量子力学总复习
量子力学复习重点
1 e 2
2 2
x
e
i Px
dx
e
1 2 x2 2
e
i Px
dx
1 2 1 2 1 2
e
1 ip p2 2 ( x 2 )2 2 2 2 2
dx
2 e
4 2 1 ( 3 2a0 a0
0
r 2 r / a0 (2r )e dr a0
2 2 a0 a0 4 2 2 ( 2 ) 4 2 4 4 2a0 2a0
(r , , )d (5) c( p) * p (r )
c( p ) 2
p2 ； 2
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) U
1 1 2 x 2 2 2 2
x 2 e
2
x2
dx
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 4
(2) T
4 3 a0
0
r 3 a 2 r / a0 dr
4 3! 3 a0 3 4 2 a0 2 a 0
(2) U (
e2 e2 ) 3 r a0
0 0
2
0
1 2 r / a0 2 e r sin drd d r
e2 3 a0 4e 2 3 a0
解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
量子力学考试复习
第一章⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。
⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
⒊维恩位移公式表明，物体所发出的最强光的波长与温度成反比，或者说，最强光波长的位置随着温度的改变而移动。
⒋辐射热平衡状态: 处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
⒌实验发现，维恩公式只在高频(短波)时与实验结果相符合，而在低频(长波)时与实验结果明显不一致。
⒍实验发现，瑞利—金斯公式在长波部分与实验符合较好，而在短波部分则完全不符，而趋于无穷大。
⒎普朗克量子假说：表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。
这种电子称之为光电子。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
⒑爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
爱因斯坦方程⒒光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。
②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。
教务处量子力学复习提纲
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
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8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。
-" cm称为电子的 Compton 波长。
m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。
9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
量子力学基本知识点总概括
En 1 n 0*H ˆ n 0d
En 2
l
'E H n 0ln -H E ln (0)ll
'En H 0n -E 2ll0
H'nm n 0*H ˆm 0d
实际应用：案例（习题集二、25-27）
例转1动P惯18量0求为电I、介电质偶的极极矩化为率D 。的空间转子处在均匀电场中的
能量。
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五个基本假设
• 公设一：量子力学对物质系统的描述方式。微观体系的运动状 态由相应的波函数(r,t)完全描述，归一化的波函数是几率波 振幅；
• 公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。微观体系的运 动状态波函数(r,t)随时间变化的规律遵从薛定谔方程；
• 公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述方式。微观体系 的力学量由相应的线性厄米算符表示。基本对应关系是： x ，p 。完全确定一个系统的状态需要一组完全的力 学量集合，代表它们的算符两两对易；
问题。O r * r r,tO ˆ rr r,td r r=c n2n n
如：1.用直接积分法和周期性边界条件求轨道
角动量的
Lˆz
i
Z分量算符的本征值和本
征态，并求本征态的归一化常数。2.无限深势
阱波函数。
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表象问题
比如：
Fmn mFˆ n
F11
F21
Fn1
F12 F22
• 公设四：量子力学对物质系统的力学量的确定方法。它们之间 有确定的对易关系（称为量子条件），因此力学量算符由其相 应的量子条件确定；
• 公设五：量子力学对全同多粒子系统的波函数的特点。全同的 多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性， 玻色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 返回
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2 mv m A
A 为该金属材料的逸出功
3 光子的能量、质量与动量 光子静止质量: m 0 0
m
hν c
2
光子的能量：
h ν mc
p h
2
光子的动量：
h p n
4 光的“波粒二象性”
四
康普顿效应
hν0 n0 c
碰撞过程中能量守恒
hν n c
hν 0 m 0 c hν mc
Ψ t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
Ψ ( r , t ) U ( r , t )Ψ ( r , t ) i
2
Ψ (r , t ) t
2m
2 定态薛定谔方程 若势能 U 与 t 无关，仅是坐标的函数。
Ψ (r , t ) Φ (r )e
i
Et
2 * Ψ (r , t ) Ψ (r , t )Ψ (r , t ) Φ (r )
E mc hν
2
p mv
h
这种和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或 物质波 。
h p
h mV
h m 0V
1
2
德布罗意公式
h m0v
如果 v c ,
则：
七 不确定性关系
1 位置与动量的不确定性关系
x p y p z p
x
