2.1 认识无理数.ppt
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北师大版八年级数学上册第二章2.1认识无理数课件共23张PPT
讲授新课
一 无理数的认识
活动探究
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
还有好多方法哦！课余时间再动手试一试， 比比谁找的多！
11 11
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11 22 11 22
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11 11
问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？ 因为S大正方形=2，所以a2=2.
追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？
从“数”的角度：
a
因为 a2=2, 而12=1, 22=4
所以 12<a2<22 ,
所以 1< a< 2，a不是整数
a
a
从“形”的角度：
A
取出一个三角形 C
B
在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系：
AC-BC< a<AC+BC 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数
1.4<a<1.5
1.96<S<2.25
1.41<a<1.42
1.988 1<S<2.016 4
1.414<a<1.415
1.999 396<S<2.002 225
1.414 2<a<1.414 3 1.999 961 64<S<2.000 244 49
想一想 （1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2 呢？为什么？ （2） a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？
D.面积为1.44的正方形.
无理数的概念及认识
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.1 认识无理数(第2课时) 课件
2.1 认识无理数/
基础巩固题
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ C ）
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
B
π
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有 理数的正方形有___3__个，边长是无理数的正方形有___6__个．
北师大版 数学 八年级 上册
1.1 探索勾股定理/
2.1 认识无理数(第2课时)
导入新知
2.1 认识无理数/
思考导入
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数 有理数
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，
也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
素养目标
2.1 认识无理数/
1. 下列各数中，属于无理数的是（ C ）
A．
B．1.414 C．
D．
B
课堂检测
2.1 认识无理数/
基础巩固题
1. 判断题 (1)有限小数是有理数; （ √ ）
(2)无限小数都是无理数; （ × ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ × ）
课堂检测
课堂检测
1 认识无理数
2.1 认识无理数/
能力提升题
如图,在方格纸中,假设每个小正方形的面积为2,则图中 的四条线段中长度为有理数的线段是 CD,EF. 解析:设小正方形的边长为x,则x2=2. 因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数. 因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数. 因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数. 因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
2.1.1 认识无理数
二、探究新知
情景二:
(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积
是多少？
S=22+12=5
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
b2=5
∵b2=5，4<b2<9 ，∴ 2<b<3， ∴b不是整数； ∵b2=5，∴b不是分数
b既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数
二、探究新知
北师大版八年级上册
第二章
实数
2.1 认识无理数（一）
学习目标
1.通过拼图活动，发现生活中存在既不是 整数也不是分数的数 2.会判断给出的数是否为有理数
一、知识回顾
(1)什么是有理数？
整数和分数统称为有理数
(2)有理数的分类
有理数
整数 分数
有理数
正有理数 0 负有理数
二、探究新知 情景一：如图是两个边长为1的小正方形，通过剪一 剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
二、探究新知
拼法一：
拼法二：
二、探大正方形的边长为 a , a满足什么条件？ a2=2
(2) a可能是整数吗？可能是分数吗？
∵a2=2，1<a2<4 ，∴ 1<a <2，∴a不是整数；
∵a2=2，1/2、2/3等分数的平方仍然是分数
∴a不是分数 a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数
x不是整数,也不是分数， 不是有理数.
3
x
2
三、典例讲解
3.在下面的正方形网格中，画出一条长度是有理数的 线段和一条长度不是有理数的线段
四、课堂检测
1.已知a2=16.5，则正数a是（ D ）
北师大版数学八年级上册课件：2.1 认识无理数(共13张PPT)
综合能力提升练
13.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形,其中CA,CB,CD,CE中 长度既不是整数,也不是分数的有 3 条.
14.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内: -2,-12,3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),272,-π3,-( -3 ),0.333,0,34,-17,3.1·5·,0.12345678910111213…( 小数部分由相继的正整数组 成 ),-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 ).
( 4 )无理数集合: 3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),-
π 3
,0.12345678910111213…(
小数部分由相继的正整数组成
)…
.
综合能力提升练
15.请你在方格纸上按照如下要求设计图形,每个单元格的边长为1.( 所设计图形顶点在格 点上 ) ( 1 )请在图1中设计一个直角三角形,使它三边中有两边边长不是有理数. ( 2 )请在图2中设计一个直角三角形,使它的三边边长都不是有理数.
