结构动力学-第一章
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结构动力学
第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法
k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3
第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x
l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统
2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3
结构动力学
§1.3 体系振动的自由度
象静力计算一样，在动力计算时，首先需要选取一个 合理的计算简图。但由于需要考虑惯性力，因此在动力计 算的简图中，多了一项关于质量分布的处理问题。当体系 振动时，它的惯性力与质量的运动情况有关，所以确定质 量在运动中的位置具有重要的意义。 振动的自由度：我们把确定体系上全部质量位置所需 的独立几何参变数的数目，称为该体系的振动自由度。 例1.1 如图(a)所示跨中置一质量为m电动机的简支梁，当 梁自身的质量远小于电动机的质量时，梁的质量可忽略不 计。其计算简图如图(b)所示。
Fp
如：具有偏心质量的回旋机器它所传递 给结构上的横向力就是时间 t 的函数。
t
这类荷载称为动力荷载
图(a)
显然，结构在动力荷载作用下的计 算与静力荷载作用下的计算将有很大的 的区别，而且要复杂的多。
Fpsin t
图(b)
这是因为，在进行动力计算时，除了需要考虑惯 性力外，还需取时间作为自变量。在动力问题中，内 力与荷载不能构成静力平衡，但根据达朗伯原理，可 以将动力问题转化为静力问题，方法是任一时刻在结 构上加入假想的惯性力作为外力。即结构在形式上处 于“平衡状态”，这样，就可以应用静力学的有关原 理和方法计算在给定时刻的内力和位移等。 在实际工程中，大多数荷载都是随时间的改变而 变化的，但有一些荷载使结构产生很小的振动，以至 于其上的惯性力可以忽略不计，此时为了简化计算， 可将其视为静力荷载。仅将那些随时间变化，且使结 构产生较大的振动的荷载才作为动力荷载来考虑。
dmy Fp t dt
1 2
t m y 1 3
当质量m不随时间变化时，有 Fp
0 即：Fp t m y
因此，如果把惯性力(-mÿ)加到原来受力的质量上，则动 力学问题就可以按静力平衡来处理，这种列运动方程的 方法常称为动静法。这种方法较为方便，因此得到广泛 应用。 （2）拉格朗日(Lagrange)方程 应用虚位移原理，作用在任意质量mi上的所有力 （包括惯性力），对任意的虚位移所作的虚功总和应 等于零，得
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
结构动力学习题解答
̇̇ = hδ ( t ) ； θ 0
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
结构动力学基础理论
第四章
运动方程的建立
y (t)
单自由度 体系模型
c m k
F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立（直由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
代入：
单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t )
0 v
sint v0 cost
（3-11）
第六章 简谐振动荷载反应
谐振荷载：
p (t )
k 1
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。
nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数
广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
1.3 动力荷载类型
概念：动荷载是时间的函数！
分类： 确定性荷载 动荷载 非确定性荷载
周期性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t
【结构动力学】第1章 运动方程 2020
12
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
承受动力荷载的任何线性结构体系的主要物理特性是体系的质量、弹 性特性（刚度或柔度）、能量耗散机理或阻尼、以及外部扰力或荷载
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 ▪ 自由度只有一个：水平位移 y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
28
位移方程：
FI
FD
1
y
P
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
q (t)y(t )
P
5l 4 384 EI
q(t )
惯性力： FI my 阻尼力： FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度： 由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t) (2-3)
y(t )
EI l 1
my
cy
12EI
l13
12EI l23
y
FP (t)
12EI 12EI
令： k FS1 FS 2 l13 l23
；k 为（等效）刚度系数。
由此得到体系的运动方程： my cy ky FP (t)
运动方程与(2-3)的形式是一样的！
my cy ky F(t)
（2-3）
14
直接平衡法(达朗贝尔原理)
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
第一章结构动力学概述1(长沙理工大学结构动力学)祥解PPT课件
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的 学科。
1） 结构动力学的研究内容
当前结构动力学的研究内容可用下图表示
第一类问题：响应分析——正问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
