单调性(讲课课件)2008年河南省高中数学优质课课件及教案9

3 2
-3 -2 -1 -5 -4 -1 -2 y 1
O
y f ( x)
1
2 3 4 5
x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数. 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
而 f(－1) < f(1)
-1
1
x
1 ∴不能说 y 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x
因为 x1、x2 不具有任意性.
y
定义
y=f(x) f(x1) x2 x o x1 f(x2)
一般地，设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1
f(x2)
课堂小结
1. 增函数、减函数的定义；
2.图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号
下结论
布置作业 作业:课本39页A组第1、2、3题
例2.利用定义： 证明函数 f ( x) 2 x 3 在R上是减函数.
证明：设 x 1 , x 2 是R上任意两个值，且 x 1 x 2， 则 f ( x1 ) f ( x 2 ) ( 2 x1 3) ( 2 x 2 3)
2 ( x1 x 2 )
设值 判断差符号
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
结
课堂练习
k 证明函数 f ( x ) (k为负的常数) x
在区间（0,+∞）上是增函数.
结
证明函数 y
思考题：
如何确定函数
4 f (x) x , x
x [1,5 ] 的单调区间？
感谢各位评委、 老师和同学们!
分析和函数 f ( x ) x 4 ( x 0 ) 的图象
y
8
4 y x x
x
yx
6 4 2
O
猜测：
单调递减区间： [1，2]
[2，5] 单调递增区间：
4 y x
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100 80 60
40
20 O
2
3
4
5
6
天数
学习新课
观察下列函数的图象，回答当自变量 x 的值增大时,函数值 f ( x ) 是如何变化的？
(1) f ( x ) x 1
(2) f ( x) x
2
y
y
4
o
1
x
-2 -1
1
0
1 2
x
(1) f ( x ) x 1
y
y=f(x)
f(x1) f(x )2 x2 x o x1
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x) 的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
(2) f ( x) x
2
y
4
y
o
x
-2 -1
1
O
x
1 2
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小 当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数 函数在(0,+∞)上是增函数
函数
2: f(x)=x
y
f (x2)
f (x1)
y 函数 y
1 x
：
f ( x1 )
f ( x2 )
O
1 f (x) x
减 在(-∞,0)上是____函数
减 在(0,+∞)上是____函数
x1 x 2
x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
y
取自变量－1< 1，
-1
1
O
1 f (x) x
1 2 3 4
5 6 7
8
x
确定函数 f ( x ) x
4 , x
x [1，] 的单调区间. 5
证明： 1 x1 x 2 5 , 则 设
4 4 f ( x1 ) f ( x 2 ) ( x1 ) ( x 2 ) x1 x2
减：[1,2] 增：[2,5]
x1 x 2 0 4 ( x 2 x1 ) ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 4 ) ( x1 x 2 ) , 显然 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 0
枚
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
中国在近七届奥运 会上获得的金牌数
32
28
15
51
情 景 引 入
16 16
5
23 24 25 26
27 28 29
届
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 … 记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

k x
( k 0 ) 在区间(0,+∞)上是增函数
证:设 x 1 , x 2 是(0,+∞)上任意两个值且 x1 x 2 , x 2 x1 k k f ( x1 ) f ( x 2 ) k 设值 x1 x 2 x1 x 2 ∵ 0 x1 x 2 , 且 k 0 作差变形 ∴ x 2 x1 0 , x 1 x 2 0 判断差符号 ∴ f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 , 即 f ( x1 ) f ( x 2 ). 下结论
f ( x1 ) f ( x 2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x 2 ),
f (x) x 4 ,x [1,5 ]的 减 区 间 为 [1,2 ], 增 区 间 为 [ 2 , 5 ] . x
作差变形
∵ x1 x 2 , ∴ x 1 x 2 0 ,
2 ( x 1 x 2 ) 0 , ∴ f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 ,
即 f ( x 1 ) f ( x 2 ). ∴函数 f ( x) 2 x 3在R上是减函数．
下结论
骤
证明函数单调性的步骤：
(1) 若 1 x1 x 2 2 , 则 1 x1 x 2 4 , x1 x 2 - 4 0
f ( x1 ) f ( x 2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x 2 ),
( 2 ) 若 2 x 1 x 2 5 , 则 4 x 1 x 2 2 5 , x1 x 2 - 4 0
k ∴ f ( x ) 在区间(0,+∞)上是增函数． x
课堂小结
1.增函数、减函数的定义:
定义
y
y=f(x)
一般地，设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
x
0
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22
x1 x2
任意 x 1 x 2 ,都有 x 1 x 2
2
2
任意 x 1 x 2 ,都有 f ( x1 ) f ( x 2 )
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
定义
y
y=f(x)
一般地，设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 某个区间D 任意 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 某个区间D 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 任意 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数. x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1
f(x2)
反比例函数 y
1 x
：
-2 -1
y
1
O
减 在(-∞,0)上是____函数 减 在(0,+∞)上是____函数 问:能否说 y