归纳：圆外一点求切线长的方法
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切线长定理(2)全面版
2
A
P
O
B
C
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
3.5 直线和圆的位置关系(3)切线长定理--
1、观察下图中哪些线段的长是切线长？ 已知：AB、BC、AC切圆0于点D、E、F
点A到圆的切线长是
点B到圆的切线长是
A
点C到圆的切线长是
2、猜想：AD与
AF；BD与BE；
D
CE与CF的关系？ B
为什么？
F C
E
挑战自我
• 1.已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切
线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?
A 镇 商 业 区D
.M F
CE
B
镇工业区
如图：从⊙O外的定点P作⊙O 的两条切线，分别切⊙O于点A和B，
P
在弧AB上任取一点C，过 点C作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点D、E。
DA
C
O
EB
试证：⑴ △PDE的周长是定值; PA+PB ⑵ ∠DOE的大小是定值. ∠AOB
2
若∠P=40°，你能说出∠DOE的度数吗？
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
定理：圆的外切四边形的两组对边和相等。
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系 圆的外切四边形：边的关系
练习、已知圆外切四边形 ABCD中，AB：BC：CD=4： 3：2，它的周长为24cm。则
AB= 8cm ，BC= 6cm ；
九年级数学(下)第三章 圆
5.直线和圆的位置关系(3)切线长定理
什么叫圆的切线？如何判定一条直线是 圆的切线？
(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线; (2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; (3)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
第24章圆《切线长定理》课件人教版数学九年级上册
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考:由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
A
c b
r.
r = a+b-c
2
你能推出 这个公式吗？
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为
__2_c_m__。
活动三：例题讲解
想一想
A D
1.如图⊙O是△ABC的内切圆。
C
E
o
60°
D
AB
课后作业： 教材 P101-102 习题24.2 ，第6、11、14题
早/起/的/鸟/儿/有/虫/吃
两切线的夹角。
思考：切线与切线长 有何区别？
B
P O
A
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
三、教材P99 1、三角形内切圆圆心有何性质？
2、如何确定三角形内切圆的圆心？ 3、画出△ABC的内切圆
三角形内心：三角形内切圆的圆心、三条角形平 分线的交点、内心到三边的距离相等。
切线长定理
教
了解切线长定理，掌握切线长定理并能用它解决
有关的证明或计算问题；
学
培养学生操作、观察、交流讨论、合作探究能力，
目
养成积极主动的良好学习习惯；
渗透数形结合思想，提高综合运用知识分析新问
标
题，解决问题的能力。
教学重难点
重点：理解切线长定理
难点：与切线长有关的证明 或计算问题，三角形的内切 圆计算问题
B O
A
1、什么叫做圆外一点到圆 的切线长？ 2、切线长定理的内容是什么？ 3、这个定理是怎样证明的？
九年级上册数学精品课件： 切线长定理
课堂小结
切线长 切线长 定理
三角形 内切圆
原理 作用
辅助线
有关概念 应用
图形的轴对称性
提供了证线段和 角相等的新方法
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段 转化集中到某条边上，从而建 立方程.
谢谢观看
证明：∵PA切☉O于点A，
O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
OP=5 3cm.
即铁环的半径为 5 3cm.
练一练
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP=5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
二 三角形的内切圆及作法
互动探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三 角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能 使裁下的圆的面积尽可能大呢？
BF=BD=AB-AF=13x(由cmB).D+CD=BC，可得
F E
O
(13-x)+(9-x)=14， C
D
切线长定理
沪科版《数学》九年级（下）小结升切线长定理这节课你学到了什么知识？ 在解题的过程中你有什么解题的心得？ 在和同学交流的过程中，你有什么体会？
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
教材41页9、10两题
分层作业
必做题
选做题
如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、
B、C，CQ、BP的延长线交于点M ，当点A 在弧BC上运动时，△MQP的周长会发生变 化吗？请说明理由.
①QO与OP的位置关系，并证明；
②QO与AB的位置关系，并证明.
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
应用延伸
切线长定理
思考题
如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、B、C，
当点A在弧BC上运动时，∠QOP的度数会发生变化 吗？请说明理由.
