认识无理数(一)
浙教版数学七年级上册3.2.1 认识无理数【教学设计】2
第1课时认识无理数（一）教学目标1从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。
2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法[来源:]3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点（二）教材分析“实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展。
由2、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。
重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。
难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。
[来源:学科网ZXXK]（三）学生分析学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用。
但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解。
对2的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力。
（四）设计理念让学生主动参与合作交流，探索、发现，注重知识形成的过程（五）教学方法启发式、探索式教学（六）教学过程1复习旧知，揭示矛盾，引入概念复习前面所学的有理数的分类，2既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说2不是有理数，但由此题可知2确实是存在的，同时π也是如此。
[来源:学#科#网Z#X#X#K]出现矛盾以后，本课以2为例，从2开始，来探索无理数的特征，学习实数。
2 联系实际创设问题情境：如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪2米布，你将会给我剪多少比较合适？学生能用上节知识估计2在1与2之间引导学生借助计算器进行合作学习：（1）根据上节课 1＜2＜2，确定√2=1.…（2）确定小数点后第一位数计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.521.42 =1.96＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了很明显1.4＜2＜1.5 。
认识无理数课件
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
认识无理数(一)
那么; a不是整数
a 也不是分数 事实上，在等式 a2＝2中，
a既不是整数，也不是分数， 所以a不是有理数。
3 做一做
（1）以直角三角形的 斜边为正方形的面积是 多少？
2
1
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
那么; b不是整数
b也不是分数 事实上，在等式 b2＝3中，
教学目标
１通过拼图活动，让学生感受无理数产 生的实际背景和引入的必要性．
２学生经历数学思考与探索，进一步 发展学生的抽象思维水平． ３充分调动学生的积极性，培养学 生的合作精神，提高辩识能力．
教学手段
动手操作 多媒体
自主探索，
合作交流 辅助
教学过程 一，忆一忆，算一算
1,自小学以来我们 学了那些数呢？概括起来又是什么 数呢？ 2，回顾勾股定理，完成下面的问题：
1
x
2
问：x是整数（或分数）吗？
二,探索求知 1 剪一剪,拼一拼
把两个边长为1的小正方形, 拼成一个大正方形。
1 1
+
1 1
=
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2，议一议
设大正方形的边长为a, a满足什么条件?
∵
S大正方形=2S小正方形=2
∴
a =2
2
a
a是一个什么样的数呢?
1、你有哪些收获？还需要在哪些方 面努力？ 2、哪位同学是你学习的榜样？理 由是什么？
六，课后作业
北师版数学八年级上册1 认识无理数(1课时)教案与反思
1 认识无理数祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇一、基本目标【知识与技能】1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由．【过程与方法】1．让学生亲自动手实践，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神．2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练学生的思维判断能力．【情感态度与价值观】1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情．2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养合作与钻研精神．3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养为真理而奋斗的献身精神．二、重难点目标【教学重点】无理数的概念．【教学难点】判断一个数是有理数还是无理数．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P21～P23的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．无限不循环小数称为无理数.2．下列实数中，是无理数的是( B )A．13B．πC．0 D．