1.2.2空间距离问题
人教A版必修五 1.2.2 空间距离问题ppt课件
栏 目 链 接
解析：如上图所示，在△ABC 中，∠CAB＝15° ， ∠ACB＝30° －15° ＝15° ，∴BC＝AB＝5 km， 在 Rt△BCD 中， CD＝BC×tan ∠DBC≈BC×tan 8° ≈0.702 5 km≈703 m. 栏 答：山的高度约为 703 m. 目 点评： 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角 链 接 形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度问题 时，常出现仰角和俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．测 量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角 形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．
栏 目 链 接
跟踪 训练
解析： 在△ABC 中， ∠BCA＝90° ＋45° ＝135° ， ∠ABC＝90° －60° ＝30° ，∠BAC＝60° －45° ＝15° ， ∠BAD＝60° . BC AB 根据正弦定理： ＝ ， sin ∠BAC sin ∠BCA BCsin ∠BCA 所以 AB＝ ＝30( 3＋1)， sin ∠BAC 在 Rt△ABD 中，得 BD＝ABsin ∠BAD＝15(3＋ 3)米， CD＝BD－BC＝15(1＋ 3)米． 答：山的高度约为 15(1＋ 3)米．
第一章
解三角形
1.2 应用举例 1.2.2 空间距离问题
栏 目 链 接
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题. 2.学会将应用问题转化为解三角形问题.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基础 梳理
BAC 的大小． 1.(1)A点望B、C的视角是指∠ ______
栏 目 链 接
点评：解决这类设计测量方案问题时，应先进行发散思维 ——联想数学模型，寻求解决问题的各种方案，然后进行收敛思 维——比较各种方案的优劣，考虑计算量的大小，是否具备可操 栏 作性以及实施测量的工作量的大小等等．
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系1-2空间两点间的距离公式北师大版选择性必修第一册
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点 空间两点间的距离
1．已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P、Q两点间的
x2 − x1 2 + y2 − y1 2 + z2 − z1 2
距离为|PQ|＝_____________________________．
答案： 3
解析：|AB|＝ t 2 + t − 2 2 + 1＝ 2 t − 1
∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.
2
+ 3，
5．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)
的距离最小．
解析：由已知，可设M(x，1－x，0)，
则|MN|＝ x − 6 2 + 1 − x − 5 2 + 0 − 1 2 ＝ 2 x − 1
x1 − x2 2 + y1 − y2 2 ；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是
x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．( × )
(2)空间两点间的距离公式不适合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一平面内的两点．( × )
(3) 将 空 间 两 点 间 距 离 公 式 中 两 点 的 坐 标 对 应 互 换 ， 结 果 会 改
解析：设点P(0，0，z).则由|PA|＝|PB|，
得 0 − 4 2 + 0 − 5 2 + z − 6 2＝ 0 + 5
解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6).
到两条异面直线距离相等的点的轨迹
到两条异面直线距离相等的点的轨迹1.引言1.1 概述概述部分的内容可以描述文章的主题和背景，向读者介绍本文将要讨论的问题。
下面是编写文章1.1概述部分的一个例子：概述：在几何学中，异面直线是指在三维空间中不在同一平面上的两条直线。
距离相等的点是指与两条异面直线距离相等的点。
本文将探讨到两条异面直线距离相等的点所形成的轨迹。
这个问题在几何学中具有重要的意义和实际应用价值，尤其在计算机图形学、机器人导航和三维建模等领域。
通过研究这一问题，我们可以深入了解异面直线的性质和距离相等的点的特点，为解决相关的空间几何问题提供了理论基础。
本文将分为三个部分进行讨论。
首先，在正文的第二部分，我们将介绍异面直线的定义和性质，以及距离相等的点的定义和性质。
这将为我们进一步研究异面直线距离相等的点的轨迹奠定基础。
接着，在正文的第三部分中，我们将详细地探讨异面直线距离相等的点的轨迹，并给出具体的数学表达式和图示。
最后，在结论部分，我们将总结本文的研究结果，并探讨这一问题的实际应用和意义。
通过本文的阅读，读者将能够了解到到两条异面直线距离相等的点的轨迹的相关概念和性质，深入理解几何学中的空间关系，并且能够在实际问题中应用这些知识解决相关的空间几何问题。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下方面：1.2 文章结构本文将按照以下结构展开探讨异面直线距离相等的点的轨迹：1.2.1 理论基础部分：介绍异面直线和距离相等的点的基本定义、性质和相关定理。
