第14章 结构动力学
结构动力学
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例题：
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14－4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
所谓强迫振动，是指结构在动力荷载即外来干扰力 作用下产生的振动
惯性力：FI my 恢复力：Fe k11 y 阻尼力：FR y 干扰力：F (t ) FI FR Fe F (t ) 0 my y k11 y F (t )
2
式中： k
2
2
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14－4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
F (t ) F sin t F 2 y y sin t y m y C1 sin t C2 cos t
2
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14－4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
2 2
2C2 sin t C1 sin t C2 cos t
2 2
F sin t m
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14－4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
即： F C1 2 2C2＋C1 2－ sin t＝ m
C －2C －C cos t
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P(t) P t o
P(t) P t o
a ) 简谐荷载
b) 周期撞击荷载
P(t) P t o 图14 -2 冲击荷载 t2
o P
P(t)
t
图14-3 突加常值荷载
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14－1 概述 3、动力自由度 自由度： 结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目。 （1）集中质量法 （2）广义坐标法
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是一门研究结构受力、振动和变形的学科。
它是结构力学的一个重要分支，主要研究结构的静力学和动力学行为。
结构动力学的研究可以帮助工程师设计和分析结构的稳定性，预测结构的振动响应，以及提高结构的动力性能。
结构动力学的研究对象是各种类型的结构体系，包括建筑物、桥梁、塔类结构、航空航天器、汽车等。
这些结构在使用过程中会受到各种外部荷载的作用，会发生变形和振动，甚至会发生破坏。
因此，必须通过结构动力学的研究来评估结构的受力情况，以便保证结构的安全和可靠性。
结构动力学的理论基础是力学、振动学和数学分析等。
力学用来描述结构的受力情况，振动学用来描述结构的振动响应，而数学分析则是结构动力学理论的基本工具。
在结构动力学的研究中，常用的数学方法包括牛顿第二定律、拉格朗日方程、哈密顿原理等。
在结构动力学的研究中，需要对结构的质量、刚度和阻尼进行建模。
质量是指结构对外界力的响应情况，通常可以用结构的质量矩阵来描述；刚度是指结构对位移的响应情况，通常可以用结构的刚度矩阵来描述；阻尼是指结构损耗能量的能力，通常可以用结构的阻尼矩阵来描述。
通过对这些参数的建模，可以得到结构的动力学方程。
结构动力学的研究包括两个主要方面：一是结构的自由振动，即结构在没有外界荷载作用下的振动行为；二是结构的强迫振动，即结构在受到外界荷载作用下的振动行为。
通过对这两方面的研究，可以得到结构的振动特性和响应情况。
总的来说，结构动力学是一门重要的学科，它通过对结构受力、振动和变形的研究，可以帮助工程师设计和分析各种类型的结构体系。
同时，结构动力学也为其他学科的研究提供了基础和支持，促进了工程技术的发展和进步。
结构力学-第十四章 结构动力学1
动的合成，为了便于研究合成运动,
令 (e)式改写成
y Asin,
v Acos
y(t) Asin( t )......... .......... ...( f )
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅
A
y2
v
2
.............................(g
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y(0)
y v
得 C1 y
C2
v
y r
y(t)
e t
( y
cos r t
v
r
y
sin rt)
21
y(t)
e t
(
y
cos r t
v
r
y
sin
rt
)
y(t) et Asin( rt )
2
其中
A
y2
v
y r
tg1 r y
v y
y
讨论（：a）衰减周期运动
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………. 9
一、运动微分方程的建立
（1）低阻尼情形 ( <1 )
1,2 i 1 2 , 令 r 1 2
y(t)
B e( ir )t 1
B e( ir )t 2
eix cos x i sin x
et (B1eirt B2eirt ) eix cos x i sin x
结构动力学
结构动力学第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是研究结构在外力作用下的变形和运动规律的学科。
它能够揭示结构的响应特性，并应用于工程和建筑物的设计、分析和优化等领域。
在结构动力学中，克拉夫方法是一种常用的数值分析方法，可以有效地求解结构的动力响应。
下面将详细介绍克拉夫方法的原理和应用。
克拉夫方法是一种离散激励动力分析方法，适用于求解线性多自由度系统的动力响应。
克拉夫方法的基本原理是离散化结构，将其简化为一系列互相连接的质点，然后通过求解质点的加速度、速度和位移来获取结构的动态特性。
克拉夫方法中引入了模态分析的概念，将结构的振型表示为一系列正交的模态，并通过求解每个模态的响应来得到结构的总响应。
在应用克拉夫方法进行结构动力分析时，首先需要建立结构的有限元模型。
该模型需要包括结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
然后，通过解结构的动力方程可以得到结构的模态频率和振型。
一般情况下，结构的模态频率并不是均匀分布的，其中低频模态对结构的响应起主导作用。
因此，在求解结构的总响应时，可以只考虑前几个重要的低频模态。
在进行克拉夫分析时，需要给定一个外力激励。
这个外力激励可以是单个点的冲击载荷、均匀分布的动力载荷或者地震作用等。
通过将外力激励进行傅里叶变换，可以将其转化为频域中的振动谱。
