§2.2.3 向量的数乘运算导学案

§2.2.3 向量的数乘运算
【课程学习目标】：
1. 知识与技能：理解向量数乘运算的概念，会确定数乘后的方向和模.
2. 过程与方法：掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算.
3. 情感、态度与价值观：通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想.
【教学重难点】：
1. 重点：向量的数乘及运算律
2. 难点：共线定理
【课时】：2
自主学习过程
一、知识链接，忆旧迎新
回顾平面向量的加减法运算
（1）几何运算法：如图，试作出b
a+、b
a-.
（2）字母运算法：如=
-
-DC
AD
AB；=
-
+
+MP
MN
QP
NQ .
二、读教材，理要点
1.向量的数乘的定义（类比实数中的运算）：
一般地，实数λ与向量a
的积是一个，这种运算叫做，记作：_______；它的长度和方向规定如下：
（1）||||||
a a
λλ
=
（2）当0
λ>时，_______________________；
当0
λ<时，_______________________；
当0
λ=时，_______________________；
特别的，当0
=
λ时，=
a
λ；当0
=
a时，=
λ；
2.向量的数乘的作图：
已知,a
作b a
λ
=
当0λ>时，把a
按原来的方向变为原来的 倍； 当0λ<时，把a
按原来的相反方向变为原来的 倍；
3.向量的线性运算定义：
___________________________________________统称为向量的线性运算；
4.向量的数乘满足的运算律： 设,λμ为任意实数，,a b
为任意向量，则
（1）结合律______________________________________
（2）分配律_______________________________________
（3）=±)(21b a μμλ
5.共线定理 向量)0(≠a a 与b 共线，当且仅当有 实数λ，使得 .
三、疑点探究 问题1：若0=a λ，那么λ一定为0吗？
问题2：共线定理中，a b λ=，为何0≠a ？
四、典型例题 例1.已知向量b a ,，求作向量a 2，b 31-
，b a 3
12-；
例2.计算
（1）a 4)3(⨯- （2）a b a b a ---+)(2)(3 （3）)23()32(c b a c b a +---+ （4）4(35)2(368)a b c a b c -+---+
例3.完成教材P90的练习题
例4.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相较于点M ，且a AB =，b AD =，你能用b a 、表示MB MA BD AC 、、、吗?
五、拓展提高 例1.已知梯形ABCD 中，DC AB 2=，N M 、分别是AB DC 、的中点，若1e AB =，
2e AD =，用21e e 、
表示DC 、BC 、MN .
例2.已知向量a ，b 不共线，b a OA +=，b a OB 2+=，b a OC 3+=。

（1）求证：C B A 、、三点共线；
（2）试确定k 的值，使得b a k +与b k a +共线.
六、小结
1.平面向量的数乘运算. （1）||||||a a λλ=
（2）当0λ>时，_______________________；
当0λ<时，_______________________；
当0λ=时，_______________________；
特别的，当0=λ时，=a λ ； 当0=a 时，=0λ ；
2.向量的数乘满足的运算律： 设,λμ为任意实数，,a b
为任意向量，则
（1）结合律______________________________________
（2）分配律_______________________________________
（3）=±)(21b a μμλ
3.共线定理
向量)0(≠a a 与b 共线，当且仅当有 实数λ，使得 .。