1.2.2 轨迹求解方法部分：探讨如何找到异面直线距离相等的点的轨迹。
将介绍一些经典的轨迹求解方法，如通过解方程组、几何推导等方法。
同时，还将讨论一些特殊情况下的轨迹求解技巧。
1.2.3 数学实例部分：通过具体的数学实例，展示如何利用所学的方法求解异面直线距离相等的点的轨迹。
通过具体的计算过程和图像展示，帮助读者更好地理解轨迹求解过程。
1.2.4 应用和意义部分：探讨异面直线距离相等的点的轨迹在实际应用中的意义和应用价值。
一点到两点的距离和最小值
一点到两点的距离和最小值在数学中，一点到两点的距离和最小值是一个常见的问题。
这个问题经常出现在几何学、优化理论和数据分析中，具有广泛的应用。
首先，让我们来看看一点到两点的距离是什么。
在二维空间中，我们可以用勾股定理来计算两点之间的距离。
设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
同样地，在三维空间中，点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
根据这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离。
那么，一点到两点的距离和最小值是什么意思呢？它表示的是，在给定的一组点中，选择一个点，使得这个点到其余两个点的距离之和最小。
这个问题可以用于解决很多实际问题，比如在城市规划中选择最佳的交通枢纽位置，或者在物流中选择最佳的仓库位置等。
接下来，我们将介绍一些具体的应用例子，以帮助读者更好地理解一点到两点的距离和最小值的概念。
首先，我们考虑一个城市规划的问题。
在一个城市中，有多个居民区和商业区，我们需要选择一个位置建设一个公园，以方便居民休闲和娱乐。
我们可以将居民区和商业区视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的公园位置。
具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为公园的位置。
这样，我们就能够选择一个最佳的位置，以满足尽量多的居民和商业区的需求。
其次，我们考虑一个物流优化的问题。
在一个物流系统中，有多个仓库和多个客户，我们需要选择一个仓库位置，以最小化物流成本。
同样地，我们可以将仓库和客户视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的仓库位置。
具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为仓库的位置。
通过这种方法，我们就能够降低物流成本，提高物流效率。
空间向量距离公式推导过程
空间向量距离公式推导过程1. 什么是空间向量？嘿，大家好！今天咱们聊聊空间向量，听起来挺高大上的，其实它就在我们身边。
想象一下，你和朋友在一个大广场上，你们各自的位置就可以用向量来表示。
简单来说，空间向量就是从一个点到另一个点的“箭头”，箭头的方向和长度代表了这两个点之间的关系。
比如，你在广场的某个角落，而你的朋友在另一边，咱们就可以用一个向量把你们连起来。
1.1 向量的表示说到向量，咱们得先明白它的表示方法。
通常，空间向量用坐标来表示，比如在三维空间中，一个向量可以写成 (mathbf{A = (x_1, y_1, z_1))，而另一个向量 (mathbf{B = (x_2, y_2, z_2))。
这里的 (x)、(y)、(z) 就是向量在三个维度上的位置。
看似简单，但这可是理解距离公式的基础哦！1.2 向量的运算接下来，咱们还得知道向量之间的运算。
最常见的就是加法和减法。
比如，你的向量和朋友的向量相加，就相当于在地图上找到你们之间的“合并点”。
而减法则是找到你和朋友之间的“距离”。
这时候，就要用到距离公式了！2. 空间向量的距离公式话说，距离公式是什么呢？就是用来计算两个点之间的距离的。
公式长得不复杂，就是：d = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 z_1)^2。
这儿的 (d) 就是你和朋友之间的距离，简直就像在做数学魔法一样！2.1 距离公式的推导那么，这个公式是怎么来的呢？先别急，咱们慢慢来。
假设你和朋友的坐标分别是((x_1, y_1, z_1)) 和 ((x_2, y_2, z_2))。
首先，我们要找到两个点之间的“直线距离”。
想象一下，你们俩都在广场的四角，咱们就可以画出一条直线，看看这条直线有多长。
接下来，咱们得利用勾股定理。
你还记得吗？勾股定理是说：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
用在这里的话，咱们可以把空间中的直线距离拆分成三个方向的直角三角形的边。
学案1：1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量【新知初探】1．空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点O ，那么空间中任意一点P 的位置，都可以由向量 唯一确定，此时，OP →通常称为点P 的 ．提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定． 2．空间中的直线与空间向量一般地，如果l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示v 的有向线段所在的直线与l ，则称v 为直线l 的一个 ．此时，也称向量v 与直线l ，记作 ．(1)如果A 、B 是直线l 上两个不同的点，则v ＝AB →，即为直线l 的一个 ． 思考1：直线l 的方向向量唯一吗？直线l 的方向向量之间有怎样的关系？思考2：空间中的直线l 的位置由v 能确定吗？(2)如果v 1是直线l 1的一个方向向量，v 2是直线l 2的一个方向向量，则v 1∥v 2⇔ ．3．