .
关键词： 幂指函数 指数求导法 对数求导法 多元函 数求导法
在微积分的教学中，幂指函数的求导是学生学习的难点，
对学生来说非常棘手。 针对这种情况，我根据自己在多年的教
学中积累的资料， 通过例题归纳和总结常见的幂指数函数求
导方法，希望对教与学双方都有一定的参考价值。
形如
v（x）
y=u（x） ……（1）
=v·u （此 时y是 幂 函 数 ），
鄣y
v
=u ·lnu（此 时y是 指 数
鄣u
鄣v
函数）
v-1
v
∴y′=v·u ·u′+u·lnu·v′
专题椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x yC+=与直线l只有一个公共点（1）请你写出一条直线l的方程；（2）若已知直线l的斜率为1k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；（4）若已知切点)2P,求直线l的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y=±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
椭圆在点处的切线方程
椭圆在点处的切线方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在研究椭圆的性质时，切线是一个重要的概念。
本文将介绍椭圆在点处的切线方程，以及相关的数学知识。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的形状由长轴和短轴的长度决定，短轴的长度为2b。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。
其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
这个方程描述了椭圆上所有点的坐标。
三、椭圆的切线在椭圆上取一点P，过该点作一条直线L，使得该直线与椭圆相切。
这条直线L称为椭圆在点P处的切线。
切线的斜率等于椭圆在该点处的导数。
四、设椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，点P的坐标为(x0,y0)。
则椭圆在点P处的切线方程为y-y0=(b^2/a^2)*(x-x0)。
五、实例分析以椭圆(x^2/4)+(y^2/9)=1为例，求点(1,2)处的切线方程。
首先，求出点(1,2)处的导数。
对椭圆的标准方程两边同时求导，得到2x/a^2+2y/b^2*y'=0。
将x=1，y=2代入，得到2/a^2+4/9*y'=0，即y'=-9/8。
然后，代入切线方程的公式，得到y-2=(9/16)*(x-1)，即9x-16y+14=0。
六、总结本文介绍了椭圆的定义、方程、切线的概念，以及椭圆在点处的切线方程的求解方法。
椭圆是一种重要的几何图形，在数学和应用领域都有广泛的应用。
掌握椭圆的相关知识，对于深入理解数学和物理等学科都有很大的帮助。
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专题：椭圆的切线方程“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知 基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程； （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4）若已知切点P ,求直线l 的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程。
经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=，且直线OP 垂直于切线，所以，=-1op k k ⋅切线， 1.点与圆设点P(x 0，y 0)，圆222()()x a y b r -+-=则 点在圆内22200()()x a y b r -+-<， 点在圆上 22200()()x a y b r -+-=， 点在圆外22200()()x a y b r -+->由圆C 方程及直线l 的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则l 与圆C 相交0⇔∆>，l 与圆C 相切0⇔∆=， l 与圆C 相离0⇔∆<类比到圆中：已知圆222:C x y r +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、.结论（1）过点P 的切线方程为200x x y y r +=；（2）OP AB ⊥∴Q 1OP AB k k ⋅=-；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b →时，椭圆→圆，所以221OP ABb k k a⋅=-→-）（3）过点P 的切线方程为200x x y y r +=与x 轴、y 轴分别交于点B A 、,2(0,)r A y ，20(,0)r B x ，所以00AB x k y =-；（椭圆中2020AB b x k a y =-也可理解为a 趋于b 时，AB k 趋于00x y -） （4）||||||2AB AP BP r =+≥==，当且仅当||||AP BP r ==时，取“=”由2014年浙江高考题最后一道题[2014·浙江卷] 如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（1）已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（1）已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，联立消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，所以42222222244()()0a k m a m b b a k ∆=--+=，化简得2222m a k b =+(*)，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2. 又点P在第一象限，故m =所以点P的坐标为22(P .（2）设点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，用点P 的坐标00,x y 表示椭圆的切线方程；(2)解：00(,)P x y ，则由（1）知2200x y ==，则可设过点P 切线l 的方程为00()y y k x x -=-消参得 22002200x b x a kk y b a y =-⇒=-代入00()y y k x x -=-得200020()b x y y x x a y -=--化为整式222222220000a y y b x x a y b x a b +=+=（因为点P 在椭圆上，所以222222220000221x y a y b x a b a b+=⇒+=）， 两边同除以22a b 得椭圆的切线方程00221x x y y a b+=，与圆的切线方程做类比，形式相仿。
所以，过切点00(,)P x y 的椭圆的切线方程00221x x y ya b+=.(3)连接OP ，切线l 的斜率为k 切线，直线OP 的斜率为OP k ,求证=op k k ⋅切线定值；(3)由（2）中所得的22002200x b x a kk y b a y =-⇒=-又因为000000OP y y k x x -==-，所以22OP AB b k k a⋅=-=定值 （与圆的=-1op k k ⋅切线做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b =时，椭圆加强为了圆，所以221OP ABb k k a⋅=-→-）问题2、已知椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、，求线段||AB 的最小值。
直线AB 的方程设为,(0,),(,0)my kx m A m B k=+-，则根据两点间的距离公式可得2222||m AB m k=+，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出2222m a k b =+(*)，代入可得2222222222222222222||()2()m b b AB m a k b a a b a k a b ab a b k k k=+=+++=+++≥++=+，线段||AB 的最小值为a b +.当且仅当22224222b b b a k k k k a a=⇒=⇒=时，取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。
由前面已证过的22OP ABb k k a ⋅=-知，此时2323232000230OP y b k b x a y x a==⇒=2332232200002(1),x a a b bx a ax x a a b =-⇒=-⇒=+代入2320230OP y b k x a==得320b y a b=+，所以可得到，22200||()PA x y m =+-222220000()(1)(1)b x kx k x x a=+=+=+，代入320,a x a b =+得2||PA 32a b a a a a b+=⋅=+.||,||PA a PB b ∴==问题3、已知椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、.若过原点O 的直线l 1与l 垂直交与点D ， 证明：||||PD AB ⋅=定值.证明：由于过点P 的切线l 方程为00221x x y ya+=，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、，所以2200(0,),(,0)b a A B y x ，则||AB =由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离||PD=，前面已证过202b x k a y =-，代入得20222202||||b x x PD -+====22222||||||PD AB a b a b c ∴⋅=-=-==定值（c 为椭圆的半焦距）问题4、如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.证明：方法一、由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k 2， 整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2. 因为a 2k 2＋b 2k 2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab ＝a －b ， 当且仅当k 2＝b a时等号成立． 所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段||AB 的最小值为a b +，2222||||||PD AB a b a b ∴⋅=-=-=定值，可得点P 到直线l 1的距离||PD的最大值为a －b .。