综合能力提升练
( 1 )整数集合:{-2,-(-3 ),0,-17…}; ( 2 )分数集合: -12 , 272,0.333,-34,3.1·5·,-1.202020202…( 每两个 2 之间 有 1 个 0 )… ; ( 3 )负有理数集合: -2,-12,-34,-17,-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 )… ;
拓展探究突破练
17.无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料:由于小数部分位数是无限的,所 以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数.转化时需要先去掉无限循环小数 的“无限小数部分”.一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…… 使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相
认识无理数-(第二课时)PPT课件
2020年9月28日
13
拓展
学习目标 预习
2、下列语句正确的是（ D ）
展 示 A、3.78788788887888是无理数
互 动 B、无理数分正无理数、零、负
生成
达 标 无理数
拓 展 C、无限小数不能化成分数
谈谈收获 D、无限不循环小数是无理数
2020年9月28日
14
拓展
学习目标
预 习 3、面积为6的长方形，长是宽
0 .351 , -5.232 332…， 3.14159, π . 4 . 96 ,
3
2, 3
123.345 678 910 11…(由相继的正整数组成)
0 .351 ,
.
4 .96 ,
2, 3
3.141 59,
-5.232332…
π, 3 0.123 345 678 910 11…
有理数
2020年9月28日
互动 生成
其中无理数的个数为x, 整数的个
达 标 数为y, 非负数的个数为z, 则
拓展
谈谈收获 x+y+z= ___6__.
2020年9月28日
12
拓展
学习目标
预 习 1、下列说法中正确的是（ D） 展 示 A、不循坏小数是无理数
互动
生 成 B、分数不是有理数 达 标 C、有理数都是有限小数
拓展
谈谈收获 D、3.1415926是有理数
演讲完毕，谢谢观看！
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2.1 认识无理数 第1课时 北师大版数学八年级上册教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做 b
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的
面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ 2 b (3)b是有理数吗？
1
b S
b
解：(1)设直角三角形的斜边长为b，
根据勾股定理得：b2=12+22=5，
根据正方形面积公式得：S正方形=b2 ∴以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5.
解：∵△ABC是等边三角形，AD ⊥BC
∴D是BC的中点，且BC=2
A
∴BD=CD=1
在Rt△ABD中，由勾股定理得： h2=22 -12=4-1=3
∵1<h2<4 ，∴ 1<h<2，∴h不是整数；
2 h
∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数， B D C
而h2=3是整数.
∴h不是分数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
a1
a
a
A1 C
从“形”的角度：
在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系，斜边AB满足：
AC-BC< a<AC+BC 即0<a<2，且 a≠1，∴ a不是整数
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼， 设法得到一个大正方形，你会吗？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的 面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ 2 (3)b是有理数吗？
北师大版八年级数学上册第二章实数2.1认识无理数课件(共23张PPT)
，-3.5,…
回顾 & 思考☞
有理数：整数和分数统称为有理数。
分数与有限小数和无限循环小数可以互化 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数
有限小数 分数
无限循环小数
例如：
1 3
0.3333
•
0.3
1 32 0.03125
4 5
0.8
拼图活动
有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得到一 个大的正方形。看看能有几种拼法？
1.如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能 是整数吗？可能是分数吗？
解:因为ABC是正三角形,且AD BC
A
所以BD DC,则BD 1 AB 1
2
由勾股定理得 : h2 22 12 3
h
h不可能是整数； h也不可能是分数。
B
D
C
生活中真的有很多不是有理数 的数吗？
1:右图是由16个边长 为1的小正方形拼成的， 任意连接这些小正方形 的若干个顶点，可得到 一些线段。试分别找出 两条长度是有理数的线 段和两条长度不是有理 数的线段。
q 为整数且互质），而无理数不能.
