向量数乘运算
向量数乘运算
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，向量 AC=a+b,向量DB=a-b
练习1：选择题
uuur uuur uuur
（1）AB BC AD D
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B)CD (C)DB
uuur (D)DC
uuur uuur uuur
（2）AB AC DB C
uuur
uuur
uuur
2、设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB=2e1+re2，CB=e1+3e2，若A，B， C三点共线，求r的值.
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
D
C
MC= … = 1 a+ b 2
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。 E
C
A B D
练习1：设a，b是两个不共线的向量，已知 AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，
B，D三点共线。
证明：∵BD=BC+CD
=(2a+8b)+3(a-b)
=5a+5b
=5(a+b)
=5AB
∴BD//AB，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和
2.2.3_向量数乘运算及其几何意义
a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
8
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
a
3(2a )
b
3(2a ) = 6 a
3 2 1 3 ①-③得 n 11 a 11 b, m 11 a 11 b
x y
例5 如图所示，已知 OA ' 3OA , A ' B ' 3 AB , 说明 向量 OB 与 OB 的关系．
'
B
'
解： 因为 OB' OA' A' B'
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
N A M B
15
练习
(1).设 a
是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 a 的方向相反 C. a a
2
的方向相同 D. a a B. a与 a (2).下列四个说法正确的个数有( C ).
课堂小结：
一、①λ
a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa
②向量共线定理
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
23
作业:
《向量数乘运算》课件
几何意义
要点一
总结词
向量数乘运算的几何意义是标量$k$与向量$mathbf{a}$的 模长相乘，再根据$k$的正负确定几何意义可以理解为标量$k$与向量 $mathbf{a}$的模长相乘，即新的向量的长度是原向量长 度乘以标量$k$。同时，根据标量$k$的正负来确定新向量 的方向。当$k > 0$时，新向量的方向与原向量方向相同 ；当$k < 0$时，新向量的方向与原向量方向相反；当$k = 0$时，新向量为零向量。这种几何意义有助于直观理解 向量数乘运算的过程和结果。
实数与向量的数乘的几何意义
实数与向量的数乘的几何表示
实数λ与向量a的数乘在几何上表示将向量a的长度扩大或缩小λ倍，并改变其方 向。
实数与向量的数乘在几何上的应用
在物理、工程和科学实验中，实数与向量的数乘常用于描述力的合成与分解、 速度和加速度等物理量。
实数与向量的数乘的性质
1 2 3
实数与向量的数乘的模的性质
02
向量数乘运算的性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性组合的特性。
详细描述
向量数乘运算具有线性性质，即对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k_1, k_2$，有$(k_1 k_2)mathbf{a} = k_1(k_2mathbf{a}) = (k_2mathbf{a})k_1 = k_2(k_1mathbf{a})$。线性性质在向 量运算中非常重要，它使得向量数乘运算可以像标量运算一样进行简化。
乘运算来计算其合加速度。
实例三：向量的投影
向量的投影是向量数乘运算的一个重要应用
在物理和工程领域中，向量的投影是一个常见的概念 。通过向量数乘运算，可以方便地计算一个向量在另 一个向量上的投影。这有助于描述力的作用效果、速 度的方向变化等。例如，在机械工程中，当一个力作 用在物体上时，可以通过向量的投影来计算该力对物 体产生的旋转效应。在建筑学中，向量的投影可以用 来描述建筑结构在不同方向上的变形。
向量数乘运算及几何意义
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领 域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加 速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等 。
向量数乘运算及几何 意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹 和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角 度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和 旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实 现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特 性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳 定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果 仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几 何意义
03
向量数乘运算的几 何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘
向量的加减乘除运算公式
向量的加减乘除运算公式
1. 向量加法：
计算两个向量相加时，需要对应位置上的数相加，例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a +
b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)
2. 向量减法：
计算两个向量相减时，需要对应位置上的数相减，例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a -
b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)
3. 向量数乘：
将一个向量乘以一个数时，需要将向量中每个数都乘以该数，例如：
a = (1, 2, 3)
k = 2
k*a = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)
4. 向量点乘：
向量点乘指对应位置上的数分别相乘，在将相乘的结果相加，例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a·b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32
5. 向量叉乘：
向量叉乘只适用于三维向量，叉乘的结果是另一个向量，其方向垂直于原来两个向量组成的平面，大小等于这个平面的面积。
例如：
a = (1, 2, 3)
b = (4, 5, 6)
a×b = (-3, 6, -3)。
向量的数乘运算
向量的数乘运算
[典例 3] 设 a，b 是不共线的两个非零向量． (1)若―O→A ＝2a－b，―O→B ＝3a＋b，―O→C ＝a－3b，求证：A， B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值； (3)若―OM→＝m a，―ON→＝n b，―O→P ＝α a＋β b，其中 m，n， α，β 均为实数，m≠0，n≠0，若 M，P，N 三点共线，求证： mα ＋nβ＝1.
