过圆上一点求圆切线方法
过一点求圆的切线方程
过一点求圆的切线方程
在几何学中，“过一点求圆的切线方程”是一个非常有用的概念。
一个圆的半径是由它的中心点和任意一点确定的，所以我们可以在圆的某一点上计算出准确的切线方程。
让我们以圆(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5为例，来进行说明。
首先，复习以下几何学概念：
* 圆形具有唯一的中心，它称为圆心，坐标(2, -1)；
* 圆的半径是指从圆心出发，到圆上任意一点的距离，半径长度为
sqrt(5)；
* 圆的法线是从圆心出发，沿着圆的方向水平的直线，这里的法线方程为y=-1。
然后，我们可以使用求导的方法求出过这一点的切线方程。
首先，用微积分的方法求出圆的方程：
d/dx[(x-2)^2 + (y+1)^2 - 5] = 2(x-2) + 2(y+1) dy/dx = (y+1) / (x-2)
因为我们想求的是切线方程，所以我们需要求出这个圆的法线方程。
圆的法线方程是：y = (-1 / (x-2))x + (1 / (x-2))
接下来，我们就可以求出过给定点的切线方程，这里的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + ((1-y0) / (x-2))
其中，y0为给定点的坐标，如果给定点为(2,-2)，则过此点的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + (3 / (x-2))
综上所述，本文介绍了如何求出过一点求圆的切线方程的方法，即先求出圆的方程，然后求出法线方程，再求出过给定点的切线方程。
通过此方法，我们可以轻松地计算出某一圆上某一点的准确切线方程。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考.1.利用几何性质来求切线方程当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程.例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线.设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3),化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0.由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1＝2, 解得k ＝3±265. 所以切线方程为y －2＝3±265(x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解.2.利用方程的判别式来求切线方程当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程.例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线.当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2).直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0,因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0.解得k ＝－34. 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34(x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2.3.利用垂直关系求切线方程当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程.例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程.解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线.设切线方程为l :y －2＝k (x －3).由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5.点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算.小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.。
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法
求点在圆外到圆的切线方程的快速方法要求点在圆外到圆的切线方程，可以采用以下步骤：
1．确定圆的方程：首先需要知道圆的方程，通常表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
2．确定点在圆外的条件：如果点(x_0, y_0)在圆外，那么(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 > r^2。
3．设定切线方程：设切线方程为y-y_0 = k(x-x_0)，其中k是切线的斜率。
4．利用圆心到切线的距离等于半径：由于切线与圆相切，圆心到切线的距离应该等于圆的半径，即|((a-x_0)/sqrt(1+k^2)) - ((b-y_0)/sqrt(1+k^2))| = r。
5．解方程求得切线斜率：将上述方程化简后得到关于k的一元二次方程，解这个方程可以得到k的两个可能值。
6．写出切线方程：对于每个k的值，都可以写出对应的切线方程y-y_0 = k(x-x_0)。
需要注意的是，由于过圆外一点可以作两条切线，因此求得的k可能会有两个值，对应的两条切线中，一条是标准的切线，另一条是垂直于圆心的直线，其方程为x=x_012。
此外，有一种快速求解的方法是基于圆的切线定义，直接写出切线方程的形式，如(x-a)*(x_0-a) + (y-b)*(y_0-b) = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，(x_0, y_0)是给定的点3。
这种方法适用于熟练掌握圆的切线性质并能够迅速应用到具体问题中的情况。
高中数学必圆的切线方程
y = k(x + 3) -3
．(2, 2)
O
x
B(-3,- 3)
1、知识结构 圆上一点
四、小 结
圆的切线
几何法 代数法
圆外一点
斜率已知
结论1 结论2 结论3
应用 2、通过这节课的学习，对圆的切线有较全面的认识。 3、思维相似律在解决问题、知识创新诸方面作用巨大.
