利用解直角三角形解决实际问题
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题（含答案）
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题知识解读在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。
解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。
培优学案典例示范例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m .（1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠F AM =13，求AM 的长.【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解；（2）有sin ∠F AM =13可以求AF ，再求AM .图3-14-1AB CDEFM跟踪训练如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）.【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题.【解答】DCB30°A图3-14-1l 1l 2例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）【提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，看懂图形构建合适的方程模型.【解答】ACDBFE图3-14-3跟踪训练一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°（如图3-14-4），求树高（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）【解答】图3-14-4A BCD30°45°例3.如图3-14-5，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.（计算结果用根号表示，不取【提示】本题考查了解直角三角形的应用一一方位角问题，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。
解直角三角形的实际应用题的解题步骤
解直角三角形的实际应用题的解题步骤解直角三角形的实际应用题的解题步骤1. 引言直角三角形是高中数学中的重要概念之一，其解题方法和应用广泛存在于实际生活中。
本文将以解直角三角形的实际应用题为主题，通过深度和广度的分析，帮助读者更好地理解和应用直角三角形的知识。
2. 实际应用题的意义和背景实际应用题是数学知识在实际问题中的运用，对于培养学生的问题解决能力和应用能力至关重要。
解直角三角形的实际应用题有助于学生将抽象的数学概念和具体的实际问题进行联系，培养他们的分析和推理能力。
3. 解题步骤的概述解直角三角形的实际应用题可以分为以下几个步骤：求两个已知角度的第三个角度、确定已知角度的对边、确定未知角度的对边、求斜边、求面积等。
4. 具体步骤的详解（1）求两个已知角度的第三个角度：根据直角三角形的性质，在直角三角形中，三个角的和为180度。
通过已知的两个角度，我们可以求得第三个角度，从而建立起直角三角形的坐标系。
（2）确定已知角度的对边：根据已知角度可以确定相应的直角三角形边长比例关系。
通过题目中给出的已知角度和对边的长度比例，我们可以推导出未知角度的对边的长度。
（3）确定未知角度的对边：根据已知角度的对边和比例关系，可以推导出未知角度的对边与已知对边之间的比例关系。
通过这个比例关系，我们可以求得未知角度对应的对边长度。
（4）求斜边：已知两个直角三角形的边长，可以利用勾股定理来求解斜边的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
（5）求面积：已知直角三角形的两个直角边，可以利用面积公式来求解三角形的面积。
直角三角形的面积等于两个直角边长度的乘积的一半。
5. 个人观点和理解直角三角形的实际应用题在我们的日常生活中具有广泛的应用，例如在建筑、导航、物理等领域。
解题过程中，我们需要根据已知条件进行分析，应用数学知识和技巧来推导出未知的数据，从而解决实际问题。
通过解题过程中的分析和推理，我们还可以培养自己的逻辑思维和问题解决能力。
23.2 第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
当堂测评
1．[2018·虹口区一模]如图 23－2－28，传送带和地面成一斜坡，它把物体从 地面送到离地面 5 m 高的地方，物体所经过的路程是 13 m，则斜坡的坡度为( C )
A．1∶2.6 C．1∶2.4
B．1∶153 D．1∶152
图 23－2－26
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
解：如答图，分别过点 B，C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为 E，F.由题 意可知，
例 1 答图 BE＝CF＝20 m，BC＝EF＝6 m，∠D＝30°， 在 Rt△ABE 中，i＝BAEE＝21.5，
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
图 23－2－36Fra bibliotek课件目录
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
解：过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，如答图． 则四边形 CMED 是矩形，且△AMC 是等腰直角三角形． 设 AM＝x m，则 ED＝MC＝AM＝x m， AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝(x＋3)m， 在 Rt△AEF 中，EF＝tan∠AEAFE＝x＋33(m)，
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第4课时 用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
即A20E＝21.5，∴AE＝20×2.5＝50(m)， 在 Rt△CDF 中，tan 30°＝DCFF，即D20F＝ 33， ∴DF＝20 3≈34.6(m)， ∴AD＝AE＋EF＋DF≈50＋6＋34.6＝90.6(m)． ∴坝底 AD 的长度约为 90.6 m. 【点悟】 解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，以及注意理解坡度与 坡角的定义．
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案教案标题：解直角三角形的应用教学目标：1. 理解直角三角形的定义和性质。
2. 掌握解决直角三角形相关问题的方法和技巧。
3. 能够应用直角三角形的知识解决实际问题。
教学重点：1. 直角三角形的定义和性质。
2. 直角三角形的解题方法。
3. 直角三角形在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将直角三角形的知识应用于实际问题的解决。
2. 理解并运用三角函数的概念和性质。
教学准备：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教材。
2. 教具：直尺、量角器、计算器等。
3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体设备展示一张直角三角形的图像，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。
2. 提出问题：你知道直角三角形的定义和性质吗？请简单介绍一下。
3. 学生回答问题，教师适时给予引导和补充。
二、知识讲解（15分钟）1. 通过多媒体设备展示直角三角形的定义和性质，并解释其含义。
2. 介绍三角函数的概念和性质，如正弦、余弦和正切等。
3. 通过示例演示如何利用三角函数求解直角三角形的边长和角度。
三、例题演练（20分钟）1. 提供一些直角三角形的例题，要求学生利用所学知识求解。
2. 学生独立完成例题，教师巡回指导和解答疑惑。
3. 学生互相交流解题思路和方法，加深对知识的理解。
