联立方程组求椭圆的切线方程
高二椭圆与直线相交知识点
高二椭圆与直线相交知识点椭圆与直线是高二数学中的一种重要的几何关系，深入理解它们的相交性质对于解题和应用实践具有重要意义。
本文将介绍高二椭圆与直线相交的几个关键知识点。
一、椭圆与直线的方程在介绍椭圆与直线相交的知识点之前，我们先来了解椭圆和直线的方程。
椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为椭圆的长半轴，$b$为椭圆的短半轴。
直线的一般方程为：$Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$为实数且$A$与$B$不同时为零。
二、椭圆与直线相交的条件椭圆与直线相交的条件为：直线不经过椭圆的中心，且直线方程与椭圆方程联立可解，即联立方程有实数解。
三、椭圆与直线相交的情况分类根据椭圆与直线相交的情况，可以将其分为以下三种情况：1. 直线与椭圆相交于两个不同的点当直线与椭圆相交于两个不同的点时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立可解。
2. 直线与椭圆相切于一个点当直线与椭圆相切于一个点时，此时直线既是椭圆内切线又是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立有唯一实数解。
3. 直线与椭圆不相交当直线与椭圆不相交时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立无实数解。
四、解题方法与实例在解决涉及椭圆与直线相交的问题时，可以采用以下方法：1. 代数法：将直线方程代入椭圆方程，联立方程求解解得交点坐标。
2. 几何法：利用椭圆和直线的性质进行几何推导，得出交点的几何特征。
以下为一个实例：例题：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线$2x-3y+4=0$，求椭圆与直线的交点坐标。
解：将直线方程代入椭圆方程，得到$\frac{(2x-3y+4)^2}{4^2}+\frac{y^2}{9}=1$。
化简方程得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y+48=64$，整理得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y-16=0$。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考.1.利用几何性质来求切线方程当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程.例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线.设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3),化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0.由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1＝2, 解得k ＝3±265. 所以切线方程为y －2＝3±265(x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解.2.利用方程的判别式来求切线方程当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程.例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线.当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2).直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0,因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0.解得k ＝－34. 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34(x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2.3.利用垂直关系求切线方程当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程.例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程.解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线.设切线方程为l :y －2＝k (x －3).由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5.点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算.小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.。
圆锥曲线中的切线问题
圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。
求切线方程
评:“过某点”与“在某点处”的不同.故审题应细.
练习、已知曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)， 求在点A处的切线方程？
变式：求过点A的切线方程？
求曲线的切线方程
迟玉弟
导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就 是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切 线的斜率，即k＝f′(x0)．
f ( x) x3 例、已知曲线方程
(1)求曲线在（1,1）处的切线方程； (2)求（1）中切线Байду номын сангаас曲线是否有其他公共点； (3)变式过点（-2，-8）的切线方程。
（1）3x-y-2=0 （2）联立方程解得公共点（1,1）（-2，-8）
说明切线与曲线的公共点除了切点还可以有另外的点
分析：由（2）知（-2，-8）不一定为切点，我们可 以设出切点，求出切点处斜率，利用切点和斜率写出 点斜式方程，将点（-2，-8）代入方程得到切点的值， 再求切线。 解：设切点为（a, a 3）
圆锥曲线——椭圆(基础知识)
圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。
叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。
★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。
关于X 、Y 轴成轴对称。
关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。
长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。
构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。
焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。
高等数学习题九课后答案