空间中两条直线所成的角(1)设v 1、v 2分别是空间中直线l 1，l 2的方向向量，且l 1与l 2所成角的大小为θ，则θ＝ 或θ＝ ，所以sin θ＝ ，cos θ＝ ． (2)〈v 1，v 2〉＝π2⇔ ⇔v 1·v 2＝ ．4．异面直线与空间向量设v 1，v 2分别是空间中直线l 1与l 2的方向向量． (1)若l 1与l 2异面，则v 1与v 2的关系为v 1与v 2不平行．(2)若v 1与v 2不平行，则l 1与l 2的位置关系为 ． 提醒：“v 1与v 2不平行”是“l 1与l 2异面”的必要不充分条件．(3)若A ∈l 1，B ∈l 2，则l 1与l 2异面时，v 1，v 2，AB → ．若v 1，v 2，AB →不共面，则l 1与l 2异面．提醒：“v 1，v 2，AB →不共面”是“l 1与l 2异面”的充要条件．(4)公垂线段：一般地，如果l 1与l 2是空间中两条异面直线，M ∈l 1，N ∈l 2， ． 则称MN 为l 1与l 2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的 ．提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．【初试身手】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是唯一的．( )(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( )(3)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )2．设A (2,2,3)，B (4,0,1)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,5) B ．(3，－2，－2) C ．(1，－1，－1)D ．(－1,1，－1)3．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．－25B ．25C ．－255D ．2554．直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1＝(3,0,2)，v 2＝(1,0，m )，若l 1∥l 2，则m 等于________．【合作探究】类型一空间中点的位置确定【例1】 已知O 是坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3，4,0)，B (2,5,5)，C (0,3,5)． (1)若OP →＝12(AB →－AC →)，求P 点的坐标；(2)若P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，求P 点的坐标．[规律方法]此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可. [跟进训练]1．已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正方向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1． 求点P 和点Q 的坐标．类型二 利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)【例2】 (1)若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－11D ．3或－11(2)如图，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．①求向量CD →的坐标；②求AD →与BC →的夹角的余弦值．[规律方法]利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．提醒：两异面直线夹角范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键．[跟进训练]2．侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1＝2，点O，M分别是BC，A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出三棱柱各顶点及点M的坐标；(2)求异面直线CM与BA1夹角的余弦值．类型三利用空间向量处理平行问题[探究问题]1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？2．两条平行直线的方向向量有什么关系？【例3】(1)已知向量a＝(2,4,10)，b＝(3，x,15)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________．(2)如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE．[母题探究]1．(变问法)本例3(2)中G，H分别为AD，B1C1的中点，求证：EGFH为平行四边形．2．(变问法)本例3(2)条件不变，改为求平面ADE∥平面B1C1F．[规律方法]1．证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．2．用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．3．利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．【课堂小结】1．空间中的点与直线可以利用空间坐标与直线的方向向量来研究，更进一步研究空间几何中的平行、垂直关系．2．在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题．3．利用空间坐标系可以研究异面直线问题，如异面直线所成的角、异面直线的距离等．【学以致用】1．若A(1,0,1)，B(2,3,4)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A．