四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直角三角形的知识解决。
2. 学生独立或小组合作完成应用题，教师提供必要的指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和总结。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结直角三角形的相关知识和解题方法。
2. 学生回答问题并进行讨论，教师进行点评和补充。
3. 教师给出解题技巧和注意事项，并提供相关练习题进行巩固。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成。
2. 强调作业的重要性，并提供解题思路和方法。
3. 确定下节课的教学内容和要求。
九年级数学上册《利用解直角三角形解决有关问题》教案、教学设计
4.拓展延伸：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生充分认识到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生面对困难时的自信心。
2.讨论要求：每个小组需要明确问题，分析问题，提出解决方案，并计算出结果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生运用三角函数解决实际问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.练习类型：包括基础题、提高题和应用题，满足不同层次学生的需求。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的解直角三角形的原理和方法，以及提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：请学生完成课本上相关的习题，以巩固正弦、余弦、正切函数的定义及其在解直角三角形中的应用。
-选择题：针对解直角三角形的基本概念和性质，设计选择题，帮助学生巩固基础知识。
3.教学方法：让学生独立完成练习题，教师对学生的解答进行点评和指导，帮助学生发现问题并改正。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学的解直角三角形的原理、方法以及在实际生活中的应用进行总结。
2.教学方法：采用师生互动、学生自主总结等多种形式，帮助学生梳理所学知识。
3.教学要求：让学生明确解直角三角形的关键是掌握三角函数的定义和应用，以及将实际问题转化为数学模型的能力。
2.学会运用三角函数解决实际问题，特别是在直角三角形中的运用。
《解直角三角形应用举例》课件
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=
,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=
,
∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=
= ，即
tan32°
=
tan32°=
16
tan32°
，
≈ 25.6 (m)，
解直角三角形的典型例题
一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
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P C
30°
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
C
30°
P
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
450 OA 450 3, 450米 tan 30
OB 450 450 tan 45
P
α
β
AB OA OB (450 3 450)(m) 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
O
B
A
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 OA OB
25 5
B
濠 河 55°
C 50m D
40°
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此 时飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`，求 飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
P
30°
A
200米
45°
O
B
C
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得 大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水 A 平距离.
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O B
P
归纳与提高
α β
450
P
450
45°
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
L U D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
40
C
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
解直角三角形
利用解直角三角形解决实际问题
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝O
B
C
30°
60°
A
B
O
A
P
A
P
45° 45 °
200 200米
30 ° 30 °
D
45°
200米 45° 200
O
B
O
B
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 100 3 基间的水平距离BD为100m，塔高CD( 为 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
图1
2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 3 1.5)m（根号保留）． BE= (40 _________
Ａ
a
b
Ｃ
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
A
┌ C
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
图2
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m（根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm （根号保留）． 2
更上一层楼
选做题： 1.一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯 角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD ＝200米，求塔高AB？ 2.有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60米， AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场 地的面积．
更上一层楼
3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学 在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手 中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已 测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道BD的长 度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°，但他们 在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔 21 7 塔楼AB的高. tan 40 , tan 55 （参考数据： ） A 答案：空中塔楼AB高 约为105米