清华微积分(高等数学)课件第四讲连续函数的性质PPT资料34页
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微积分课件2.7连续函数
解 由于
lim f ( x) lim(x2 1) 1
x0
x0
且
lim f (x) lim(2x b) b
x0
x0
又因为f(x)在点 x = 0处连续，故
lim f (x) lim f (x)
x0
x0
即 b 1
若函数 ƒ(x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则称函
数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续; 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点 a 右连
lim
x x0
f ( x) 不存在;
(3)
ƒ(x)在 x0 处虽有定义,
且
lim f ( x) 存在, 但
x x0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
依据函数在间断点处的左、右极限是否都存在，通常
把函数的间断点划分为两类. 设点 x0是函数 ƒ(x)的间断点.
第一类间断点：左右极限都存在的间断点；
f (1)
1 e1 arctan 1
4 (1 e)
例10
xn 1
lim
x 1
xm
;(m, n 1
N)
解 因为 an bn (a b)(an1 an2b
abn2 bn1 )
故
xn 1
lim
x1
xm
1
n个
( x 1) ( xn1 xn2 1)
lim
x 1
(x
1) ( xm1
y f (x0 x) f (x0 )
为函数对应的增量(或改变量).
定义2.7.2 设函数 ƒ(x) 在 x0 的某邻域内有定义, 如果
lim y
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
清华大学微积分高等数学课件第讲简单常微分方程一 共40页
y,
dy dx
,,
dny dx n ) 0
y
x x0
y0
dy
dx
x x0
y1
有n个
定解条件
d n1 y
y n 1
n1
dx 29.07.2019
x x0
13
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常微分方程的每一个都 解是一个 一元函数y f (x) 或是F(x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲.线
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到Байду номын сангаас程 dy 2xy dx
通解 yCx e2 (CR)
29.07.2019
19
(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
ydy 1 y2
dx 3x2
两端积分, 得 121y21C
2
3x
通解 1y2 1 C
16
(一) 分离变量法
[例1] 解方程 这两个方程的共同特点
(1) dy 2xy
是变量可分离型
dx
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy
f(x)(y)
分离变量
g(y)dyf(x)dx
dx
两边积分 g(y)dyf(x)dx 通解
29.07.2019
17
(1) [解]
dy 2xy dx
15
(一) 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
或f(x)d xg(y)dy
《连续函数的性质》课件
连续函数的性质
《连续函数的性质》PPT课件将帮助你了解连续函数的定义、基本性质、中值 定理及其应用、极限与连续函数的关系，以及连续函数在各个领域的应用。
什么是连续函数
连续函数是一种在数学上具有特殊性质的函数，其定义表明了它在数学中的重要地位。连续函数的图像通常具 有平滑的曲线。
连续函数的基本性质
连续函数的零点及其应用
连续函数的零点是指函数与x轴的交点，具有重要的应用价值。
极限与连续函数的关系
极限的定义及其性质
极限是连续函数研究中的基本 概念之一，通过极限可以更深 入地理解连续函数。
连续函数与无穷大的 性质
连续函数在无穷大的情况下也 保持连续性，并展现出独特的 性质。
连续函数与无穷小的 性质
连续函数在无穷小的情况下也 保持连续性，并具有一些特殊 的性质。
连续函数的应用
1
连续函数在物理学、工程学、经济学等领域的应用
连续函数在各个领域中都有广泛的应用，例
连续函数在计算机科学中扮演重要角色，如信号处理、图像处理和模拟仿真等领 域。
四则运算
连续函数可以进行加、减、 乘、除等基本的数学运算， 保持函数的连续性。
复合运算及其性质
连续函数可以进行复合运算， 从而构建更复杂的函数。
配合极限的连续函数的 性质
连续函数可以与极限一起使 用，使得函数的性质更具深 度。
连续函数的中值定理及其应用
微积分中的中值定理
中值定理是微积分中的重要定理，通过研究连续函数的中值可以得到有用的结果。
总结与思考
连续函数的特点和应 用
连续函数具有连续性、平滑性 等特点，并广泛应用于各个学 科领域。
连续函数的研究方向
未来的研究可以探索连续函数 在更高维度、更复杂情况下的 性质及应用。
《连续函数的性质》PPT课件将帮助你了解连续函数的定义、基本性质、中值 定理及其应用、极限与连续函数的关系，以及连续函数在各个领域的应用。
什么是连续函数
连续函数是一种在数学上具有特殊性质的函数，其定义表明了它在数学中的重要地位。连续函数的图像通常具 有平滑的曲线。
连续函数的基本性质
连续函数的零点及其应用
连续函数的零点是指函数与x轴的交点，具有重要的应用价值。
极限与连续函数的关系
极限的定义及其性质
极限是连续函数研究中的基本 概念之一，通过极限可以更深 入地理解连续函数。
连续函数与无穷大的 性质
连续函数在无穷大的情况下也 保持连续性，并展现出独特的 性质。
连续函数与无穷小的 性质
连续函数在无穷小的情况下也 保持连续性，并具有一些特殊 的性质。
连续函数的应用
1
连续函数在物理学、工程学、经济学等领域的应用
连续函数在各个领域中都有广泛的应用，例
连续函数在计算机科学中扮演重要角色，如信号处理、图像处理和模拟仿真等领 域。
四则运算
连续函数可以进行加、减、 乘、除等基本的数学运算， 保持函数的连续性。
复合运算及其性质
连续函数可以进行复合运算， 从而构建更复杂的函数。
配合极限的连续函数的 性质
连续函数可以与极限一起使 用，使得函数的性质更具深 度。
连续函数的中值定理及其应用
微积分中的中值定理
中值定理是微积分中的重要定理，通过研究连续函数的中值可以得到有用的结果。
总结与思考
连续函数的特点和应 用
连续函数具有连续性、平滑性 等特点，并广泛应用于各个学 科领域。
连续函数的研究方向
未来的研究可以探索连续函数 在更高维度、更复杂情况下的 性质及应用。
高等数学函数连续性教学ppt
定义1.3. 4 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每
一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续. 如果y=f (x) 满足(1)在闭区间[a,b]上有定义;
(2)在开区间(a, b)内连续;
(3)在左端点a处右连续,即
lim
xa
f (x)
f (a) ;
(4)在右端点b处左连续,即
函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时, 函数值变化也不大. 定理1.