(－1,3,3)B．(1,3,3)C．(3,3,5) D．(2,4,6)2．向量a＝(x,1，－2)，b＝(3，x,4)，a⊥b，则x＝()A．8B．4C．2D．03．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2(－2,0，－1)，则直线l1与l2的位置关系为________．4．已知向量a＝(1,0，－1)，向量b＝(2，0,0)，则〈a，b〉＝________．5．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA ＝CC1，求BM与AN所成角的余弦值．【参考答案】【新知初探】1．空间中的点与空间向量 OP →位置向量2．空间中的直线与空间向量 平行或重合 方向向量平行v ∥l(1)方向向量 思考1：[提示] 直线l 的方向向量不唯一，若v 为直线的方向向量，则λv (λ≠0)也为直线l 的方向向量，直线l 的任意两个方向向量都平行． 思考2：[提示] 空间中直线l 的位置可由v 和直线上的一个点唯一确定． (2) l 1∥l 2或l 1与l 2重合 3．空间中两条直线所成的角 (1)〈v 1，v 2〉 π－〈v 1，v 2〉sin 〈v 1，v 2〉|cos 〈v 1，v 2〉|(2) l 1⊥l 24．异面直线与空间向量 (2)相交或异面 (3)不共面(4)MN ⊥l 1，MN ⊥l 2距离【初试身手】1．[答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] (1)× 与直线l 平行或共线的任何向量都可作为l 的方向向量． (2)√ (3)× k ≠0．2．C [AB →＝(4,0,1)－(2,2,3)＝(2，－2，－2)＝2(1，－1，－1)，故选C ．] 3．B [∵|a |＝5，|b |＝25，a·b ＝(0，－2，－1)·(2,0,4)＝－4， ∴cos 〈a ，b 〉＝－45×25＝－25．∵异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，∴选B ．]4．23[因为l 1∥l 2，所以存在实数λ，使v 1＝λv 2． 即(3,0,2)＝λ(1,0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，λm ＝2.∴m ＝23．]【合作探究】【例1】[解] (1)AB →＝(－1,1,5)，AC →＝(－3，－1,5)，OP →＝12(AB →－AC →)＝12(2,2,0)＝(1,1,0)，∴P 点的坐标为(1,1,0)．(2)由P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，知AP →＝12PB →．设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －3，y －4，z )，PB →＝(2－x,5－y,5－z )， 故(x －3，y －4，z )＝12(2－x,5－y,5－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝12(2－x )，y －4＝12(5－y )，z ＝12(5－z )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝133，z ＝53.因此P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫83，133，53．[跟进训练]1．[解] 由已知，得PB →＝2AP →，即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)，OP →＝23OA →＋13OB →．设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝113，z ＝0＋1＝1．因此，P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫53，113，1． 因为AQ ∶QB ＝2∶1，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)，OQ →＝－OA →＋2OB →， 设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，则上式换用坐标表示，得(x ′，y ′，z ′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x ′＝0，y ′＝2，z ′＝6． 因此，Q 点的坐标是(0,2,6)．综上，P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫53，113，1，Q 点的坐标是(0,2,6)． 类型二利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)【例2】 (1)A [∵a ·b ＝x －8＋10＝x ＋2，|a |＝x 2＋41，|b |＝1＋4＋4＝3． ∴26＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝x ＋23x 2＋41． 则x ＋2＞0，即x ＞－2，则方程整理得x 2＋8x －33＝0， 解得x ＝－11或x ＝3．x ＝－11舍去，∴x ＝3．] (2) [解] ①如图过D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝CD ·sin 30°＝32， OE ＝OB －BD cos 60°＝1－12＝12，∴D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32，又∵C (0,1,0)，∴CD →＝⎝⎛⎭⎫0，－32，32．