2.1 认识无理数
第二章 2.1 认识无理数-2022-2023学年八年级初二上册数学(北师大版)
第二章 2.1 认识无理数-2022-2023学年八年级初二上册数学（北师大版）2.1.1 无理数的引入在我们之前的学习中，我们已经学习了有理数，即可以表示为两个整数比值的数。
然而，有一类数是无法表示为两个整数比值的，这类数被称为无理数。
无理数最早起源于古希腊数学家毕达哥拉斯的一次发现。
他发现无法用整数的比值来表示平方根2这个数。
这直接导致了数学上一个重要的突破，即发现了无理数的存在。
2.1.2 无理数的定义无理数是指在实数集中无法表示为有理数的数。
它们的十进制表示是无限不循环的小数。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
我们可以将它们近似到任意位数，但无论如何都无法精确表示出来。
2.1.3 无理数的性质1. 无理数的无限性无理数是无限不循环的小数，它们的小数部分是无穷无尽的，不会出现重复的情况。
2. 无理数的无限逼近性对于任意一个无理数x，我们可以找到越来越接近它的有理数。
也就是说，无理数可以被有理数无限逼近。
3. 无理数的无理指数无理数的幂次方在大部分情况下都是无理数。
例如，根号2的平方根是2，根号2的立方根是根号2的平方。
2.1.4 无理数的表示方法无理数的表示方法主要有以下几种：1. 小数表示我们可以将无理数表示为十进制的小数。
例如，根号2约等于1.414。
2. 分数表示虽然无理数无法精确表示为有理数的比值，但我们可以将其表示为连分数的形式。
例如，根号2可以表示为1 + 1/(2 + 1/(2 + …))。
3. 根式表示无理数也可以表示为根式的形式。
例如，根号2就是一个根式表示。
2.1.5 无理数的运算无理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
无理数之间的运算与有理数的运算类似，但要注意无理数的无限性和无理指数。
无理数的加法和减法可以通过将它们表示为小数或分数进行计算。
无理数的乘法和除法需要注意无理数的无限逼近性，结果往往是一个无限循环的小数。
2.1.6 无理数的应用无理数在数学和物理学中有许多重要的应用。
2.1 认识无理数
认识无理数
【知识点清单】
1、有理数的分类
2、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
【例如：π，2.141231……，等等】
注意：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b 一定不是有理数.
【经典例题：】
例1：（1）图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么样条件？
（3）b是有理数吗？
例2：判断下列说法是否正确；（1）无限小数都是无理数. （）（2）无理数都是无限小数. （）（3）有限小数是有理数; （）（4）有理数是有限小数. （）例3：填空
0.351，
2
3
-，4.96
∙∙
，3.14159，－5.232332…，π，
3
π
，0.191919…，
有理数集合无理数集合例4：以下各正方形的边长是无理数的是（）
A.面积为25的正方形；
B.面积为4
25
的正方形；
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
例5：如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
例6：如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。
试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
备用图。
2.1认识无理数(教案)2022秋八年级上册初二数学北师大版(安徽)
6.提高数学交流能力：在小组讨论和课堂展示中，培养学生准确、清晰地表达自己的观点和思路，提高数学交流能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-无理数的定义：理解无限不循环小数的概念，区分有理数与无理数。
其次，无理数的运算规律是一个难点。虽然我通过例题进行了解释，但观察到部分同学在具体操作时仍然感到困惑。这可能是因为无理数的运算与有理数存在一定差异，导致学生在心理上产生排斥感。在今后的教学中，我需要设计更多针对性的练习题，帮助学生逐步掌握无理数的运算规律。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使得同学们能够亲身感受无理数在实际问题中的应用。从成果展示来看，大部分同学能够运用所学知识解决问题，这让我感到很欣慰。但同时，我也发现有些小组在讨论过程中存在依赖性，个别同学并未积极参与。在以后的教学中，我要注意调动每个同学的积极性，鼓励他们主动参与讨论和思考。
5.估算无理数的大小：让学生学会用夹逼法、迭代法等方法估算无理数的大小，提高学生的数学思维能力。
6.无理数的应用：通过实际例子，让学生了解无理数在实际生活中的应用，如建筑、科学计算等领域。
二、核心素养目标
1.培养学生的数感：通过学习无理数的概念和性质，使学生增强对数的认识，提高数感，理解数的本质，为后续学习打下基础。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.1认识无理数-八年级上册初二数学(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如√2在直角三角形中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器计算π的近似值，并讨论如何选择合适的近似精度。
d.无理数在实际中的应用，如圆周率π在计算圆的周长和面积中的应用。
e.无理数与图形的关系，如勾股定理中涉及的根号2。
-举例：通过具体数值示例（如√2、π）来解释无理数的概念和表示方法，强调其在数学和科学中的重要性。
2.教学难点
-难点内容：无理数的理解和近似计算。
-难点解析：
a.理解无理数的无限不循环性质，学生可能难以接受无理数无法精确表示的概念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是不能表示为两个整数比的数，如√2、π等。它们在数学、科学和工程等领域具有重要地位。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以圆周率π为例，讲解其在计算圆的周长和面积中的应用，以及无理数如何帮助我们精确描述自然界中的现象。
1.关注学生的认知水平，从生活实际出发，让学生更好地理解无理数；
2.优化教学方法，注重引导学生深入思考，提高学生的逻辑思维能力；
3.设计更多具有挑战性的练习题，提高学生的实际操作能力；
4.加强课堂互动，关注学生的个体差异，提高教学质量。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.1认识无理数+课件++++2023--2024学年北师大版数学八年级上册
【例2】(北师教材母题改编)把下列各数填入相应的集合内：
0.28，0.57·，－π2，－121，8，－0.021 021 0 21…，0.