9
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
10
第三类问题：荷载识别。
结构动力学讲义
Tel.: Email:
1
教材 《结构动力学》
（杨茀康 人民交通出版社 张子明 清华大学出版社）
2
第一章、结构动力学概论
1.1 概述 1.2 基本概念 1.3 弹性系统的动力自由度 1.4 结构振动中的能量耗散-阻尼力 1.5结构运动方程的建立
3
1.1概述
首先请大家看中国唐山、日 本阪神地震及TOCOMA大桥 在风载下垮塌录像，希望能从 中体会到学习结构动力学的重 要性。更希望大家能学好结构 动力学！
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
m
结点位移个数即 为自由度个数
18
3. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
• 理论计算法
对所设计的结构建立数学模型，通过计算机计算从理论 上验证设计是否满足动力性的要求。
• 试验量测法
用来检验数学模型的正确性，为理论计算提供确切数据。
• 试验与计算混合法
重要结构的动力研究常常需要将数值计算和试验结合起 来，一方面利用数值计算为结构试验提供依据，另一方 面，根据试验结果，不断修正模型以便数学模型能更好 地反映实际情况。
4
5
美国的TOCOMA大桥在风载下垮塌的案例
1940年7月1日，造型优美的塔科马钢铁大桥建成通车。大桥刚投入使用
1） 结构动力学的研究内容
当前结构动力学的研究内容可用下图表示
第一类问题：响应分析——正问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
9
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
10
第三类问题：荷载识别。
结构动力学讲义
Tel.: Email:
1
教材 《结构动力学》
（杨茀康 人民交通出版社 张子明 清华大学出版社）
2
第一章、结构动力学概论
1.1 概述 1.2 基本概念 1.3 弹性系统的动力自由度 1.4 结构振动中的能量耗散-阻尼力 1.5结构运动方程的建立
3
1.1概述
首先请大家看中国唐山、日 本阪神地震及TOCOMA大桥 在风载下垮塌录像，希望能从 中体会到学习结构动力学的重 要性。更希望大家能学好结构 动力学！
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
m
结点位移个数即 为自由度个数
18
3. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
• 理论计算法
对所设计的结构建立数学模型，通过计算机计算从理论 上验证设计是否满足动力性的要求。
• 试验量测法
用来检验数学模型的正确性，为理论计算提供确切数据。
• 试验与计算混合法
重要结构的动力研究常常需要将数值计算和试验结合起 来，一方面利用数值计算为结构试验提供依据，另一方 面，根据试验结果，不断修正模型以便数学模型能更好 地反映实际情况。
4
5
美国的TOCOMA大桥在风载下垮塌的案例
1940年7月1日，造型优美的塔科马钢铁大桥建成通车。大桥刚投入使用
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1，集中质量法 2，广义坐标法 3，有限单元法
2019/9/16
38
2019/9/16
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40
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41
2019/9/16
42
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43
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
my(t)
24 EI l3
y(t)
P(t)
2019/9/16
53
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),
当两层之间发生相对单位水平位移时,两
层之间的所有柱子中的剪力之和称作该
层的层间侧移刚度. k 24EI
l3
1
11
k
11
1 k
P(t)
l EI
m
EI1
EI
l
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
结构动力学中：惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结 构中质量位置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义的不同。
二. 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
2019/9/16
28
§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义
大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上 的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析
时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷载是坐标
和时间的函数。
动荷载和静荷载的区别：惯性力和阻尼力
二.动荷载的分类
y2 21[P1 m1y1] 22[P2 m2 y2 ] 1
y1 y2
11 21
12 22
(PP12
m1
0
0 m2
y1 y2
)
y (P my)
1
1/ 1/ 2019/9/16
k1 k1
1/ k1
1
/
k1
1
/
k2
k I
y2 (t) m2 y2 (t) y1(t) m1y1(t)
21
11
[
P1
m1
y1
]
22
12
[
P2
m2
y2
]
56
k11
3 EI l3
刚度系数
my(t)
3 EI l3
y(t)
P(t)
k × 1
2019/9/16
11
11
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
50
三、列运动方程例题
例1.