9环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－53，，－0.125，－5π，0.35，227，5.313 113 111 3…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．【互动探索】(引发学生思考)有理数和无理数的区别是什么？【解答】有理数：3.14，－53，，－0.125,0.35，227；无理数：－5π，5.313 113 111 3…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．【互动总结】(学生总结，老师点评)有理数与无理数的主要区别：(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列说法正确的是( B )A．有理数只是有限小数．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．π3是分数2．在13，3.141 592 6,0.707 007 000 7…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，π中，无理数有( B )A．1个B．2个C ．3个D ．4个3．已知半径为1的圆． (1)它的周长l 是有理数还是无理数？说说你的理由；(2)估计l 的值(结果精确到十分位)；(3)如果结果精确到百分位呢？解：(1)它的周长l ＝2π是无理数，理由如下：2π是无限不循环小数．(2)果精确到十分位，2π≈6.28≈6.3.(3)结果精确到百分位，2π≈6.282≈6.28.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】正数x 满足x 2＝17，则x 精确到十分位的值是________.【互动探索】哪个正整数的平方最接近17，下一步该怎么办呢？【解答】已知x 2＝17，所以4<x <5,4.12＝16.81<17,4.22＝17.64>17，所以4.1<x <4.2.又因为4.12＝16.9744<17,4.132＝17.0569>17，所以4.12<x <4.13.故x 精确到十分位是4.1.互动总结】(学生总结，老师点评)估计x 2＝a (a >0)中的正数x 各位上的数字的方法：(1)估计x 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小数即为整数部分；(2)确定x 的十分位上的数，同样寻找它在哪两个连续整数之间；(3)按照上述方法可以依次确定x 的百分位、千分位…上的数，从而确定x 值．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)无理数⎩⎨⎧ 定义：无限不循环小数识别请完成本课时对应练习！【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
北师大版初中数学八年级(上)2-1 认识无理数(第1课时)(学案+练习)
第二章 实 数1 认识无理数(第1课时)学习目标1.通过拼图活动，感受客观世界中无理数的存在.(难点)2.能判断三角形的某边长是否为有理数.3.会判断一个数是否为有理数.(重点)自主学习学习任务一 认识无理数的存在1.如图1所示，边长为1的两个正方形M ，N 可以分割成四个全等的等腰直角三角形，它们又可以拼凑成一个更大的正方形ABCD .(还有其他方法，鼓励学生探究)图1(1)大正方形的面积是 .(2)设大正方形的边长是x ，则x 2＝ ，x 在 和 之间(填整数). 结论：a 既 整数，也 分数，即a 有理数. 学习任务二 判断一个数是否为有理数 思考：如图2，(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 . (2)设该正方形的边长为b ，b 满足 . (3)b 是有理数吗？图2合作探究例1 在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高，如图3，若AC ＝10，BC ＝8. (1)求以AD 的长为边长的正方形的面积； (2)判断AD 是否为有理数，并说明理由.例2你会在如图4所示的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.图4当堂达标1.在直角三角形中两条直角边长分别为2和3，则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.为42.下列面积的正方形，边长不是有理数的是()A.16B.25C.8D.43.如图5，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C4.在如图6(1)长度是有理数的线段l1；(2)长度不是有理数的线段l2.课后提升Array在如图7所示的正方形网格中画出四个三角形.(1)三边长都是有理数.(2)只有两边长是有理数.(3)只有一边长是有理数.(4)三边长都不是有理数.反思感悟我的收获：我的易错点：参考答案当堂达标1.B2.C3.解：如图8，共4个.4.解：如图9(答案不唯一).课后提升解：如图10(答案不唯一).。
认识无理数PPT授课课件
―→
多种多样的气候
有利于发展多种农业经 济，旅游业等
←
自然环境复杂多样
图 1-1-1
训基础
【地理实践力】我国拥有约18 000千米的大陆海岸 线和约300万平方千米的管辖海域，面积在500平方米以 上的岛屿有6 500多个。领海基线是测量沿海国领海、 毗连区、专属经济区和大陆架的起点。图1-1-4是我国主 张管辖的海域空间结构示意图。据此回答5～6题。
训基础
1．【中考•大庆】关于我国海陆位置的叙述，正确 的是( B ) A．我国是一个岛国 B．我国是一个海陆兼备的国家 C．我国是一个内陆国 D．我国是一个半岛国家
核心笔记
