向量的加减法及数乘运算
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。
2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。
3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。
4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。
向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。
如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
平面向量的运算规则
平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量，常用于解决几何问题和物理问题。
为了对平面向量进行运算，我们需要了解平面向量的运算规则。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则，以及向量的共线性和平行性。
一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的加法规则如下：A + A = A + A即向量的加法满足交换律。
二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的减法规则如下：A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。
减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算：A - A = A + (-A)其中，-A表示向量A的反向向量，即大小相等，方向相反。
三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A，它们的数乘规则如下：AA = AA即数乘满足交换律。
数乘后的向量与原向量大小相等，方向与原向量平行或反向。
四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。
对于平面上的两个向量A和A，它们的数量积规则如下：A·A = AA cosθ其中，A·A表示向量A和A的数量积，AA为A和A的模的乘积，θ为A和A之间的夹角。
根据数量积的定义，我们可以得到以下结论：1. 若A·A = 0，则A与A垂直，即A和A互相垂直。
2. 若A·A > 0，则A与A夹角为锐角。
3. 若A·A < 0，则A与A夹角为钝角。
五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A，它们的共线性和平行性判断规则如下：1. 共线性判断：若存在一个实数A，使得A = AA，则A与A共线，且方向相同或相反。
2. 平行性判断：若A与A共线且方向相同或相反，则A与A平行。
总结：平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。
其中，加法满足交换律，减法不满足交换律，数乘满足交换律。
数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。
同时，共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
学而优 · 教有方
布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
向量坐标运算公式总结
向量坐标运算公式总结向量是代表大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在数学和物理中，我们经常需要进行向量的坐标运算，来求解各种问题。
1.向量的加减法：向量加法的定义：设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
向量减法的定义：设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。
2.标量与向量的乘法：标量与向量的乘法的定义：设A是一个向量，k是一个实数，其坐标为A(x, y, z)，则kA = (kx, ky, kz)。
特别地，当k=0时，kA=(0,0,0)，即零向量。
3.向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示两个向量间的夹角余弦值乘以两个向量的模的乘积。
设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A·B=x1x2+y1y2+z1z2根据数量积的定义，我们可以利用数量积来计算向量之间的夹角：cosθ = A·B / (，A，× ，B，)其中，θ表示夹角，A，表示向量A的模。
4.向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，表示两个向量所在平面的法向量。
设A和B是两个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则A×B=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)。
向量积的模等于两个向量构成的平行四边形的面积，即，A × B，= ，A，× ，B，× sinθ，其中θ表示A和B之间的夹角。
特别地，当A与B共线时，向量积等于零向量。
5.混合积：混合积是三个向量的数量积，表示三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
设A、B和C是三个向量，其坐标分别为A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)，则[ABC]=A·(B×C)=x1(y2z3-z2y3)+y1(z2x3-x2z3)+z1(x2y3-y2x3)。
平面向量的数乘和运算律
平面向量的数乘和运算律一、平面向量的数乘和运算律1、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。
①常用结论$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbolb|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。
②向量加法的运算律交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。
结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbola+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。
2、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。
向量的基本运算
向量的基本运算向量是数学中重要的概念，它用于表示有大小和方向的物理量。
向量可以进行一系列的基本运算，使得我们能够更好地理解和应用向量的概念。
本文将介绍向量的基本运算方法，包括向量的加法、减法、数乘以及点积和叉积运算。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的运算。
设有两个向量A和B，表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则它们的加法运算可以通过分别将对应分量相加得到新向量C=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