m
P(t)
y(t) P(t)
l EI
EI
l
P2 (t) P1(t) P2 (t) P1(t)
PP12
m1
0
0 m2
y1 y2
k1 k2
k2
k2 k2
y1 y2
my ky P 刚度矩阵
2019/9/16
y2 (t) m2 y2 (t) y1(t) m1y1(t)
数值方法 运动方程的建立 自由振动分析 受迫振动
第6章 结构随机振动 与确定性荷载动力学的区别
第7章 结构动力学以及随机振动理论在结构抗风中的应用
2019/9/16
5
第一章 绪论
§1.1 结构动力学的研究内容和任务
人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工 材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建 筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这 些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节 省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能， 需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应 的关系。
2019/9/16
44
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点
y2
y1 W=2
3) 计轴变时W=2
不计轴变时W=1
2) W=2
弹性支座不减少动力自由度
为减少动力自由度，梁与 刚架不计轴向变形。
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45
4)
y1
5)
W=1
6)
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关， 但不大于质点个数的2倍。
2019/9/16
4
结构动力学
目录
第一章 绪论
基本概念 运动方程的建立
第二章 单自由度体系的振动分析
第三章 多自由度体系的振动分析 第4章 实用计算方法 第5章 无限自由度体系的振动分析
自由振动
简谐振动及周期荷载下的振动 脉冲激励和任意激励下的反应 动力反应的数值计算
多自由度体系自由振动
多自由度体系动力反应-阵型叠加法
k2 ( y2 y1)
k1 y1
m2 y2 (t) m1y1(t)
55
例7. P2 (t) P1(t)
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
y2 (t)
P2 (t)
y1(t) P1(t)
y1 11[P1 m1y1] 12[P2 m2 y2 ]
m y(t)
P(t )
P(t) [my(t)] 0
惯性力
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形式上的平衡方程，实质上的运动方程
48
一、柔度法
P(t) m my(t) =1 11
y(t)
l EI
11[P(t) my(t)]
P(t) my(t)
l
y(t) 11[P(t) my(t)]
2，为什么地震作用和风荷载是动力荷载，而在结构 设计中作为静力荷载来设计呢？
等效静力荷载的过程就显的很重要，这也需要结构动力学知识。
F XMAX
X(t)
my(t) cy(t) k y(t) P(t)
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3
主要参考书
《结构动力学》克劳夫 彭津 王光远等译 科学出版社
《结构动力学：理论及其在地震工程中的应用》 Anil K.Chopra 谢礼立 翻译
《结构动力学》刘晶波 杜修力 主编 机械工业出版社
清华大学、同济大 学以及哈尔滨工业 大学研究生主要参 考书籍。
《结构动力学》 张亚辉 林家浩 大连理工大学出版社 《结构动力学》姚熊亮主编 哈工大出版社 《高等结构动力学》唐友刚 编著 天津大学出版社
确定
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动荷载 不确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载
非周期 突加荷载
已知风荷载
的一条时程，
其他确定规律的动荷载 为确定性荷
风荷载
载
地震荷载
随机振动理论
其他无法确定变化规律的荷载
33
§1.3 振动系统的参数及其分类
振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。 振动系统分类：
一、离散系统、连续系统 二、线性系统、非线性系统 三、确定性系统、非确定性系统
y(t)
=1 11
my(t)
l
11
2l 3 3EI
my(t)
3 EI 2l 3
y(t)
P(t)
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例2.
m y(t)
l EI
P(t)
EI
l/2 l/2
y(t)
=1 11
my(t)
P(t)
l
1P
P(t)
Pl/4
11
2l 3 3EI
1P
第三类问题：荷载识别。
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
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第四类问题：控制问题
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41
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42
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三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
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柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
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1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
my(t)
24 EI l3
y(t)
P(t)
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53
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),
当两层之间发生相对单位水平位移时,两
层之间的所有柱子中的剪力之和称作该
层的层间侧移刚度. k 24EI
l3
1
11
k
11
1 k
P(t)
l EI
m
EI1
EI
l
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
结构动力学中：惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结 构中质量位置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义的不同。
二. 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
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§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义
大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上 的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析
时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷载是坐标
和时间的函数。
动荷载和静荷载的区别：惯性力和阻尼力
二.动荷载的分类
y2 21[P1 m1y1] 22[P2 m2 y2 ] 1
y1 y2
11 21
12 22
(PP12
m1
0
0 m2
y1 y2
)
y (P my)
1
1/ 1/ 2019/9/16
k1 k1
1/ k1
1
/
k1
1
/
k2
k I
y2 (t) m2 y2 (t) y1(t) m1y1(t)
21
11
[
P1
m1
y1
]
22
12
[
P2
m2
y2
]
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k11
3 EI l3
刚度系数
my(t)
3 EI l3
y(t)
P(t)
k × 1
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11
11
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
50
三、列运动方程例题
例1.