我国东部濒临渤海、黄海、东海、南海，领海宽度为 12海里，渤海和琼州海峡是我国的内海。台湾岛是我 国第一大岛，东北部的钓鱼岛及其附属岛屿是我国固 有的领土。
晋教版 八年级上
第一章 疆域和人口——从世界看中国
第一节 辽阔的国土
第1课时
位置和疆域
释疑解惑
(2)海陆位置的优越性(图1-1-2所示)：
使我国陆上与 中亚、西亚、欧 洲直接往来， 有利于对外交 往与合作
←
背 靠 亚 欧 大 陆
←
海陆 位置 （海陆 兼备）
→
东 临 太 平 洋
→
东部雨量丰沛， 有利于农业生产
训基础
3．下列国家中，与我国陆上为邻的是( C ) A．日本 B．美国 C．越南 D．菲律宾
【点拨】选项中日本、菲律宾与我国隔海相望，越南与我 国既陆上相邻又隔海相望，美国与我国既不陆上相邻又不 隔海相望。
释疑解惑
1．我国地理位置的优越性 (1)纬度位置的优越性(图1-1-1所示)：
纬度位置：大部分地区位于 中纬度，北回归线穿越南部
1 认识无理数
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，
请大家先准备两个边长为1的正方形，然后再 剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
1
1
1
11
1
1
1
思考：假设拼成的大正方形的边长为a， 则a应满足什么条件？
我发现
因为12 1，22 4，32 9，整数的平方
差越来越大，所以a应该在1和2之间，故
a不可能是整数
，又
(1 2
)
2
1 ，(1 )2 43
第二章 实数
1 认识无理数
北师大版 八年级上册
我们已经学习过哪些数？ 小学学过自然数、小数、分数 初一我们学过负数
“数”发展史
我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了， 引入了负数，即把小学学过的正数、零扩充到有 理数的范围，有理数包括整数和分数，那么有理 数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？
（4）两个无理的和不一定是无理数. （ √ ）
2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.315，- 2，4.96，3.14159，- 5.2323332， 3
123456789011112（由相继的正整数组成）
0.315 2 3
4.96 3.14159
有理数集合
-5.2323332… 123456789101112…
1， 9
(2 )2 3ຫໍສະໝຸດ 4，两个相同因数的乘积都为分数， 9
认识无理数
2.1认识无理数（一）一、教材解读《2.1认识无理数（一）》是北师大版八年级上第二章第一节第一课时，在此之前学生已经经历了数系从非负有理数到有理数的扩充，学习了勾股定理，本节课学生将经历数系的第二次扩充，既是对前面有理数的一个扩展，也是前一章勾股定理内容的一个重要应用，同时是后续深入学习实数的基础，是承前启后的一个重要知识节点。
二、学情分析学生已经有了数系扩充的经验，本次数学的扩充同样是有实际的背景和必要性，前面勾股定理的学习为本次无理数产生提供了很好的知识储备。
学生具备了操作经历产生无理数的知识基础和基本经验。
三、教学目标1、知识与技能：感受无理数的存在，初步把握无理数的特征。
能够说明一个数既不是整数，也不是分数，不是前面学习的有理数。
2、过程与方法：通过观察、计算、探索，经历无理数产生的实际背景和必要性。
通过方格纸画图进一步感受无理数的存在事实和可操作性。
学会用勾股定理这一工具构造长度为无理数的线段，进一步研究无理数。
经历由具体到抽象，由特殊到一般的概念形成过程。
3、情感态度价值观：让学生在构造无理数的过程中感受到数学学习的乐趣，让学生感受到数学来源于生活和实际，具有看得见，摸得着，可操作的特点，改变以往学生心目中数学枯燥，乏味的观念。
四、教学设计 【回顾迎新】1． 整数和___________统称为有理数.整数又可分为正整数，_________，________. 2． 下列不是分数的是（ ）A ．3.14 B.5% C.π D. ..11.0 3． 下列说法错误的是（ ）A ．两个整数的乘积一定是整数B ．最简分数的平方一定是分数C ．有限小数和无限循环小数不是分数D ．一个数既不是整数又不是分数，则这个数不是有理数4. 如图，斜边所在的正方形面积2b =___________．我们知道，如果22243<<m （m 为正数），则43<<m ，根据这个例子，我们可以判断 < b < （填两个整数），b 可能是整数吗？ （填“可能”或“不可能”）.【新课教学】一、感受新数如图，设每个小方格的边长为1个单位.问题1：图中有几种面积不同的正方形？它们的面积分别是多少？问题2：如果记正方形ABCD 的边长为a ，则2a =________. 问题3：a 整数吗？a 是分数吗？与同伴交流你的想法.训练：下列各数中，不是有理数的是（ ） A ．722 B. 2b =4中的b 值 C.0π D. 72=m 中的m 值 二、走进新数探究一：如图1，设每个小方格的边长为1个单位.线段AB ，CD ，EF 的长度是有理数吗？说明你的理由.请在图2的方格纸上仿照图1的方式，画出两条线段，使线段的长度不是有理数.探究二：创建新数（1）骰子创建：（2）人造创建：三、应用新数1. 如图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连结 这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，在线段 AB 、AC 、AD 、AE 、BE 五条线段中，长度是有理数的线 段有__________________，长度不是有理数的线段 有______________________．2.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，点O ′对应的数是多少？它是有理数吗？161ABCDAB CE DF 图1 图2 DCBEAO3.正△ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？4.如图：在长方形ABCD 中，，AD=， 则AE ，BE 的长是有理数吗？△ABE 的面积是有理数吗？五、教学反思1.数学来源于生活新数（无理数）不是人为构造，庸人自扰，它是来源于活生生的生活实践的。