②依题设有A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，32，BC →＝(0,2,0)，则AD →与BC →的夹角的余弦值：cos 〈AD →，BC →〉＝AD →·BC →|AD →|·|BC →|＝－105．[跟进训练]2．[解] (1)根据图形可求得下列点的坐标：A (3，0,0)，B (0，－1,0)，C (0,1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0，－1,2)，C 1(0,1,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，12，2． (2)CM →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2，BA 1→＝(3，1,2)， ∴CM →·BA 1→＝5，|CM →|＝5，|BA 1→|＝22，∴cos 〈CM →，BA 1→〉＝5210＝104． 类型三利用空间向量处理平行问题 [探究问题]1．[提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．(2)不唯一性：直线l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．(3)给定空间中的任一点A 和非零向量a ，就可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线．2．[提示] 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb ．【例3】(1)6 [∵l 1∥l 2，∴存在实数k 使得b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2k ，x ＝4k ，15＝10k ，解得x ＝6．](2)[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)．所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)，因为DA ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)，即FC 1→＝0×DA →＋1×AE →，所以有FC 1⊂平面ADE 或FC 1∥平面ADE ，又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE ．[母题探究]1．[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系．则E (2,2,1)，G (1,0,0)，F (0,0,1)，H (1,2,2)．所以EG →＝(－1，－2，－1)，FH →＝(1,2,1)．所以FH →＝－EG →，所以FH →∥EG →．显然EG 与FH 不重合，故EG ∥FH ．又|EG →|＝(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＝6，|FH →|＝12＋22＋12＝6，∴EG ＝FH ，∴四边形EGFH 为平行四边形．2．[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，D (0，0,0)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，得DE →＝(2,2,1)，FB 1→＝(2,2,1)，DA →＝(2,0,0)，B 1C 1→＝(－2,0,0)，所以DE →＝FB 1→，DA →＝－B 1C 1→，又相互不共面，所以DE ∥FB 1，DA ∥B 1C 1，又DA ∩DE ＝D ，FB 1∩B 1C 1＝B 1，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F ．【学以致用】1．B [AB →＝(2,3,4)－(1,0,1)＝(1,3,3)．]2．C [∵向量a ＝(x,1，－2)，b ＝(3，x,4)，a ⊥b ，∴a ·b ＝3x ＋x －8＝0，解得x ＝2．故选C ．]3．垂直 [∵v 1·v 2＝－1×(－2)＋1×0＋2×(－1)＝0，∴v 1⊥v 2．]4．45° [∵a ·b ＝2×1＋0×0＋(－1)×0＝2，|a |＝2，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝22．又0≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°．] 5．[解] 以C 1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A (2,0,2)，N (1,0,0)，M (1,1,0)，B (0，2,2)，∴AN →＝(－1,0，－2)，BM →＝(1，－1，－2)，|AN →|＝(－1)2＋02＋(－2)2＝5，|BM →|＝12＋(－1)2＋(－2)2＝6，∴cos 〈AN →，BM →〉＝AN →·BM →|AN →|·|BM →|＝－1＋45×6＝330＝3010．。
人教版七年级数学上册：1.2.2《数轴》说课稿1
人教版七年级数学上册：1.2.2《数轴》说课稿1一. 教材分析《数轴》是人民教育出版社出版的初中数学七年级上册第一章第二节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了有理数的概念和运算法则的基础上进行学习的，是初中数学中的重要概念之一。
数轴是实数的一种几何表示，它将实数与数轴上的点一一对应，既直观又便于理解。
数轴不仅可以表示正数和负数，还可以表示零和正负数之间的各种关系，如大小、距离等。
它不仅在数学学习中有着广泛的应用，而且在日常生活和其它学科中也有重要的作用。
二. 学情分析在进入七年级的学生中，大部分已经具备了一定的数学基础，对有理数的概念和运算法则有了初步的认识。