有理数集合：{ 无理数集合：{ －π2
0.28，0.57·，－121，8，－0.021 021 021…，0 …}．
…}；
【变式 2】(2023·深圳市期末)下列实数：－0.89，3.141，13，π，
(2)若面积为15的正方形的边长为x，则x的取值范围是( A )
A．3<x<4
B．4<x<5
C．5<x<6
D．5<x<8
1．下列各数是无理数的是( B )
A．0
B．－π
C．0.141
D．273
2．下列说法中，正确的是( D )
A．0.100 100 01是无理数 B．无理数可以写成分数的形式
C．无理数是无限循环小数 D．无限不循环小数是无理数
5．在272，3.141 59，－8，0.6，0，π3，2.202 002 000 2…(每相邻两个 2 之间 0 的个数逐渐增加 1)中是无理数的个数有__2___个．
6．已知体积为6的小正方体的棱长为a，则a__不__是____有理数． (“是”或“不是”)
7．如图是由一个正方形和一个直角三角形组成的图形． (1)求正方形的面积； (2)判断此正方形的边长是否是有理数，并说明理由．
3．(中考新考法·满足条件的结果开放)写出一个大于3且小于4的无
理数：___π__．
4．下列无理数中，大于2而小于3的是( D )
A．π3
B．3.141 234…
C．面积为3的正方形的边长 D．面积为5的正方形的边长
北师大版七年级数学上册教案：2.1认识无理数
-无理数在实际问题中的应用：培养学生将无理数应用于解决实际问题的能力，如计算圆形面积、周长等。
举例：在讲解无理数与有理数的区别时，可以通过比较√2和1.414（√2的近似值）的关系，让学生明白无理数是无限不循环的，而有理数是有限或循环的。此外，通过实际例子，如计算圆的面积，让学生体会无理数在实际问题中的应用，并学会如何处理无理数的近似值。
直接输出以下内容：
四、教学流程
1.导入新课：以提问方式引导学生思考日常生活中遇到的与无理数相关的问题，激发学生的兴趣和好的定义、特点及其与有理数的区别。
-案例分析：通过具体实例，展示无理数在实际问题中的应用。
3.重点难点解析：
-强调无理数与有理数的本质区别，通过对比分析，帮助学生理解难点。
-掌握无理数的表示方法：介绍根号表示、无限不循环小数等，让学生熟练掌握无理数的表达方式。
-常见无理数的性质：分析π、e、√2等无理数的性质，强调它们的特点和应用。
举例：讲解√2是无理数时，可以通过实际计算说明它不能表示为两个整数之比，从而加深学生对无理数定义的理解。
2.教学难点
-无理数与有理数的区别：解释无理数与有理数的本质区别，如无限不循环小数与有限小数、循环小数的区别，这是学生容易混淆的地方。
2.学会无理数的表示方法，提高学生数学表达和符号意识。
3.通过探索无理数的性质和应用，发展学生的逻辑推理和数学建模能力。
4.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，提高数学素养和解决问题的能力。
5.激发学生对数学学科的兴趣，增强学生的数学情感，为后续学习奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
2.1 第1课时 认识无理数(教学设计——精品教案)
2.1认识无理数教学目标【知识与能力】感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【过程与方法】经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.【情感态度价值观】通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.教学重难点【教学重点】感受无理数产生的背景.【教学难点】会判断一个数是不是无理数.教学准备两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?第二环节：新知构建探究活动问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA 的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P 表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.第三环节：课堂小结通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.第四环节：检测反馈1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )A .是有理数B .不是有理数C .不确定D .4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )A .16B .25C .2D .4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .答案:略第五环节：布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b 2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略板书设计2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a ,b 存在,但不是有理数.教学设计反思成功之处大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.不足之处在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解. 再教设计设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.。
2.1 认识无理数
__无__理__数____．
练习 2：(2016·福州)下列实数中的无理数是( C )
A．0.7
1 B.2
C．π
D．－8
知识点一：无理数的发现 1．下列各数中，是有理数的是( B ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
15．将下列各数填入相应的集合内：－2，0，0.31·，5129，1－π，2.161
161 116 111 1…(每个 6 后增加 1 个 1)，(－2018)0.
(1)自然数集合：{ 0，(－2018)0…
}；
(2)无理数集合：{ 1－π，2.161 161 116 111 1…(每个6后增加1个1)…}；
12．在等式x2＝11中，下列说法正确的是( D ) A．x可能为整数 B．x可能为分数 C．x可能是有理数 D．x不是有理数 13．一个高为2 m，宽为1 m的长方形大门，对角线的长在两个相邻 的整数之间，这两个整数是__2__和__3__.
14．如图，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个三角形 ABC，则三角形ABC的周长是___8_.6_0_6___．(精确到0.001)
7．下列说法中，正确的是( B ) ①无限小数都是无理数；②不循环小数都是无理数；③无理数都是无限小 数；④无理数也有负数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．①② B．③④ C．①②③④ D．③④⑤
8．腰长为1的四个等腰直角三角形可拼成一个正方形，则正方形的边 长是___无__理____数．(填“有理”或“无理”) 9．(2017·宁城期末)如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角 △ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件 的点C共有__4__个．