习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4t =;(2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4t =的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭当π4t =时， ,,222a b c x y z === 切线方程为2220a b c x y z a c---==-. 法平面方程为0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22022a c ax cz --+=.（2）联立方程组2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩ 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得d d 2220d d d d 10d d y z x y z x xy z x x⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 解得d d ,,d d y z x z x yx y z x y z--==--在点M 0（1，-2，1）处，00d d 0,1d d M M y zx x ==- 所以切向量为{1，0，-1}.故切线方程为121101x y z -+-==- 法平面方程为1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0即x -z =0.(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得d d 22,21d d y zy m z x x ==- 于是d d 1,d d 2y m z x y x z==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2my z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为00000,112x x y y z z m y z ---==-法平面方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。
椭圆综合题中定值定点范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。
(完整版)函数图像的切线问题
函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0).若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有212121)()()()(x x x g x f x g x f --='='.题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3:3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上.设切点的坐标()00,x y ，则30003y x x =-，函数的导数为2'33y x =-，切线的斜率为020'33x x k y x ===-，2000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =或9k =-±∴切线方程为2y =或(9(2)2y x =-±-+.例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________解析：由切线过()()1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=例3. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，所以有()()'113132f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值解：()2'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2min 11933f x f a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭Q 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：2191233a a --=-⇒=± 0a <Q 3a ∴=- 题型三 公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594y ax x =+-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()300,x x ,切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或032x =，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫⎪⎝⎭.当切点()0,0时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得()21525490464a a ⎛⎫∆=--=⇒=- ⎪⎝⎭，同理，切点为327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1a =-答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中，由于曲线21594y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0∆=来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（ ） A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e 解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x ，与曲线2C 切于点()22,x x ae ，由''2xy xy ae ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e -=，设()()41xx f x e -=，则()()'42xx fx e -=.可知()f x 在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e==例10.曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2eB. 22e C. 24eD.22e思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=例11.一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U .答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，切线斜率为k ，则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线，则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有：()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切例13. 