数学家寄语 是不 在 我是数 们我学 怎们天 么知地 毕 知道里 达 道什， 哥 么重 拉 ，要 斯 而的
——
无理数（1）
回顾 & 思考☞
什么叫有理数？
整数
有 理 数
分数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如-1，-2，-3，…
正分数：如 1 , 1 ,5.2, … 23
负分数如
1 5
，
5 6
越来越大，
所以a不可能是整数
a可能是以2为分母的分数吗?
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有理数：有限小数或无限循环小数
数 无理数：无限不循环小数 分数
,, , 4.351 96 0 3 π -5.232 332…， .
.. 2
例1 下列数哪些是有理数? 哪些是无理数? 3.14159,
3
123.345 678 910 11…(由相继的正整数组成).
0.351 ,
3.141 59,
故π 是无理数)
活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？ 请同学们以学习小组活动:一同学举出任意一分数，另一同学 将此分数化成小数.并总结此小数的形式? 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
分一分
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
整数
4. 96,
…
..
2 , 3
-5.232332…
π , 3 0.123 345 678 910 11…
…
有理数
无理数
例2 判断题 (1)有限小数是有理数; （ ） √
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （
(4)有理数是有限小数. （
） √
） ╳
例3
以下各正方形的边长是无理数的是（ C ）
A.面积为25的正方形； B.面积为 4 的正方形； 25 C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a是有 例4
理数吗?
解:由勾股定理得:a2=32+52,即a2=34. 因为34不是完全平方数，所以a不是 有理数.
5
a
3
跟踪练习
1.如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是
小
结
1．在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，既 不是有理数的数. 2．无理数在现实生活中是大量存在的.
思考： 在a
2
2
中的无理数a,到底是什么样的数呢？
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（1）设大正方形的边长为a，
a满足什么条件？
a2 ＝
2
（2） a可能是整数吗？说说你的理由. 因为12=1，22=4，32=9， 所以a不可能是整数 （3）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流.
a究竟是什么数?
结论：在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数， 所以a不是有理数.
E
C
A
B
D
课堂检测
设计面积为5π的圆的半径为a. (1)a是有理数吗?说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算器验证
你的估计.
(3)如果精确到百分位呢?
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 . (1)a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是 无限不循环小数. (2)估计≈2.2. (3)估计a≈2.24.
整数吗？可能是分数吗？
解 : 因为ABC是正三角形 , 且AD BC 1 所以 BD DC , 则BD AB 1 2 2 2 2 由勾股定理得: h 2 1 3
h不可能是整数；
h也不可能是分数.
B
A
2
h
D C
2. B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是
一个花园，从 A到B，C两路口的距离都是 2千米，现要从花 园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？ 可能是分数吗？说明理由. 解：这条路的长既不是整数也不是分数，因为这个数的
a a
a
1
1
a 2
2
a 是多少？
1.知识目标
（1）通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和 引入的必要性． （2）学生经历数学思考与探索，进一步发展学生的抽象思 维水平． （3）充分调动学生的积极性，培养学生的合作精神，提 高辩识能力．
2.教学重点
理解无理数包含的两个条件：无限性和不循环.
思考：a究竟是什么数？
事实上，a=1.414 213 56…... c=2.236 067 978…… 它们是一个无限不循环小数. 像0.585 885 888 588 885…，1.414 213 56…，2.236 067 9…等 这些数的小数位数都是无限的,但
是又不是循环的,是无限不循环小数，也叫无理数. (圆周率π =3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,
平方等于3.
拔尖自助餐
生活中真的有很多不是有理数的数吗？
右图是由16个边长为1的
小正方形拼成的，任意连接
这些小正方形的若干个顶点， 可得到一些线段.试分别找出 两条长度是有理数的线段和 两条长度不是有理数的线段.
例如：
由勾股定理知： 线段AB，DE，AE的长 能用有理数表示； 线段AC，CE，BE的长 不能用有理数表示.
3.教学难点
无理数存在的探索过程.
☞
什么叫有理数？ 正整数：如：1，2，3，… 有 整数 理 数 分数 零：0 负整数：如-1，-2，-3，…
1 1 正分数：如 , , 5.2, … 3 2
1 负分数如 5
5 ，-3.5, … ， 6
除了有理数外还有没有其他的数呢？
有两个边长为1的小正方形，剪，拼，设法得 到一个大正方形.