2018年苏教版版数学选修2-3第3章 3.2 回归分析 学业分层测评

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．如图3-2-2所示，对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断________．
图3-2-2
①变量x与y正相关，u与v正相关；
②变量x与y正相关，u与v负相关；
③变量x与y负相关，u与v正相关；
④变量x与y负相关，u与v负相关．
【解析】由图(1)知，x与y是负相关，由图(2)知，u与v是正相关，故③正确．
【答案】③
2．已知对一组观测值(x i，y i)(i＝1,2，…，n)作出散点图后，确定具有线性^＝a^＋b^x，求得b^＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则线性回归相关关系，若对于y
方程为________．
^＝y－b^x＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5≈6.65.
【解析】∵a
^＝0.51x＋6.65.
∴y
^＝0.51x＋6.65
【答案】y
3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型，预报广告费用为6万元时销售额为______万元．
【解析】 样本中心点是(3.5,42)，则a ^＝y －－b ^x －
＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.
【答案】 65.5
4．对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析时，得到一个回归方程y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,14}，则y －＝________.
【解析】 由x －＝8，得y －＝1.5×8＋45＝57. 【答案】 57
5．已知x ，y 的取值如下表：
画出散点图，从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 【导学号：29440070】
【解析】 因为回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，解得x －＝2，y －＝4.5，将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a
^，可得a ^＝2.6. 【答案】 2.6
6．一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的
平均气温约为 6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．
【解析】 ∵样本点的中心为(10,38)， ∴38＝－2×10＋a
^.
∴a ^＝58，即y ^
＝－2x ＋58. ∴当x ＝6时，y ＝46. 【答案】 46
7．对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ＝3x ＋20，若∑i ＝1
10
x i ＝18，则∑i ＝1
10
y i ＝________.
【解析】 由于∑i ＝1
10
x i ＝18，
则x －＝1.8，∵(x －，y －)在回归方程上， ∴y －＝3×1.8＋20＝25.4， ∴∑i ＝110
y i ＝10y －＝254.
【答案】 254
8．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．
【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.
【答案】 y ^＝1.23x ＋0.08 二、解答题 9．对于数据组：
(1)(2)求线性回归方程．
【解】 (1)作图略．x ，y 具有很好的线性相关性． (2)设y ^＝a
^＋b ^x ， 因为x －＝2.5，y －＝5，∑4
i ＝1
x i y i ＝60，
∑4
i ＝1
x 2i ＝30， 故b
^＝60－4×2.5×5
30－4×2.52
＝2，
a ^＝y －－
b ^x －＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为y ^＝2x .
10．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故的统计资料，求出y 关于x 的线性回归方程.
【解】 ∑i ＝1
x i ＝1 031，∑i ＝1y i ＝71.6，∑i ＝1x 2
i
＝137 835，∑i ＝1
x i y i ＝9 611.7，x －
＝128.875，y －＝8.95，将它们代入⎩⎨⎧
b
^＝∑n
i ＝1
x i y i －n x － y －∑n
i ＝1x 2
i －n (x －)2
，
a ^＝y －－
b ^x －，
计算得b
^≈0.077 4.a ^＝－1.025，
所以，所求线性回归方程为y ^＝0.077 4x －1.025.
[能力提升]
1．对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它
们之间的线性回归方程是y ^
＝3x ＋20，若∑10i ＝1x i ＝18，则∑10
i ＝1y i
＝________. 【解析】 由∑10
i ＝1
x i ＝18，得x ＝1.8. 因为点(x ，y )在直线y ^＝3x ＋20上，则y ＝25.4. 所以∑10
i ＝1y i ＝25.4×10＝254. 【答案】 254
2．已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )作出散点图后，确定具有线性
相关关系，若对于y ^＝a ^＋b ^x ，求得b ^＝0.51，x －＝61.75，y －
＝38.14，则线性回归方程为________．
【解析】 ∵a ^＝y －－b ^x －
＝38.14－0.51×61.75 ＝6.647 5≈6.65.∴y ^＝0.51x ＋6.65. 【答案】 y ＝0.51x ＋6.65
3．若线性回归方程中的回归系数b
^＝0，则相关系数r ＝________. 【解析】 b
^＝
∑i ＝1
n
(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1
n (x i －x －
)2，
r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x －
)(y i －y －)∑i ＝1
n
(x i －x －)2
∑i ＝1
n (y i －y －
)2.
由计算公式知，若b ＝0，则r ＝0. 【答案】 0
4．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
程，剩下的2组数据用于回归方程检验．
(1)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b
^x ＋a ^；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过
2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
(3)请预测温差为14 ℃的发芽数．
【解】 (1)由数据求得，x ＝12，y ＝27， 由公式求得，b
^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3.
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝52x －3. (2)当x ＝10时，y ^＝5
2×10－3＝22，|22－23|<2；
当x ＝8时，y ^＝5
2×8－3＝17，|17－16|<2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． (3)当x ＝14时，有y ^＝52×14－3＝35－3＝32， 所以当温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．。