已知曲线C:x 2=y ，P 为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出:1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()()21,1Q k k --，以及M 点坐标，从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0∆=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭21y x y kx k ⎧=∴⎨=-+⎩ 消去y ：210x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()()21,1Q k k ∴--设直线()()21:11QN y k x k k --=---⎡⎤⎣⎦即()()2111y k x k k =----⎡⎤⎣⎦ ∴ 联立方程：()()22111y x y k x k k ⎧=⎪⎨=----⎡⎤⎪⎣⎦⎩()211110x x k k k k ⎛⎫∴+---+= ⎪⎝⎭ ()11111Q N N x x k k x k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+⇒=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2y x =可得：'2y x =∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭2111:1211MN y k k x k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+=--++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦代入1,0k M k -⎛⎫⎪⎝⎭得： 2111112111k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211210k k k k k∴-+=⇒+-=,12k -±∴=小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0∆=简便（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】 (1)f′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g′(x)＝2x －3. 由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x.依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2， 故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根． 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 特别地，取x ＝x 1时，f(x 1)＋g(x 1)－mx 1<－m 成立，得m<0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m>0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx ＝x(x －x 1)(x －x 2)≤0，又f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0. 于是当－14<m<0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 例15.如图3－1，有一正方形钢板AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)， 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t 2(x －t )， 即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14t 2.∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－1＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－1＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)． 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )， 即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1， 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |) ＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52. ∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．。
函数图像的切线问题(最新整理)
设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先 从 常 系 数 的 曲 线 y x3入 手 求 出 切 线 方 程 ， 再 考 虑 在 利 用 切 线 与 曲 线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.
解答题针对训练： 解析几何(解析版)
专题五 解答题针对训练之解析几何1．已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【分析】（Ⅰ）根据可得c ＝b ＝3，由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18，即可求出椭圆方程； （Ⅱ）根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3， 由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k2k 2+1，6k 2−32k 2+1）， ∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3），∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0， 解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3．2．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB |=2p sin 2θ，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l 的方程；（2）根据过A ，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0）， 设直线AB 的方程为：y ＝k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{y =k(x −1)y 2=4x ，整理得：k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0，则x 1+x 2=2(k 2+2)k 2，x 1x 2＝1，由|AB |＝x 1+x 2+p =2(k 2+2)k 2+2＝8，解得：k 2＝1，则k ＝1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；方法二：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB |=2psin 2θ=4sin 2θ=8，解得：sin 2θ=12， ∴θ=π4，则直线的斜率k ＝1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D （3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣（x ﹣3），即y ＝﹣x +5，设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则{y 0=−x 0+5(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16， 解得：{x 0=3y 0=2或{x 0=11y 0=−6，因此，所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝16或（x ﹣11）2+（y +6）2＝144．3．