五、思考与作业
课后思考：
1、圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 上一点 (x0, y0 ) 的切 线方程为：(x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
求 y 2 的取值范围。y x 1
A (1, 2)
B
OCx P (x, y)
已知实数x, y满足x2 y2 1,
求 y 2 的取值范围。y x 1
A (1, 2)
B
k AP k AB
OCx
P (x, y)
自点A( -3, 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，
其反射光线所在的直线与圆
l x02 y02 Dx0 Ey0 F
例3 已知直线 l 的斜率为 k ,且与圆
x2 y2 r 2只有一个公共点 . 求直线 l 的方程.
解：圆心到直线 y kx b 的距离
d | b | r. 1 k2
b r 1 k2 .
y y=kx+b
O
x
直线 l 的方程是 y kx r 1 k 2 .
x
结论二：
过圆 (x a)2 ( y b)2 r2 上一点 (x0, y0) 的切 线方程为： (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
y
M (x0 , y0 )
过一点求圆的切线的方程
[练习]
1.下列方程各表示什么图形?
(1) x2 y2 0 原点(0,0)
x y (2)
2
2
2x 4y 6 0
圆心(1,-2),半径
11
(3) x2 y2 2ax b2 0,(ab 0)
圆心 ( a,0), 半径 a 2 b2
2.求下列各圆的半径和圆心坐标.
3、当D2 E2 4F 0时，方程（1）不表示任何图形。
当D2 E2 4F 0时，方程（1）表示以（ D , E )为圆心，
1 D2 E2 4F为半径的圆。
22
2
圆的一般方程 判断以下方程是不是圆的方程： ① x2 ＋ y2 － 2x ＋ 4y ＋ 1 ＝ 0 ② X 2＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 5 ＝ 0 ③ X2 ＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 6 ＝0
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解
F 0
D
E
F
2
0
解得F＝0，D＝8，E＝6
4D 2E F 20 0
圆的半径为 r D2 E2 4F 5 2
于是得到所求圆的方程x2+y28x+6y＝0．
∴圆的半径为5、圆心坐标是(4，－3)
(ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想 [如习题示例(2)] 11. [作业]
P826 , 7 , 8
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
过已知点求圆的切线方程
过已知点求圆的切线方程已知问题：如何求解过已知点的圆的切线方程？解决方案：1. 理论介绍在几何学中，圆是由一组等距离的点构成的图形，其中任意两点与圆心的距离相等。
圆的切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
对于求解过已知点的圆的切线方程，我们可以利用圆的性质和几何分析来解决。
2. 基本概念在进一步讨论之前，需要了解一些基本的几何概念：2.1. 圆心：圆心是圆的中心点，由于圆的对称性质，任意一条过圆心的直径都是圆的一个对称轴。
2.2. 半径：半径是从圆心到圆上的任意点的距离，半径长短决定了圆的大小。
2.3. 弦：弦是连接圆上两个点的线段，当弦的两个端点重合时，称之为直径。
2.4. 切线：切线是与圆相切且仅与圆相交于切点的直线。
3. 求解过已知点的圆的切线方程的方法在已知圆的前提下，我们需要找到过给定点的切线。
下面介绍两种求解过已知点的圆的切线方程的方法。
3.1. 切线的性质对于切线的性质，我们可以得出以下结论：- 切线与半径垂直于切点。
- 圆的切点与圆心、切线上的点构成的直角三角形的两个锐角和为90°。
- 切线对应的切点在圆上。
3.2. 法一：几何分析通过几何分析，我们可以按照以下步骤求解过已知点的圆的切线方程：步骤1：已知圆的方程和已知点的坐标。
设已知圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，已知点的坐标为(x₀,y₀)。
步骤2：计算圆心到已知点的距离。
d = √[(x₀-a)²+(y₀-b)²]步骤3：计算切点坐标。
切点P(x₁,y₁)的坐标可通过以下公式计算：x₁ = a + r * (x₀-a) / dy₁ = b + r * (y₀-b) / d步骤4：利用切点和圆心的坐标，计算切线的斜率。
切线的斜率k = (y₁-b) / (x₁-a)步骤5：利用斜率k和切点的坐标，利用直线的点斜式求解切线方程。
切线方程的一般形式为y = kx + c，其中直线上的点为切点P(x₁,y₁)。
圆的切点弦方程的九种求法
圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。
222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。
223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。