然而，由于年龄和认知水平的限制，部分学生可能对数轴的概念和应用还不够理解，尤其是数轴上的点与实数之间的对应关系，以及数轴在解决问题中的应用。
因此，在教学过程中，需要针对这部分学生的实际情况进行有针对性的讲解和引导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生能够理解数轴的概念，掌握数轴的基本性质，能够正确地在数轴上表示各种实数。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受数学与生活的密切联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：数轴的概念及其基本性质，数轴上点的表示方法。
2.教学难点：数轴在实际问题中的应用，对数轴上点与实数之间关系的深入理解。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、提问法、讨论法、操作法等多种教学方法，通过多媒体课件、数轴模型等教学手段，帮助学生直观地理解数轴的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的概念和运算法则，引出数轴的概念，让学生思考数轴与有理数之间的关系。
2.讲解数轴：讲解数轴的定义、性质和表示方法，通过示例让学生在数轴上表示不同的实数。
人与人之间距离的四种类型
人与人之间距离的四种类型人与人之间距离的四种类型人与人之间的距离是一种非常微妙的关系，它不仅仅是指身体上的距离，还包括情感、心理以及社会等方面。
在日常生活中，我们会遇到各种与不同人建立不同距离的情况。
本文将介绍人与人之间距离的四种类型。
第一种：公共空间距离公共空间距离是指在公共场合下，人们之间相互保持的一定距离。
这种距离通常是比较远的，大约在2米以上。
这种距离下，人们可以自由地进行活动和交流，但彼此并不会产生过多的接触和干扰。
公共空间距离适用于在陌生人或者熟悉程度较低的人之间建立关系。
例如，在地铁、公交车等公共场合下，陌生人之间通常会保持一定的公共空间距离。
这样可以避免不必要的接触和干扰。
第二种：个体空间距离个体空间距离是指在个体之间建立起来的一定物理和心理上的空隙。
这种距离通常是在1.2米到2米之间。
这种距离下，人们可以进行比较正式的交流和互动，但是彼此之间会产生一定的心理压力和紧张感。
个体空间距离适用于熟悉程度较高的人之间建立关系。
例如，在工作场合下，同事之间通常会保持一定的个体空间距离。
这样可以保持一定的尊重和礼貌，同时也避免了互相干扰和影响。
第三种：社交空间距离社交空间距离是指在社交场合下，人们之间建立起来的一定物理和心理上的距离。
这种距离通常是在0.3米到1.2米之间。
这种距离下，人们可以进行比较轻松、自然的交流和互动，但是彼此之间还是会产生一定的心理压力和紧张感。
社交空间距离适用于朋友、亲戚等亲密程度较高的人之间建立关系。
例如，在聚会、宴会等社交场合下，人们通常会保持一定的社交空间距离。
这样可以保持比较自然、轻松的氛围，同时也避免了互相干扰和影响。
第四种：亲密空间距离亲密空间距离是指在非常亲密的关系下，人们之间建立起来的一定物理和心理上的距离。
这种距离通常是在0.3米以内。
这种距离下，人们可以进行非常自然、放松的交流和互动，但是彼此之间还是会产生一定的心理压力和紧张感。
亲密空间距离适用于非常亲密的关系下，例如恋人、夫妻等之间建立关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
用正弦定理求平面中高度问题
如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A
为建筑物的最高点，为测量该建筑物高度AB，选择一 条水平基线H G，使H、G、B三点在同一条直线上．由 在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是45°、60°， CD＝20米，测角仪器的高是1.5米，计算出该建筑物高 度AB.
返回
金品质•高追求
我们让你更放心！
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
跟踪训练 1．如下图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点 A的俯角60°，在塔底C处测得A处的俯角45°.已知铁塔 BC部分的高为30 m，求山高CD.
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解析：在△ABC 中，∠BCA＝90＋45° ＝135° ， ∠ABC＝90° －60° ＝30° ，∠BAC＝60° －45° ＝15° ，∠BAD＝60° . BC AB 根据正弦定理： ＝ ， sin ∠BAC sin ∠BCA BCsin ∠BCA 所以 AB＝ ＝30( 3＋1)， sin ∠BAC 在 Rt△ABD 中，得 BD＝ABsin ∠BAD＝15(3＋ 3)米， CD＝BD－BC＝15(1＋ 3)米． 答：山的高度约为 15(1＋ 3)米．
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
用正弦定理求空间中高度问题
如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上 向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山脚C在东偏 南15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山脚在东 偏南30°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.(精确 到1 m，参考数据：tan 8°≈0.1405)
3 －1)米
C.4000米
D．4000
2米
解析：如下图所示，CD为AB边上的高，
BD即为飞机与目标C的水平距离． 由外角定理，∠ACB＝75°－30°＝45°.