已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【分析】（1）设D （t ，−12），A （x 1，y 1），则x 12=2y 1，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx 1﹣2y 1+1＝0，设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0，得到直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0，再由直线系方程求直线AB 过的定点；（2）由（1）得直线AB 的方程y ＝tx +12，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB 的中点M （t ，t 2+12），再由EM →⊥AB →，可得关于t 的方程，求得t ＝0或t ＝±1．然后分类求得|EM →|＝2及所求圆的方程． 【解答】（1）证明：设D （t ，−12），A （x 1，y 1），则x 12=2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1−t=x 1，整理得：2tx 1﹣2y 1+1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0． 故直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0．∴直线AB 过定点（0，12）；（2）解：由（1）得直线AB 的方程y ＝tx +12．由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0． 于是x 1+x 2=2t ，y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1． 设M 为线段AB 的中点，则M （t ，t 2+12），由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量（1，t ）平行，∴t +（t 2﹣2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4；当t ＝±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2．4．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合离心率求解椭圆方程即可．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，通过直线与椭圆方程联立，几何韦达定理，弦长公式求解三角形的面积．然后求解直线方程．【解答】解：（1）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 因为e =ca =12，a ﹣c ＝1 所以a ＝2，c ＝1， 即椭圆C ：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴S △F 1AB =12|F 1F 2|(y 1−y 2)=12√m 2+13m 2+4，令√m 2+1=t ，可知t ≥1则m 2＝t 2﹣1， ∴S △F 1AB =12t3t 2+1+123t+1t令f(t)=3t +1t ，则f ′(t)=3−1t 2，当t ≥1时，f '（t ）＞0，即f （t ）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴f （t ）≥f （1）＝4，∴S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，△F 1AB 的面积取得最大值3， 此时直线l 的方程为x ＝1．5．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|． 【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法得6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）＝0，k =y 1−y 2x 1−x 2=−68m=−34m又点M （1，m ）在椭圆内，即14+m 23＜1，(m ＞0)，解得m 的取值范围，即可得k ＜−12，（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3），可得x 1+x 2＝2由FP →+FA →+FB →=0→，可得x 3﹣1＝0，由椭圆的焦半径公式得则|F A |＝a ﹣ex 1＝2−12x 1，|FB |＝2−12x 2，|FP |＝2−12x 3=32．即可证明|F A |+|FB |＝2|FP |．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵线段AB 的中点为M （1，m ）， ∴x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2m 将A ，B 代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12， 两式相减可得，3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝0， 即6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）＝0， ∴k =y 1−y 2x 1−x 2=−68m=−34m点M （1，m ）在椭圆内，即14+m 23＜1，(m ＞0)，解得0＜m ＜32 ∴k =−34m ＜−12．（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）， 可得x 1+x 2＝2∵FP →+FA →+FB →=0→，F （1，0），∴x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1＝0， ∴x 3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A |＝a ﹣ex 1＝2−12x 1，|FB |＝2−12x 2，|FP |＝2−12x 3=32． 则|F A |+|FB |＝4−12(x 1+x 2)=3，∴|F A |+|FB |＝2|FP |，6.已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →•GB →=8．P为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【分析】（1）求出AG →•GB →=a 2﹣1＝8，解出a ，求出E 的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程求出C ，D 的坐标，求出直线CD 的方程，判断即可． 【解答】解：如图所示：（1）由题意A （﹣a ，0），B （a ，0），G （0，1），∴AG →=（a ，1），GB →=（a ，﹣1），AG →•GB →=a 2﹣1＝8，解得：a ＝3，故椭圆E 的方程是x 29+y 2＝1；（2）由（1）知A （﹣3，0），B （3，0），设P （6，m ）， 则直线P A 的方程是y =m9（x +3），联立{x 29+y 2=1y =m 9(x +3)⇒（9+m 2）x 2+6m 2x +9m 2﹣81＝0，由韦达定理﹣3x c =9m 2−819+m 2⇒x c =−3m 2+279+m 2，代入直线P A 的方程为y =m9（x +3）得： y c =6m 9+m2，即C （−3m 2+279+m 2，6m 9+m 2），直线PB 的方程是y =m3（x ﹣3），联立方程{x 29+y 2=1y =m 3(x −3)⇒（1+m 2）x 2﹣6m 2x +9m 2﹣9＝0，由韦达定理3x D =9m 2−91+m 2⇒x D =3m 2−31+m 2，代入直线PB 的方程为y =m3（x ﹣3）得y D =−2m1+m 2， 即D （3m 2−31+m 2，−2m1+m 2）， 则①当x c ＝x D 即27−3m 29+m 2=3m 2−3m 2+1时，有m 2＝3，此时x c ＝x D =32，即CD 为直线x =32，②当x c ≠x D 时，直线CD 的斜率K CD =y C −y D x C−x D=4m3(3−m 2)，∴直线CD 的方程是y −−2m 1+m 2=4m3(3−m 2)（x −3m 2−31+m 2），整理得：y =4m3(3−m 2)（x −32），直线CD 过定点（32，0）． 