m
P(t)
y(t) P(t)
l EI
EI
l
P2 (t) P1(t) P2 (t) P1(t)
PP12
m1
0
0 m2
y1 y2
k1 k2
k2
k2 k2
y1 y2
my ky P 刚度矩阵
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y2 (t) m2 y2 (t) y1(t) m1y1(t)
数值方法 运动方程的建立 自由振动分析 受迫振动
第6章 结构随机振动 与确定性荷载动力学的区别
第7章 结构动力学以及随机振动理论在结构抗风中的应用
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5
第一章 绪论
§1.1 结构动力学的研究内容和任务
人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工 材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建 筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这 些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节 省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能， 需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应 的关系。
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例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点
y2
y1 W=2
3) 计轴变时W=2
不计轴变时W=1
2) W=2
弹性支座不减少动力自由度
为减少动力自由度，梁与 刚架不计轴向变形。
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4)
y1
5)
W=1
6)
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关， 但不大于质点个数的2倍。
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结构动力学
目录
第一章 绪论
基本概念 运动方程的建立
第二章 单自由度体系的振动分析
第三章 多自由度体系的振动分析 第4章 实用计算方法 第5章 无限自由度体系的振动分析
自由振动
简谐振动及周期荷载下的振动 脉冲激励和任意激励下的反应 动力反应的数值计算
多自由度体系自由振动
多自由度体系动力反应-阵型叠加法
k2 ( y2 y1)
k1 y1
m2 y2 (t) m1y1(t)
55
例7. P2 (t) P1(t)
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
y2 (t)
P2 (t)
y1(t) P1(t)
y1 11[P1 m1y1] 12[P2 m2 y2 ]
m y(t)
P(t )
P(t) [my(t)] 0
惯性力
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形式上的平衡方程，实质上的运动方程
48
一、柔度法
P(t) m my(t) =1 11
y(t)
l EI
11[P(t) my(t)]
P(t) my(t)
l
y(t) 11[P(t) my(t)]
2，为什么地震作用和风荷载是动力荷载，而在结构 设计中作为静力荷载来设计呢？
等效静力荷载的过程就显的很重要，这也需要结构动力学知识。
F XMAX
X(t)
my(t) cy(t) k y(t) P(t)
2019/9/16
3
主要参考书
《结构动力学》克劳夫 彭津 王光远等译 科学出版社
《结构动力学：理论及其在地震工程中的应用》 Anil K.Chopra 谢礼立 翻译
《结构动力学》刘晶波 杜修力 主编 机械工业出版社
清华大学、同济大 学以及哈尔滨工业 大学研究生主要参 考书籍。
《结构动力学》 张亚辉 林家浩 大连理工大学出版社 《结构动力学》姚熊亮主编 哈工大出版社 《高等结构动力学》唐友刚 编著 天津大学出版社
确定
2019/9/16
动荷载 不确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载
非周期 突加荷载
已知风荷载
的一条时程，
其他确定规律的动荷载 为确定性荷
风荷载
载
地震荷载
随机振动理论
其他无法确定变化规律的荷载
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§1.3 振动系统的参数及其分类
振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。 振动系统分类：
一、离散系统、连续系统 二、线性系统、非线性系统 三、确定性系统、非确定性系统
y(t)
=1 11
my(t)
l
11
2l 3 3EI
my(t)
3 EI 2l 3
y(t)
P(t)
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例2.
m y(t)
l EI
P(t)
EI
l/2 l/2
y(t)
=1 11
my(t)
P(t)
l
1P
P(t)
Pl/4
11
2l 3 3EI
1P
第三类问题：荷载识别。
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
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第四类问题：控制问题