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D
课堂小结
判定一个数是否无理数: (1)看它是不是无限不循环小数. （2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数 不能； 具体从以下几方面来判断: (1)开方开不尽的数是无理数; (2)含有 是无理数; （3）有一定的规律，但不循环的无限小数 (4)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (5）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无 理数；
2 3
巩固练习
4、如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长 8m的缆绳，你能求出这条缆绳在地面上的固定 点距离电线杆底部的距离吗？这个距离能用有理 数表示吗？ A
C
B
问题解决
例2、右图是由16个边长为1的小正方形拼成的， 任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一 些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和 两条长度不是有理数的线段。
都可以化成有限小数 负分数 或无限循环小数
有限小数或无限循环小数统称为有理数。
议一议：把下列各数表示成小数，你发现了什么？
4 5 8 2 3, , , , . 5 9 45 11
有理数总可以用有限小数或无限循环 小数表示。反过来，任何有限小数或 无限循环小数也都是有理数。
除了有理数外还有没有其他的数呢？
A B D
有理数线段AB、CD 不是有理数线段EF、GH
F H
E C G
巩固练习
5、请你在方格纸上按照下列要求设计直角三角 形： (1)使它的三边中有一边边长不是有理数； (2)使它的三边中有两边边长不是有理数； (3)使它的三边边长都不是有理数。 I H (1)△ABC G A (2)△DEF E F (3)△GHI
a2=2
a
a
a既不是整数又不是分数，所以a一定 不是有理数 那么a到底是什么数呢？
古人把这个数取名为无理数。
无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为世界万物都可 以用整数或整数之比来表示，即都可用有理数来 描述。 随着人类对数的认识不断加深和发展，人 们发现，现实世界中确实存在不同于有理数的数. 毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯发现边长为 1的正方形的对角线的长不能有理数来表示，这 就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们 的恐慌，他在逃回家的路上，遭到毕氏成员的追 捕，被投入大海。 真理毕竟是淹没不了的。真理 是经得起时间的考验的,人们不会忘记希伯索斯这 位为真理而献身的可敬学者，还把这样的数取名 为“无理数”。
新知探究
Ⅰ、如图是两个边长为1的正方形，沿对角线分 成四个三角形后，拼成一个大正方形： 1 1 1
1
大正方形的 面积为多少？
a
a2=2
新知探究
Ⅱ、问题：a会是什么数？ (1) a可能是整数吗？
a2=2
2
0 0; 1 1; 2 4;
2 2
a
3 9; 4 16;
2 2
因为没有平方是2的整数，所以a不是整数。
新知探究
Ⅱ、问题：a会是什么数？ (2) a可能是分数吗？
1 1 1 1 ; ; 9 4 3 2 4 1 1 2 ; ; 9 4 16 3
2 2
2
2
a2=2
a
因为没有平方是2的分数，所以a不是分数。
新知探究
Ⅲ、问题：a会是什么数？ (3) a是有理数吗？ a既不是整数也不是分数 所以a不是有理数
巩固练习
1、下列方程中，x不是有理数的是( A. C. )
x 4
2
B. D.
x 49
2
2x 6 0
2
x 3 6
2
合作交流
ⅰ、如图，直角三角形两直角边分别为1和2，以 直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ S=12+22 S=5 S
合作交流
ⅱ、设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ S=b2
北师大版八年级(上)
2.1 认识无理数(1)
杨庄中学 段伟
诊断练习
1、下列哪些是有理数？
3,
22 , 2.65, 1.212121 , 7
,
0,
2 , 3
1 2 , 2
0. 3,
0.1010010001
复习旧知
有理数的定义： 整数和分数统称为有理数。 有理数的分类： 整数 有理数 分数 正整数 零 负整数 正分数 都可看成有限小数
S=5 b2=5
b
S
合作交流
ⅲ、b是有理数吗？ b2=5 b不是整数 b不是分数
bห้องสมุดไป่ตู้
S
b不是有理数
巩固练习
2、如图，图中未知数x的值是有理数吗？说说你 的理由。
16cm2 2cm2 xcm2
问题解决
例1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h， h可能是整数吗？可能是分数吗？
1
巩固练习
3、长、宽分别是3、2的长方形，它的对角线可 能是整数吗？可能是分数吗？