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2 解析：当
k＝12时，mD＝．－ke＝1＋12 12e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时 m，n 共线． 答案：D
3.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若―AB→＝a， ―A→ C ＝b，则―AM→等于( )
A.12(a－b)
B．－12(a－b)
[方法技巧] 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形 法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量 关系，然后解关于所求向量的方程．
[对点练清]
1．在△ABC 中，若点 D 满足―BD→＝2―D→C ，则―AD→等于( )
A.13―AC→＋23―AB→
2．在四边形 ABCD 中，若―AB→＝－12―CD→，则此四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
解析：因为―AB→＝－12―CD→，所以 AB∥CD，且 AB≠CD，所
以四边形 ABCD 是梯形．
答案：C
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，―AB→ ＋―AD→＝λ―AO→，则 λ＝________. 解析：∵四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴―AB→＋―AD→＝―A→ C ＝2―AO→，∴λ＝2. 答案：2
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
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1
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1.通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2.理解两个向量共线的等价条件，能运用向量共线条件判定两向量是否平行。
3.体会类比迁移的思想方法。
自学探究
问题1.已知向量为非零向量，试用作图方式表示
（1）＋＋与3； （－）+（－）+（－）与3-； ★（2）32⨯与6； 5与32+； )(2+与22+.
由（1），你能得出λ与的长度和方向有什么规律吗？
由（2），你能得出向量满足什么运算律吗？运算律的几何意义是什么呢？
★ 问题2.引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？你能得出怎样判断向量共线吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
问题3.λ=则与共线吗？与共线，一定有λ=吗?
【技能提炼】
1.计算（1）()a 43⨯- （2）()()a b a b a ---+23 （3）()()
c b a c b a +---+2332
总结:向量数乘运算与多项式运算的异同：
2.如图：已知任意两个非零向量b a ,，试作=+，=2+, OC =3+,你能判断C B A ,,三点之间的位置关系吗？为什么？
变式：已知BC DE AB AD 3,3==，试判断AC 与AE 是否共线？ 总结:向量共线定理的特点：
3.如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且,,b AD a AB ==，你能用,表示,→MA ,→MB ,→MC 和,
→
MD 吗？
必做题1,2,3,4,5,6 习题2.2 A 组9,10,11,12,13
变式反馈
1.下列各式中不表示向量的是：（ ）
A 、⋅0
B 、3+ C
、3 D 、
()y x R y x y
x ≠∈-且,,1
2.化简
()[()]24482212
1
--+的结果为（ ）
A 、b a -2
B 、a b -2
C 、-
D 、- 3.若O 为平行四边形ABCD 的中心，213,2e BC e AB ==→
→
则
122
3
e e -等于（ ） A 、→
AO B 、→
BO C 、→
CO D 、→
DO 4.
,3=b 与a
5=，则=a b .
5.设21,e e 是两个不共线的非零向量，若向量
21212142,42,23e e e e e e --=+-=-=试证:D C A ,,三点共线.
6.若()
32
1
312=+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
，其中,,为已知向量，则未知向量= . 7.已知向量→
AB 的方向是东南方向，且→
AB =4，则向量-2→AB 的方向是 ，=-→
AB 2 .
a
b
A B
D C
M。