综合①②故直线CD 过定点（32，0）．7．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |． （1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF ．【分析】（1）利用已知条件可得，c +a =b 2a=c 2−a 2a，化简得到a 和c 的关系，即可得到答案；（2）法一：设B （x 0，y 0），然后分两种情况进行证明，①当BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°；②当BF 与AF 不垂直时，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明．法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设出点B 的坐标，然后利用焦半径公式得到BF ，从而得到B '的坐标，再通过分析得到BA ＝BB '，从而证明得到答案．【解答】解：（1）当|AF |＝|BF |且BF ⊥AF 时，有c +a =b 2a=c 2−a 2a，所以a ＝c ﹣a ，则e =c a=2；（2）法一：由（1）得c ＝2a ，b =√3c ， 设B （x 0，y 0），则x 0＞0，y 0＞0，且x 02a 2−y 023a 2=1，即y 02＝3x 02﹣3a 2．①当|BF |＝|AF |且BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°； ②当BF 与AF 不垂直时， tan ∠BAF =y 0x+a，tan ∠BF A =−y 0x0−c，∴tan2∠BAF =2tan∠BAF1−tan 2∠BAF =2(x 0+a)y 0(x0+a)2−y 02=2(x 0+a)y 0−2(x0+a)(x 0−2a)=−y 0x 0−c，∴tan2∠BAF ＝tan ∠BF A ，即∠BF A ＝2∠BAF ， 综上∠BF A ＝2∠BAF ． 法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设B （x 0，y 0），则BF ＝ex 0﹣a ＝2x 0﹣a ， 所以B ′（2x 0﹣a +c ，0），又因为点A （﹣a ，0），所以x B′+x A2=2x0−2a+c2=2x0−2a+2a2=x0＝x B，所以BA＝BB'，所以∠BAF＝∠BB'F=12∠BFA，即∠BF A＝2∠BAF．8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，点A（b，0），点B、F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|⋅|BA|=2√6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据离心率可得ba =√32，再根据且|BF|⋅|BA|=2√6，可得ab=√12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）将直线l1：y＝x+2代入椭圆中，得7x2+16x+4＝0，由此利用韦达定理能求出GH 的中点M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点P，且能求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，∴e2＝1−b 2a2=14∴ba =√32∵|BF|=√b2+c2=a，|BA|=√2b，∴√2ab＝2√6，∴ab=√12，∴a＝2，b=√3，故椭圆的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设l 的方程为y ＝kx +2（k ＞0），与椭圆方程联立，消去y 可得（3+4k 2）x 2+16kx +4＝0．设G （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则x 1+x 2=−16k3+4k 2∴PG →+PH →=（x 1﹣m ，y 1）+（x 2﹣m ，y 2）＝（x 1+x 2﹣2m ，y 1+y 2）． ＝（x 1+x 2﹣2m ，k （x 1+x 2）+4）又GH →=（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）＝（x 2﹣x 1，k （x 2﹣x 1））．由于菱形对角线互相垂直，则（PG →+PH →）•GH →=0，∴（x 2﹣x 1）[（x 1+x 2）﹣2m ]+k （x 2﹣x 1）[k （x 1+x 2）+4]＝0． 故（x 2﹣x 1）[（x 1+x 2）﹣2m +k 2（x 1+x 2）+4k ]＝0． ∵k ＞0，所以x 2﹣x 1≠0．∴（x 1+x 2）﹣2m +k 2（x 1+x 2）+4k ＝0，即（1+k 2）（x 1+x 2）+4k ﹣2m ＝0． ∴（1+k 2）（−16k3+4k 2）+4k ﹣2m ＝0． 解得m =−2k 3+4k2，即m =−23k+4k∵3k+4k ≥2√3k⋅4k =4√3，当且仅当3k=4k ，即k =√32时取等号， 所以−√36≤m ＜0，故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36，0）． 9．设D 是圆O ：x 2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=√3|ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【分析】（1）由题意设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），根据2|EQ |=√3|ED |，Q 在直线m 上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k 1+k 3，并求得k 2的值，由k 1+k 3＝2k 2说明直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．【解答】解：（1）设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），∵2|EQ |=√3|ED |，Q 在直线m 上， ∴x 0＝x ，|y 0||√3y |．①∵点D 在圆x 2+y 2＝16上运动， ∴x 02+y 02＝16，将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 2+43y 2＝16，即x 216+y 212=1， （2）直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48， 直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则有x 1+x 2=16k 23+4k 2，x 1x 2=16k 2−483+4k 2，可知M 的坐标为（8，6k ）． ∴k 1+k 3=y 1−3x 1−2+y 2−3x 2−2=k(x 1−2)−3x 1−2+k(x 2−2)−3x 2−2＝2k ﹣3•x 1+x 2−4x 1x 2+4−2(x 1+x 2)=2k ﹣3•−12−36=2k ﹣1，2k 2＝2•6k−38−2=2k ﹣1． ∴k 1+k 3＝2k 2．故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．10．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝1．（Ⅰ）F 是抛物线C 的焦点，A 是抛物线C 上的定点，AF →=（0，2），求抛物线C 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点F 的直线l 与圆E 相切，设直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，则在x 轴上是否存在点M 使∠PMO ＝∠QMO （O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将A 的坐标代入抛物线可得p ＝2，可得抛物线C 的方程；（Ⅱ）∠PMO ＝∠QMO ⇔k PM +k QM ＝0． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点为F(p2，0)，由AF →=(0，2)知A(p2，−2)，代入抛物线方程得p ＝2，故抛物线C 的方程为：y 2＝4x（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，过点F （1，0）的直线不可能与圆E 相切； 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在， 设直线斜率为k ，则所求的直线方程为y ＝k （x ﹣1），所以圆心到直线l 的距离为d =√1+k 2，当直线l 与圆相切时，有d =1=√1+k 2，k =±√33所以所求的切线方程为y=√33(x−1)或y=−√33(x−1)不妨设直线l：y=√33(x−1)，交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，联立方程组{y=√33(x−1)y2=4x，得x2﹣14x+1＝0．所以x1+x2＝14，x1•x2＝1，假设存在点M（t，0）使，∠PMO＝∠QMO则k PM+k QM＝0．所以k PM+k QM=y1x1−t +y2x2−t=√33(x1−1)x1−t+√33(x2−1)x2−t=√33[(x1−1)(x2−t)+(x2−1)(x1−t)(x1−t)(x2−t)]=√33[2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t(x1−t)(x2−t)]=√33[2−(t+1)⋅14+2t(x1−t)(x2−t)]=√33(−12−12t)(x1−t)(x2−t)=0即t＝﹣1故存在点M（﹣1，0）符合条件，当直线l：y=−√33(x−1)时，由对称性易知点M（﹣1，0）也符合条件综上存在点M（﹣1，0）使∠PMO＝∠QMO．11．设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6，解得：a，c，b值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．利用点差法，可得k OM=−12k ，k ON=−12k，进而证得结论．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知，4a =4√6，a =√6．又∵e =√22，∴c =√3，b =√3，∴椭圆E 的方程为x 26+y 23=1．…………………………（5分）（Ⅱ）易知，当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）．联立方程得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1相减得x 126+y 123−(x 226+y 223)=0，∴x 12−x 226=−y 12−y 223，(x 1−x 2)(x 1+x 2)6=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)3，∴y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=−36，y 1−y 2x 1−x 2⋅y 0x 0=−36，即k ⋅k OM =−12，∴k OM =−12k．同理可得k ON =−12k ，∴k OM ＝k ON ，所以O ，M ，N 三点共线．………………（12分） 12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)离心率e =√32，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ） 设直线l 过椭圆C 的右焦点，并与椭圆相交于E ，F 两点，截得的弦长为52，求直线l 的方程；（Ⅲ） 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问：以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝1，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k ，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．求得M ，N 的坐标，由直径式的圆的方程可得MN 为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y ＝0，即可得到所求定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b ＝1，由e =ca =√a 2−b 2a=√32，得a 2＝4，b 2＝1．∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：y =k(x −√3)，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， 由{y =k(x −√3)x 24+y 2=1可得(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8√3k 24k 2+1，x 1x 2=12k 2−44k 2+1，∴|EF|=√1+k 2⋅(8√3k 24k 2+1)4(12k 2−44k 2+1)=52， ∴k =±12；（2）当直线的斜率不存在时，|EF |＝1不符合．∴直线方程为x −2y −√3=0和x +2y −√3=0． （Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），且x 024+y 02=1，即x 02+4y 02=4，∵A （﹣2，0），∴直线P A 方程为：y =y 0x 0+2(x +2)，∴M(0，2y 0x0+2)，直线QA 方程为：y =−y 0−x+2(x +2)，∴N(0，2y 0x 0−2)，以MN 为直径的圆为(x −0)(x −0)+(y −2y 0x 0+2)(y −2y 0x 0−2)=0，或通过求得圆心O ′(0，2x 0y 0x 02−4)，r =|4y 0x 02−4|得到圆的方程．即x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0，∵x 02−4=−4y 02，∴x 2+y 2+x0y 0y −1=0，令y ＝0，则x 2﹣1＝0，解得x ＝±1． ∴以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．13．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且△F AB 的面积是1+√32． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x ＝my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P 1（P 1与Q 不重合），则直线P 1Q 与x 轴交于点H ，若点H 为定值，则求出点H 坐标；否则，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义离心率和三角形的面积公式可得abc 的等量关系式，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x ＝my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P 1（P 1与Q不重合），即P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、P （x 1，﹣y 1），联立方程组由{x =my +1，x 24+y 2=1，化简由韦达定理表达直线P 1Q 的方程，根据题意可得直线P 1Q 与x 轴交点H （4，0）． 