CQ
A O
几何画板文档
B
P
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
安徽省2019年度“一师一优课、一课一名师”大赛
沪科版九年级下册24.4.4
马鞍山市当涂县姑溪初中 袁正千
人教版《数学》九年级（上）
马鞍山当涂县姑溪初中 袁正千
沪科版《数学》九年级（下）
情境引入
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长.
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沪科版《数学》九年级（下）
自主探索
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角.
∵ PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，而切线与切线定理也是与圆密切相关的概念和定理。
在本文中，我们将对圆的切线和切线定理进行归纳并介绍计算方法。
一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。
切线的特点是与圆相切于切点，并且切点在切线上。
根据切线的定义，我们可以得出切线具有以下性质：1. 切线与半径垂直在圆的任意切点处，切线与通过该点的半径垂直相交。
这是切线与圆的一个重要性质，在计算切线时会用到。
2. 切线的切点切线与圆相切于切点，而切点位于切线上。
这也是切线的定义之一，切点的坐标可以通过计算得出。
二、切线定理的计算方法切线定理是描述切线与半径之间的关系的一组定理。
我们将介绍几个常用的切线定理及其计算方法。
1. 切线长定理切线长定理描述了切线和半径之间的关系。
对于与圆相切的切线来说，切线上的两个切点到圆心的距离乘积等于这两个切点分别到圆心的距离的平方。
具体计算方法如下：假设切线与圆相切于点A和点B，圆的半径为r，圆的圆心为O。
则有以下关系成立：AO × BO = AC² = BC²其中，AO和BO分别表示点A和点B到圆心O的距离，AC和BC分别表示点A和点B到圆心O的距离。
2. 外切线定理外切线定理指出，如果一条直线同时与两个相交圆的外切，那么它们的切点与连接圆心的直线构成一个等边三角形。
具体计算方法如下：对于与两个圆相切的外切线来说，它的两个切点与两个圆心之间形成的三角形是等边三角形。
设两个圆的半径分别为r₁和r₂，切点之间的距离为d，则有以下关系成立：d = r₁ + r₂其中，d表示切点之间的距离，r₁和r₂表示两个圆的半径。
三、圆的切线与切线定理的应用举例为了更好地理解切线和切线定理的计算方法，我们举例说明。
例题1：已知一个圆的半径为3 cm，点A是这个圆上的一个切点，连接点A和圆心O的线段OA与圆相交于一点B。
圆的切线长定理28页PPT文档
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如
果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,A1C1= AB= 6cm
9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB
于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的角形的 内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
D
三角形的内心就是三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
B
┐ E
C
归纳
三角形的内切圆可以作出一个，因为三角形 三个内角的平分线交于一点，这点即为圆心，这 点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径， 圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出 一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心（incenter）．
读一读P119 10
四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四条边都与一个圆相 A 切,这圆叫做四边形的内切圆.这个 四边形叫做圆的外切四边形.
B
D ●O
C
n我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: n1.圆外切四边形两组对边的和相等.
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
切线长定理(用)
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 内切圆的半径 r＝ 或r＝
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
。
2
A
3
B
C
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 内切圆的半径 r＝ 或r＝
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
。
2
A
3
B
C
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
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第一步：将圆的方程配成点斜式，求得圆心坐标与半径，并判断
点()00,y x M 与圆的位置关系：
若点
M 在圆上，则过点M 作圆的切线只存在一条，此时利用过
圆上一点求切线方程的公式即可求得切线方程。
若点M 在圆外，则过点M 作圆的切线一定能够作出两条。
第二步：假设点M 在圆外，并假设过点M 作圆的切线的斜率存
在，设其为k ，利用直线的点斜式方程可得方程为()00x x k y y -=-。
第三步：由于圆心C 到这条直线的距离等于半径，那根据点到直
线的距离公式可将斜率k 求出来：
若求得的k 值有两个，则将其代入该直线的方程即可求得两条切
线的方程；
若求得的k 值只有一个，那么另一条切线的斜率一定不存在，这
时，可通过画图观察得到另一条切线的方程。