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
10000 BC 在△ABC 中由正弦定理， ＝ ， sin 45° sin 30° ∴BC＝5000 2. 又在 Rt△ACD 中，BD＝BC· cos 75° 1 ＝5000 2·( 6－ 2)＝2500( 3－1)． 4 1 (注：cos 75° ＝ ( 6－ 2))，故选 B. 4 答案：B
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
跟踪训练 3．如右图，A、B、C、D都在 同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船 于水面A处测得B点和D点的仰角分别 为75°、30°，于水面C处测得B点和 D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试 探究图中B、D间距离与另外哪两点距 离相等，然后求B、D的距离(计算结 果精确到0.01 km， 2 ≈1.414， 6 ≈2.449)
解析：在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β. BC CD 由正弦定理，得 ＝ . sin ∠BDC sin ∠CBD CDsin ∠BDC s· sin β 所以 BC＝ ＝ . sin ∠CBD sin α＋β s· tan θsin β 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sin α＋β
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
跟踪训练 2.如下图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α， ∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高 AB.
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解三角形
1.2.2
空间距离问题
金品质•高追求
我们让你更放心 ！
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2．学会将应用问题转化为解三角形问题．
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
1.利用正弦定理和余弦定理来解空间距离问题时， 要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资 料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化． 2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
如下图所示，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山 顶前进了100米后到达B点，又从B点测得建筑物顶端C对 于山坡的斜度为45°，已知建筑物的高为50 m，求此山坡 相对于水平面的倾斜角大小．(精确到1°)
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解析：在△ACD 中，根据正弦定理可得： DCsin ∠ADC 20sin 45° AC＝ ＝ sin ∠DAC sin 60° －45° ＝20( 3＋1)， AB＝AE＋h＝ACsin ∠ACE＋BE 63＋20 3 3 ＝ ×20( 3＋1)＋1.5＝ 米． 2 2 63＋20 3 答：该建筑物高度 AB＝ 米． 2
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解析：在△ACD 中，∠DAC＝30° ， ∠ADC＝60° －∠DAC ＝30° ， 所以 CD＝AC＝0.1， 又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA， AB AC 在△ABC 中， ＝ ， sin ∠BCA sin ∠ABC ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝ ＝ ， sin 15° 20 3 2＋ 6 因此，BD＝ ≈0.33 km， 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
基础梳理 1.（1）A点望B、C的视角是指______的大小．
（2）在△ABC中，A＝105°，B＝30°，则C点望A、 B的视角为______．
2．（1）坡度是指斜坡所在平面与________的夹角．
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解析：在△ABC 中，∠BAC＝15° ， ∠CBA＝180° －45° ＝135° ，∴∠ACB＝30° . 又 AB＝100 m，在△ABC 中， 100 BC 由正弦定理，得 ＝ ， sin 30° sin 15° 100sin 15° ∴BC＝ ， sin 30° 在△BCD 中，∠CBD＝45° ，∠CDB＝90° ＋θ，CD＝50 m， 50 BC 由正弦定理： ＝ ， sin 45° sin90° ＋θ 100sin 15° sin 30° 50 即： ＝ ， sin 45° sin90° ＋θ 解得 cos θ＝ 3－1， ∴θ＝43° ， ∴山对于地平面的倾斜角约为 43° .
B点仰角为______ 15°．
2．三角形ABC中，角C为直角，边AB用边AC和角A表
AC 示为__________ cos ∠A ．
3．飞机正向东偏北45°飞行，若向右水平转105°， 60° ． 此时飞行方向是东偏南_
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解析：如下图所示，斜坡AB的倾斜角为20°， 改后的斜坡DB的倾斜角为10°. 由外角定理，∠ABD＝20°－10°＝10°. ∴AB＝AD.故坡底要延长的长度AD＝AB＝1公里． 答案：A
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
2.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面 固定目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处， 此时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机 与地面目标的水平距离为( ) A．2500( 3 ＋1)米 B．2500(
（2）沿坡度为30°的斜坡直线向上行走100米，实际 升高了______米．
3．东北方向是指东偏北______的方向． 答案：1．∠BAC 练习1：45° 2．水平面 练习2：50
3．45°
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
自测自评 1．山上B点望山下A点俯角为15°，则山下A点望山上
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
解析：如上图所示，在△ABC中，∠CAB＝15°，
∠ACB＝30°－15°＝15°，∴BC＝AB＝5 km，
在Rt△BCD中， CD＝BC×tan ∠DBC≈BC×tan 8°≈0.7025 km ≈703(m)． 答：山的高度约为703米．
两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距
离，再利用解三角形的方法进行计算．
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
祝
您
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修5•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！