【解答】解：（I ）由题意点A 为椭圆的右项点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，可得F （﹣c ，0），B （0，b ），A （a ，0），因为离心率为√32，即ca=√32，① △F AB 的面积是1+√32．即12b （a +c ）＝1+√32；② 又因为a 2＝b 2+c 2；③ 由①②③解得 a ＝2，b ＝1所以椭圆C ：x 24+y 2＝1；（Ⅱ）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、P （x 1，﹣y 1）， 由{x =my +1，x 24+y 2=1，得（m 2+4）y 2+2my ﹣3＝0，（m ≠0）显然△＞0，由韦达定理有：y 1+y 2=−2m m 2+4．y 1•y 2=−3m 2+4． 直线P 1Q 的方程为：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1（x ﹣x 1），因为直线P 1Q 与x 轴交于点H ，若点H 为定值， 令y ＝0，则x =x 2−x1y 2+y 1y 1+x 1=x 2y 1+x 1y 2y 1+y 2；又x 1＝my 1+1，x 2＝my 2+1；x=(my2+1)y1+(my1+1)y2y1+y2=2my1y2+(y1+y2)y1+y2=4；所以直线P1Q与x轴交点H（4，0）．14．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，点E（a，b）在抛物线N：x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB 中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．【分析】（1）根据题意求得F及中点F2，根据a与b，c的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据导数的几何意义，求得直线AB的方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得C点坐标，即可求得k1k2为定值．【解答】解：（1）由题意F恰为（0，b），所以中点F2（c，0）满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x 24+y23=1；（2）证明：设P（t，√3t 24），因为抛物线N：y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t（x﹣t）+√34t2，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入椭圆x 24+y23=1得：12（1+t2）x2﹣12t3x+3t4﹣48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t（x1+x2）−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C （t 32(1+t 2)，−√3t 24(1+t 2)），则k 1=√34t ，k 2=−√32t ，所以k 1k 2=−38（点差法等其他方法正常给分）．15．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点M （﹣2，1），且右焦点F(√3，0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N （1，0）的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t =MA →⋅MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1+t 2的值． 【分析】（Ⅰ）列方程组求解出a 2，b 2即可；（Ⅱ）对k 讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t 的恒成立方程进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，{a 2−b 2=3，4a 2+1b 2=1，解之得a 2＝6，b 2＝3， 故椭圆Γ的标准方程为x 26+y 23=1．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x 26+y 23=1，y =k(x −1)，得x 2+2k 2（x ﹣1）2＝6，即（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣6＝0，因为（1，0）在椭圆内部，△＞0， 所以x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−61+2k 2，则t =MA →⋅MB →=(x 1+2)(x 2+2)+(y 1−1)（y 2﹣1） ＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+（kx 1﹣k ﹣1）（kx 1﹣k ﹣1） =(1+k 2)x 1x 2+(2−k 2−k)(x 1+x 2)+k 2+2k +5 =(1+k 2)⋅2k 2−62k 2+1+(2−k 2−k)⋅4k 22k 2+1+k 2+2k +5，=15k 2+2k−12k 2+1，所以（15﹣2t ）k 2+2k ﹣1﹣t ＝0．k ∈R ， 则△＝22+4（15﹣2t ）（1+t ）≥0，∴（2t ﹣15）（t +1）﹣1≤0，即2t 2﹣13t ﹣16≤0， 又t 1，t 2是2t 2﹣13t ﹣16＝0的两根，∴t 1+t 2=132，当直线AB 斜率不存在时，联立{x 26+y 23=1，x =1，得y ＝±√102，不妨设A(1，√102)，B(1，−√102)， MA →=(3，√102−1)，MB →=(3，−√102−1)，MA →⋅MB →=9−104+1=152，可知t 1＜152＜t 2．综上所述，t 1+t 2=132．16．已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与y 轴交于C 点．（1）若EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，求乘积λ1•λ2的值；（2）若E （4，0），过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，求出此定直线方程．【分析】（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ），用t ，m 表示出λ1，λ2，设直线l 斜率为k ，联立方程组，根据根与系数的关系即可得出λ1λ2的值；（2）利用导数求出抛物线在A ，B 处的切线方程，联立方程组得出M 的交点坐标，再根据根与系数的关系消去参数即可得出定直线方程． 【解答】解：（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ）， ∵EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，∴{(x 1−t ，y 1)=λ1(−t ，m)(x 2−t ，y 2)=λ2(−t ，m)，解得{λ1=t−x1t λ2=t−x 2t，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k （x ﹣t ）， 由{y =k(x −t)x 2=4y得x 2﹣4kx +4kt ＝0， 当△＝16k 2﹣16kt ＞0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝4kt ， ∴λ1λ2=t 2−(x 1+x 2)t+x 1x 2t 2=t 2−4kt+4ktt 2=1．