0
续的充要条件是函数 y f ( x) 在点 x 处既 是否存在？
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
连续性及间断点内容小结:
0
f (x)±g(x) , f (x)·g(x) , f (x)/g(x)
x
19
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
点 u0 处连续，则有:
lim
f
( x) lim uu0
f (u)=f (u0 )
f [lim( x)].
这表明: 复合函数 y f ( x) 满足推论条件时:
(1) 可作变量代换 u=(x) 求复合函数的极限, 即
令u=(x)
28
说 明：
所谓可去间断点是指：可以通过改变或补
充 f(x0) 的定义使得
f ( x),
从而使函
数 f (x) 在 x0 处连续.
例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则
x2 1
f
(x)
x
1
,
2,
x 1, x 1,
则 f (x)在x=1处就连续了.
1.增量
增量：u u2 u1
终值与初值的差
一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续. 如果y=f (x) 满足(1)在闭区间[a,b]上有定义;
(2)在开区间(a, b)内连续;
(3)在左端点a处右连续,即
lim
xa
f (x)
f (a) ;
(4)在右端点b处左连续,即
函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时, 函数值变化也不大. 定理1.
0
续的充要条件是函数 y f ( x) 在点 x 处既 是否存在？
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
连续性及间断点内容小结:
0
f (x)±g(x) , f (x)·g(x) , f (x)/g(x)
x
19
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
点 u0 处连续，则有:
lim
f
( x) lim uu0
f (u)=f (u0 )
f [lim( x)].
这表明: 复合函数 y f ( x) 满足推论条件时:
(1) 可作变量代换 u=(x) 求复合函数的极限, 即
令u=(x)
28
说 明：
所谓可去间断点是指：可以通过改变或补
充 f(x0) 的定义使得
f ( x),
从而使函
数 f (x) 在 x0 处连续.
例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则
x2 1
f
(x)
x
1
,
2,
x 1, x 1,
则 f (x)在x=1处就连续了.
1.增量
增量：u u2 u1
终值与初值的差
高等数学课件D110连续函数性质
连续函数图像是单调的， 没有上下波动
连续函数图像是封闭的， 没有缺口和缺口
连续函数图像的凹凸性
凹凸性：连续函数 的图像可以具有凹 凸性，即图像的曲 率可以发生变化
凹凸性的判断：可 以通过二阶导数的 符号来判断函数的 凹凸性
凹凸性的应用：在 解决实际问题时， 凹凸性可以帮助我 们更好地理解和分 析函数的性质
介值定理的推广：如果函数f(x)在区间 [a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么存在一 个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c，其中c是任意 常数。
感谢观看
汇报人：
添加 标题
介值定理的推论包括：介值定理的逆定 理、介值定理的推广、介值定理的等价 形式等。
添加 标题
添加 标题
介值定理的逆定理：如果函数f(x)在区间 [a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么存在一 个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
添加 标题
介值定理的等价形式：如果函数f(x)在区 间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么存在 一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c，其中c是任 意常数。
03
连续函数的图像
连续函数的图像是连续曲线
连续函数的图像 是连续的，没有 间断点
连续函数的图像 是光滑的，没有 尖角和棱角
连续函数的图像 是连续的，可以 无限细分
连续函数的图像 是连续的，可以 无限延伸
连续函数图像的几何特征
连续函数图像是连续的， 没有间断点
连续函数图像是光滑的， 没有尖角和拐点
求函数值：利用 零点存在性定理 求函数在某点的 值
零点存在性定理的推论
连续函数在闭区 间上的零点存在 性
连续函数在开区 间上的零点存在 性
连续函数在半开 半闭区间上的零 点存在性