例如，若向量A=(2, 4, 6)和向量B=(1, 3, 5)，则它们的和为C=(3, 7, 11)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的运算。
设有两个向量A和B，表示为A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，则它们的减法运算可以通过分别将对应分量相减得到新向量C=(a1-b1,a2-b2, a3-b3)。
例如，若向量A=(2, 4, 6)和向量B=(1, 3, 5)，则它们的差为C=(1, 1, 1)。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。
设有一个向量A=(a1, a2, a3)和一个实数k，它们的数乘运算可以通过将向量的每个分量乘以实数得到新向量B=(ka1, ka2, ka3)。
例如，若向量A=(1, 2, 3)和实数k=2，则它们的数乘结果为B=(2, 4, 6)。
四、向量的点积向量的点积又称为内积或数量积，它是两个向量之间的一种运算。
设有两个向量A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，它们的点积运算可以通过将对应分量相乘，然后将乘积相加得到一个标量c=a1*b1 + a2*b2 + a3*b3。
例如，若向量A=(1, 2, 3)和向量B=(4, 5, 6)，则它们的点积结果为c=1*4 + 2*5 + 3*6=32。
五、向量的叉积向量的叉积又称为外积或向量积，它是两个向量之间产生一个新的向量的运算。
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例1、计算下列各式
(1)( 3) 4a 12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
a 5b 2c
(3)( 2a 3b c ) (3a 2b c )
5b
练一练:
书本P90,练习5
B
b d
D
d
A
c
a
b
a
c
C
o
例2．如图，平行四边形 ABCD中， AB a , AD b , 用 a , b 表示向量 AC , DB 。
解：由作向量和的平行四边形法则， 得
例题
AC a b
D
C
b
由作向量差的方法，
A 知 DB AB AD a b
于是求 a b 就是求这样一个向量，
它与
b
O
这是因为： a b b a b b a 0 a
b的和等于 a。
此即向量减法的三角形法则
法（二） 三角形法则
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a b
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
设 e1 , e2是两个不共线的向量， AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值.
b
a
o
作法: 在平面中任取一点o
过O作 OA a
b
B
过O作 OB
a
A
a b
则 BA a b
b
连端点，指向被减数
思考
如果，∥ a b ，怎样做出 a b ？
(1)同向
a
b
b
a
(2)反向
A
b
a
A
B
B
b
O
a O
A
A
a b
规定如下：
（1）| a || || a |;
（2）当 0时， 的方向与 a a 当 0时， a 的方向与 a
的方向相同； 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
向两个向量 a、 b ，试作 OA a b,
间的位置关系吗？为什么？
a b 3b 2b b
O
OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
C
B
A
a
小结:
a b a b a b
（2）
a、b R
a b ab a b a b a b a b
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾顺次连，起点 指终点
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
C
ab
a
B
练习.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
来表示 MA 。 a b AB a, AD b，你能用 、 、 MB、 MC 和 MD
D M C
b
A
a
B
另： （1） a b ab a b
1． 相反向量：
做 a 的相反向量 记作 a
与 a长度相等，方向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。 注： （1） a a （2）任意向量与它相反向量的和是零向量。
即： a a a a 0 （3）如果， a , b互为相反向量，
，是实数，
（1）（ a ) ( )a;
(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
向量的数乘运算
例1已知向量a , b, 求作向量a b
b a
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a , AB b
(3)则 OB a b
这种作法叫做向量加法
o·
A
的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba ( a b ) c a ( b c)
思考 :
(1)若b a(a 0), 则a, b位置关系如何?
b // a
成立
(2)若b // a(a 0), 则b a是否成立?
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b
B
a
a b b
C
b
A
A
a B
O
a
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
b
b
B
O
a
BA a b
A
作一作，看成果
已知非零向量 a ,作出 a a a ,你能发现什么？ a 3a与 a 方向相同 a a a O 3a 即 3a A C B 3a
a b
B B
例1．已知向量 a , b , c , d，求作向量 a b , c d
例题
作法：如图，在平面内任取一点O， 作 OA a , OB b , OC c , OD d 作 BA, DC 则 BA a b , DC c d
(a) (a) (a) 又如何呢？ 类比上述结论， a a a 3a 与 a方向相反
N M
Q
P
3a
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向
那么：
a b , b a, a b 0.
向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b
即： a b a b
2． 向量减法的定义
的差，
求向量差的运算，叫做向量的减法。
思考：
任意给出两个向量，如何做出这两个向量的差呢？
法（一） 平行四边形法则 因为 a b a b
（1）做出 b 的相反向量 b
作出 a b 即 a b
（2）利用向量加法的平行四边形法则
a
b
B`
C
A
a b
a
b
B
b
O
法（二） 三角形法则
a
b
B`
C
A
a b
a
b
B
观察作图（一）： a b 即是由 b 指向 a 的向量
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2， CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.