（2）设M （x ，y ），由x 2＝4y 可得y =x 24，故y ′=x2， ∴抛物线在A （x 1，x 124）处的切线方程为y −x 124=x 12（x ﹣x 1），即y =x 12x −x 124，同理可得抛物线在B （x 2，x 224）处的切线方程为y =x 22x −x 224，联立方程组{y =x12x −x124y =x 22x −x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， ∵E （4，0），即t ＝4，由（1）可得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝16k ， ∴{x =2ky =4k，即y ＝2x ． ∴点M （x ，y ）在直线y ＝2x 上．17．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），圆P的半径为r，根据动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，可得√(x−2)2+y2=r+1，又动圆P与直线x＝﹣1相切，可得r＝x+1，消去r得曲线C的轨迹方程．（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则y02=8x0，y12=8x1，y22=8x2，k MA=y1−y0x1−x0=8y1+y0，k MB=y2−y0x2−x0=8y2+y0，可得：k MA+k MB=8y1+y0+8y2+y0=8(y1+y2+2y0)y02+(y1+y2)y0+y1y2，显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty﹣2，与抛物线方程联立得：y2﹣8ty+16＝0，利用根与系数的关系代入上式，进而得出结论．【解答】解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，………………………………………（1分）所以√(x−2)2+y2=r+1，①………………………………………………………（2分）又动圆P与直线x＝﹣1相切，所以r＝x+1，②………………………………………………………………………（3分）由①②消去r得y2＝8x，所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．…………………………………………………（5分）（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则y 02=8x 0，y 12=8x 1，y 22=8x 2，k MA =y 1−y 0x 1−x 0=8y1+y 0，k MB =y 2−y 0x 2−x 0=8y2+y 0，…（6分）所以k MA +k MB =8y1+y 0+8y2+y 0=8(y 1+y 2+2y 0)y 02+(y 1+y 2)y0+y 1y 2，③…………（7分）显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty ﹣2， 联立方程组{y 2=8x x =ty −2，消去x 得y 2﹣8ty +16＝0，由△＞0得t ＞1或t ＜﹣1，所以y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2．…………………（8分） 代入③式得k MA +k MB =8(8t+2y 0)y 02+8ty+16，令8(8t+2y 0)y 02+8ty0+16=m （m 为常数），整理得(8my 0−64)t +(my 02−16y 0+16m)=0，④………………………（9分）因为④式对任意t ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，所以{8my 0−64=0my 02−16y 0+16m =0，…………………………………………………（10分）所以{m =2y 0=4或{m =−2y 0=−4，即M （2，4）或M （2，﹣4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，﹣4）满足题意．…………………（12分） 18．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，右焦点为F ，上、下顶点分别是B ，C ，|AB|=√7，直线CF 交线段AB 于点D ，且|BD |＝2|DA |． （1）求E 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得l 交E 于M ，N 两点，且F 恰是△BMN 的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一先分别求出直线AB ，CF 的方程，再求得D 的坐标．然后将|BD |＝2|DA |转化为BD →=2DA →，得到a ＝2c ，再结合|AB|=√7，求得a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；方法二：设椭圆的左焦点G ，由椭圆的对称性可知BG ∥CF ，根据平行线的性质，即可求得a ＝2c ，再结合|AB|=√7，求得a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）只要能通过假设存在满足题意的直线，根据F 是△BMN 的垂心，得到BF ⊥MN ，进而确定直线MN 的斜率，由此设出直线MN 的方程并与椭圆方程联立；再根据F 是△BMN 的垂心，得到MF ⊥BN ，将其转化为MF →⋅BN →=0或k MF •k BN ＝﹣1，并结合韦达定理，即可求得m 的值，求得直线l 的方程．【解答】解：（1）方法一：设椭圆E 的右焦点F （c ，0）， 则直线AB 的方程：xa +yb =1，直线CF 的方程：xc −yb =1， 联立解得：{x =2aca+c y =b(a−c)a+c ，则D （2ac a+c ，b(a−c)a+c ）， 由|BD |＝2|DA |，则BD →=2DA →，则（2aca+c ，−2bca+c ）＝2（a(a−c)a+c，−b(a−c)a+c），则a ＝2c ，由|AB |=√a 2+b 2=√7，a 2＝b 2+c 2，解得：c ＝1，a ＝2，b =√3， ∵椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．方法二：设椭圆的左焦点G ，由椭圆的对称性可知BG ∥CF ， ∵|BD |＝2|DA |，则|GF |＝2|F A |，即2c ＝2（a ﹣c ），则a ＝2c ， 由|AB |=√a 2+b 2=√7，a 2＝b 2+c 2，解得：c ＝1，a ＝2，b =√3， ∵椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）假设存在满足条件的直线MN ，由垂心的性质可得BF ⊥MN ，从而得到直线l 的斜率k =√33， 设l 的方程为y =√33x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =√33x +m x 24+y 23=1，整理得：13x 2+8√3mx +12（m 2﹣3）＝0，由△＝（8√3m ）2﹣4×13×12（m 2﹣3）＞0，解得：−√393＜m ＜√393， x 1+x 2=−8√3m13，x 1x 2=12(m 2−3)13．由MF ⊥BN ，则MF →⋅BN →=0，即(1−x 1)x 2−y 1(y 2−√3)=0， 整理得y 1y 2−√3y 1+x 1x 2﹣x 2＝0， 将y 1=√33x 1+m ，y 2=√33x 2+m ， 代入化简得43x 1x 2+√33（m −√3）（x 1+x 2）+m 2−√3m ＝0， ∴1613（m 2﹣3）−813（m 2−√3m ）+m 2−√3m ＝0，∴16（m 2﹣3）﹣8（m 2−√3m ）+13（m 2−√3m ）＝0，提取公因式（m −√3），（m −√3）[16（m +√3）﹣8m +13m ]（m −√3）＝0， 即（21m +16√3）（m −√3）＝0， 由B （0，√3），则m ≠√3，解得m =−16√321，满足−√393＜m ＜√393， ∴m 的值−16√321，直线l 的方程y =√33x −16√321．。