然后，根据每个模态的频率和阻尼比，可以得到每个模态的响应谱。
最后，通过叠加所有模态的响应谱，可以得到结构的总响应谱。
这个总响应谱描述了结构在给定的外力激励下的动力响应特性。
克拉夫方法的优点是能够考虑结构的动态特性和边界条件，同时对结构的几何形状和材料特性并不敏感。
它可以用来分析和优化各种类型的结构，包括桥梁、建筑物、风力发电机塔等。
克拉夫方法可以帮助工程师预测结构的响应，并在设计阶段进行结构的优化，以提高结构的稳定性和安全性。
然而，克拉夫方法也有一些局限性。
首先，克拉夫方法仅适用于线性多自由度系统，对于非线性或者含有阻尼的系统，需要进行额外的处理。
结构动力学（ＰＤＦ）
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
第十四章 动力自由度的选择
(14-1)
(14-2)
§14.3 静力凝聚法
高等结构动力学
这对子矩阵方程中的第一个给出了两种类型自由 度的静力约束关系，即
ˆ ˆ k 00 v 0 + k0t vt = 0
由此得到
− ˆ0 = −k001k0t vt ˆ v
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4-3)
假设为集中质量体系,用静力凝聚得振动方程
ˆ t =ω 2 mt vt ˆ kt v
∂ω = ∂Ζn
2
高等结构动力学
% % % % m ∂k / ∂Ζn − k ( ∂m / ∂Ζn ) % m2
− ω
2
(
)
=0
(14-17) (14-18)
% ∂ k ∂ Ζ
n
% ∂ m ∂ Ζ
=
n
0
再由(14-16)得
% ∂k ∂ T T = 2Ζ Ψ mΨ (Ζ ) = 2 ΖT Ψ T kψ ∂Ζ n ∂Ζ n
v =
( s) N
高等结构动力学
0 max Es v(N )
ΦΛs ΦT ΦY L
(
)
=
ΦΛs Y
0 max Es v(N )
(
)
=
λnsφnYn ∑
0 max Es v(N ) n =1
N
(
)
v
(s )
N
=
m ax
(
s λN
E sv( N
0)
)
φ N Y N +
∑
N −1 n =1
§14.5 Rayleigh-Ritz法 特征问题的迭代解 正分析假定最高振型为
v
结构动力学课件—dyanmics of structures-ch13 14 15
CHAPTER 13. VIBRATION ANALYSIS BY MATRIX ITERATION
136 INVERSE ITERATION--THE PREFERRED PROCEDURE
Not narrow banded
rigid floor diaphragm
X and Y translation plus rotation about the Z axis
CHAPTER 14. SELECTION OF DYNAMIC DEGREES OF FREEDOM
143 STATIC CONDENSATION
CHAPTER 14. SELECTION OF DYNAMIC DEGREES OF FREEDOM
CHAPTER 13. VIBRATION ANALYSIS BY MATRIX ITERATION
134 ANALYSIS OF HIGHER MODES Modal orthogonality properties
CHAPTER 13. VIBRATION ANALYSIS BY MATRIX ITERATION
CHAPTER 13. VIBRATION ANALYSIS BY MATRIX ITERATION
By appropriate selection of the shift points, this inverse iteration analysis can be caused to converge to any or all modes of the structural system.
144 RAYLEIGH METHOD IN DISCRETE COORDINATES
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强迫偏离位置
图14-4
1．不考虑阻尼时的自由振动
(1) 刚度法列动力平衡方程
各单自由度的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型 来描述，如图14-5a所示。
(a) (b) (c)
m
静力平衡位置
Fe m FI
m
y
y
FI
图14-5
设质点位移y和质点受到的力都以向下为正。取质点为研究对 象(图14-5b)作用在质点上的弹性力( Fe k11 y )和假想地加在质点 上的惯性力( FI my )互相平衡，建立平衡方程得运动方程为：
(a) l 2
m l 2
(b) l 2 3Fl 16
m l 2
(c) l 2 Fl 8
m l 2 Fl 8 Fl 8
Fl 4
5Fl 32
图14-7
7 Fl 3 Fl 3 Fl 3 1 ， 2 ， 3 768 EI 192 EI 48 EI
代入式（14-8）即可求得三种情况的自振频率分别为
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F (t ) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示， 动力平衡方程为
FI FR Fe F (t ) 0
FR Fe m FI F(t)
即
my y k11 y F (t ) 1 2 2 y y P (t ) （14-18） y m
2 y0
2
（14-4）
y0 tan y0
则有
(14-5)
y a sin(t )
y a cos(t )
（14-6） （14-7） Nhomakorabea（4）自振频率的计算
k11 1 g g m m11 mg11 st
自振周期：T=2π/ω。 其中：
(1) 自振频率（自振周期）只与结构的质量和结构的刚度有关， 与初始条件及外界的干扰力无关。初始条件及干扰力只影响振幅a 和相位角f 。 (2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振 频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的 自振频率，只有从改变结构的质量或度着手。 例14-1 图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相 等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者 的自振频率。 解：由式（14-8）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移 计算方法，可分别求得在自重F=mg作用下的静力位移为
图14-10
齐次方程的通解为
y0 et (B1 cos ' t B2 sin ' t )
简谐荷载的一般式可表示为
（a）
F (t ) F sin t