224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。
+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。
三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
过圆上一点的切线方程推导过程
过圆上一点的切线方程推导过程好嘞，今天咱们聊聊过圆上一点的切线方程。
这听起来有点儿高大上，但其实说白了就是一个简单又有趣的几何小故事。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，正悠闲地在公园的草坪上躺着，四周都是花花草草的，心情美美的。
这时候，突然有人在你旁边打了个球，正好砸到了一个圆球上，那圆球就哒的一声弹起来，形成了一条切线。
这个切线可不是随便来的，它有自己的“小脾气”。
得搞清楚什么是圆。
圆就是那种外面一圈，里面有个“心”的东西。
比如，一个大大的披萨，四周都是香喷喷的边，中心部分是美味的奶酪和配料。
圆的方程，咱们通常用这样的方式来表示：(x^2 + y^2 = r^2)。
这r就代表半径，越大越好，像你那颗越来越大的心。
咱们说说过圆上一点。
这点就是在披萨上的某个位置，咱们给它取个名字，比如说叫A点，坐标是(x₀, y₀)。
这个点可重要了，它可是切线的“出发地”。
想象一下A点在披萨上的某个甜点区域，那个位置就让人忍不住想去碰一碰。
然后，咱们还需要找出这条切线的斜率。
别担心，这听起来复杂，其实就像是滑冰，滑得好就行。
切线的斜率，咱们可以用圆的半径来算。
半径就是从圆心到A点的连线，斜率很简单，记住啦，圆心的坐标是(0, 0)，所以斜率就可以用这样的方法求出：(frac{y₀0{x₀ 0 = frac{y₀{x₀)。
这就是那条半径的斜率。
切线的斜率和半径的斜率是相反的，喔，真有意思吧！所以，切线的斜率就是(frac{x₀{y₀)，就像把冰淇淋反着吃一样，味道不一样，但就是那么美妙。
咱们得写出切线的方程。
用一个非常好记的公式，(y y₀ = m(x x₀))，这里的m 就是切线的斜率。
换句话说，你可以想象成在跟小朋友玩抛球，他们总是期待你把球抛向他们的方向。
把刚才得到的斜率代进去，咱们就有了：(y y₀= frac{x₀{y₀(x x₀))。
看，这个方程就是你从A点出发，哐当哐当地延伸出去的切线。
你还可以把这个方程整理一下，变得更简洁明了，比如说乘上y₀，再整理一下，最后得到的切线方程看起来就是：(y₀x + x₀y = r^2)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。
本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。
设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成 x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（ y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。
此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。
此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切
线互相垂直，两者斜率互为负倒数即k直径=y0/ x0，
k切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得：
（y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。
在此基础上，我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点（x0，y0）的切线方程，我们以（a，b）为坐标原点建立新坐标系x‘o‘y‘，新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x‘=x-a，y‘=y-b，则（x0，y0）在新坐标系中的坐标为（x0‘，y0‘），x0‘=x0-a，y0‘=y0-b，在新坐标系中圆的方程为x‘2+y‘2= r2，根据第一种情况推导出结论：经过（x0‘，y0‘）点的切线方程为x0‘x‘+y0‘y‘= r2，然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。
以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直，通过垂直直线间的斜率关系k1k2=-1可以得到切线的斜率，然后应用点斜式求解直线方程，第二种情况是在第一种情况的基础上，借助坐标变换得出的，在新坐标系中构建出第一种情况的模型，然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中，这种方法化简了推导过程，解决了运算的困难，取得深入浅出的效果。
针对有些问题中出现的圆的一般方程，笔者建议先对圆的一般方
程进行配方，得出标准方程后再进行运算。
最后要说明的是，在介绍此方法时，不能只给学生结论而不给推导过程，要让学生知其然知其所以然，带动学生思维发展，否则只能会固化学生思维，使学生失去创造力，对学生未来的发展有害无益。
此方法的介绍会激发学生学习数学的兴趣，鼓舞学生学会独自总结数学规律的方法，促进学生的行动，在此过程中培养学生的多种能力，如分析、归纳、运算、推理等。
由于本人数学水平有限，在撰写本文过程中可能有不当之处，权当抛砖引玉，敬请读者不吝指正。