1 玻尔的三条基本假设 （1）定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的 状态，在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射 电磁波。这些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）。 这些定态的能量：
E1 , E2 , , En
（2）角动量量子化条件：在这些稳定状态下电子绕核运动的轨 道角动量的值，必须为 h / 2 的整数倍，是不连续的，即有：
l = 0，1 , 2 , 3 , …
分别用 s , p, d , f , … 表示
3 原子的壳层结构中电子的填充原则 1) 泡利不相容原理：一个多电子原子系统中，不可能 有两个或两个以上的电子具有相同的状态, 即不能有 两个电子具有相同的 n , l , m l , ms 2) 能量最小原理 基态原子中电子先填满能量小的壳层
νkn
En
En Ek h
1 n
2
me 8
2 0
4 2
h
ν kn
4
me
2 0
4 2
8 h
(
1 k
2
1 n
) 2
R
me
2 0
8 h c
2
1 097373 10 m
7
1
六 德布罗意波
不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、 分子等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量 P 和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为 和波长为 ν 的波, 二者之间的 关系如同光子和光波的关系一样, 满足：
主量子数 n
n 1, 2 , 3 , ,
2 轨道角动量量子化和角量子数 电子绕核运动的轨道角动量必须满足量子化条件：
L l ( l 1) h 2 l ( l 1)
角(副)量子数 l
l 0 , 1 , 2 , , ( n 1)
3 轨道角动量空间量子化和磁量子数 电子绕核运动的轨道角动量 L 的方向在空间的取 向是量子化的，角动量L 在外磁场方向的投影LZ必须 满足量子化条件： h LZ ml ml 2
2 2 2
y
z
2 能量与时间的不确定性关系
t
2
八 波函数及其统计解释
1 波函数
Ψ (r , t )
2 玻恩（M..Born)的波函数统计解释
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。
出现在 dV 内概率： dW Ψ ( r , t )
T m = b
二 普朗克量子假说
辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这 些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能 处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不 能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍
, 2 , 3 , 4 , , n
n为整数，称为量子数
L mvr n h 2 n ( n 1,2,3 )
r 轨道半径
（3）跃迁假设： 电子从一个能量为En 稳定态跃迁 到另一能量为Ek稳定态时， 要吸收或发射一个频率为 的光子，有：
νkn En Ek h
—— 辐射频率公式
2 氢原子轨道半径
rn n
2
0h
Et
十
一维无限深势阱中的粒子
0
Φ (x)
（ x <0,
sin n a x
x >a)
2 a
（ 0< x <a ）
十一
量子力学中的氢原子问题
1 能量量子化和主量子数
En
me
2
4 2
1
2
2 ( 4 0 ) n 1 n
2
me
2
4 2
1
2
8 0 n
13 . 6
( eV )
2
定态： 粒子在空间各处出现的几率不随时间变化的。
定态薛定薛方程
2
Φ UΦ EΦ
2
Φ
2
2m
2
( E U )Φ 0
2m
一维定态薛定谔方程
d Φ (x) dx
2 2
2m
2
(E U) Φ ( x ) 0
Ψ (r , t ) Φ (r )e
i
对频率为 的谐振子, 最小能量为:
hν
称为能量子
三 光电效应
1 爱因斯坦光量子假说 1）一束光是一束以光速运动的粒子流， 这些粒子称为光子（光量子） 2）每个光子的能量 2 爱因斯坦光电效应方程 当频率为 光照射金属时，一个电子是整体吸收一个光子 根据能量守恒
hν
hν
1 2
2
2
碰撞过程中动量守恒
e
mv
hν0 hν n0 n mv c c
0 h (1 cos ) m 0c
c
h m 0c
(1 cos ) c
m 0 . 0024 nm
康普顿散射波长
2 4 10
12
五 玻尔氢原子量子论
磁量子数 ml
ml 0 , 1, 2 , , l
十二 电子的自旋
S s ( s 1)
S z m s
自旋角量子数s
, 自旋磁量子数
ms
s
1 2
ms
S
1 2
3 4
自旋角动量的大小
s ( s 1)
自旋角动量在 z轴的分量
S
z
2 2
玻尔半径
r1 5 3 10
11
me
2
m 0 53 A
0
rn n r1
3 能量的计算
( r1 , 4 r1 , 9 r1 )
En
1
2
me
2 0
4 2
基态能量
n 8 h
n 1时, E1 13 6eV
能量是量子化的
En
E1 n
2
4 氢原子光谱的理论解释
量子力学基础 小 结
一 黑体辐射的实验定律
黑体的单色辐出度 M0(T)在温度一定时随 波长的变化实验规律
M (T )
M 0(T)
2200K 2000K 1800K 1600K
0
M 0 (T )d
1)斯特藩-玻耳兹曼定律
m
M(T )=T 4
2)维恩位移律
= 5.6710 -8 W/m2K4 b = 2.897756×10-3 m· K
1 2
十三 原子的壳层结构
1 电子状态由四个量子数决定
1) 主 量 子 数 n , n = 1, 2, 3, …
大体上决定原子中的电子的能量
2) 轨道角量子数 l , l = 0, 1, 2, …, ( n – 1 )
决定电子的轨道角动量, 对能量也有影响
3) 轨道磁量子数 ml , m l = 0, 1, 2, …, l
决定轨道角动在外磁场方向上的分量
4)自旋磁量子数 ms , m s = 1/2
决定电子自旋角动量在外磁场方向上的分量
2 原子的壳层结构 (1916 , W.Kossel ) 主量子数 n 相同的电子属于同一壳层
n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ….
分别称为 K , L , M , N , O , P , …. 壳层 同一壳层中( n 相同)，l 相同的电子组成同一分壳层
2
dV
概率密度： 单位体积内粒子出现的概率
w Ψ (r , t )
3 波函数满足的条件
2
ΨΨ
*
单值、有限、连续、归一
Ψ
2
dV 1
九 薛定谔方程
1 一般含时薛定谔方程
2
2 m x
[
2 2
2 2
y
2 2
z
]Ψ U ( x , y , z , t )Ψ i