（14-19）
微分方程（14-18）为：
2 y 2 y y F sin t m
（14-20）
Fsin t m G 2m 2m
图14-14
解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为
Gl 3 35 103 43 st 2.53 103 m 48EI 48 210 109 8.8 105
（14-22）
（14-23）
即
A 1
2
式中
1 2
2
F 11 yst
（14-24）
yst F11 代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上
时所引起的静力位移，而
1 1
2
A 2 yst
（14-25）
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。 2. 考虑阻尼的纯受迫振动 取式（14-21）的第三项，整理后有
y FI 11 my11
即
my k11 y 0
（3）运动微分方程的解
设初位移 y0 ，初速度为 y0 ，则求解以上方程可得任一时刻质点
位移为：
y (t ) y0 cos t
y0
sin t A sin(t ) (14-3)
其中y0为初始位移，y0为初始速度，ω为自振频率。
y A sin( t )
其中 振幅
A F ( 2 2 )2 4 2 2 2 m
1
（14-26）
1
（14-27）
相位差 振幅A可写为
A
2 tan ( 2 ) 2
1 (1
2
（14-28）
2 ) 2 2
F yst 2 2 m 2 4
结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余 弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、 b）。
y (a) y0
o
(b) y0 y
t
o
(c) y0 y T=
t
a o a
a a
图14-6
t
若令
y0 a sin ，
振幅和相位角
a y
2 0
y0
a cos
第14章 结构动力学
学习内容
结构动力计算概念，动力计算自由度，建立体系的运动方程。 单自由度体系的自由振动（频率、周期和振幅的计算）。 单自由度体系在简谐荷载作用下的的强迫振动（动内力、动位 移计算）。 阻尼对振动的影响。 多自由度体系的自由振动（频率、振型及振型正交性）。 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（动内力、动位移 计算）。 频率、振型的近似计算方法。
（14-29）
动力系数
1
2 2 2 (1 2 ) 4 2 2
（14-30）
例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14）， 并知梁的惯性矩 I 8.8 105 m4 ，E=210GPa，发电机转动时其 离心力的垂直分量为Fsint，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求当 发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁 的自重可略去不计）。
§14-2 结构振动的自由度
1. 结构振动的自由度 确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的 数目称为体系的振动自由度。 (1) 单自由度结构：具有1个自由度的结构。 (2) 多自由度结构：自由度大于1的结构。 2. 连续质量的简化 (1) 集中质量法
(2) 广义坐标法
3. 振动自由度的确定 基本假定： （1）不考虑集中质量的转动； （2）受弯直杆任两点之间的距离保持不变。
my k11 y 0
令：
（a）
k11 m
2
（14-1）
有
2 y 0 y
（14-2）
这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。
(2) 柔度法列位移方程
取体系为研究对象，在质点上假想地加上惯性力 FI my 看作是一静力荷载，质点位移为惯性力产生的静位移，列出运动方 程为：
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
2. 动荷载分类 (1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 快速移动荷载
(4) 随机荷载 3．结构动力计算的内容 (1) 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。 (2) 计算结构的动力反应 即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等。
结构自由振动时的动力平衡方程为
FI FR Fe 0
FR Fe m FI
图14-8
即，
my y k11 y 0
2
k11 2k ，则有 令， ， m m
2ky 2 y 0 y
令
（14-9） （14-10）
2ky 2 y 0 y
为有阻尼自振频率。 （1）在小阻尼（ k ）的情况下，微分方程的解为
y be
kt
y0 ky0 ' sin ' t y0 cos t '
（14-11）
y be
其中
kt
sin( ' t ')
（14-12）
y0 ky0 2 b y ( ) '
F [( 2 2 ) sin t 2 cos t ] m[( 2 2 ) 2 4 2 2 2 ]
（14-21）
振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第 二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其 随时间的 频率与体系的自振频率 ' 一致，称为伴生自由振动。
768EI 192EI 48EI 1 ， 2 7ml 3 ， 3 ml 3 3 ml
距此可得
1 : 2 : 3 1:1.51: 2
说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。 2．考虑阻尼时的自由振动
粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为： FR=－ y 。其它形式 的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析， 质点上受到的力如 图14-8所示。
2 0
（14-13）
tan '
' y0
y0 ky0
（14-14）
令
k
，称为阻尼比。
' 2 k 2 1 ( )2 1 2
k
（14-15）
通常当ξ<0.1时，则
' 和 的差别很小。
有阻尼体系的自由振动不再是简谐振动，但仍是周期运动， 振幅随时间的增长而按指数规律衰减（图14-9）。
对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质量运动的办法 确定体系的自由度。自由度数目即等于所加入链杆的数目（如 图14-2）。