静电场中的导体

6．假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的导体球带 ．假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为 的导体球带 电． (1) 当球上已带有电荷 时，再将一个电荷元 从无限远处移到 当球上已带有电荷q时 再将一个电荷元dq从无限远处移到 球上的过程中，外力作多少功？ 球上的过程中，外力作多少功？ (2) 使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作多少功？ 使球上电荷从零开始增加到 的过程中，外力共作多少功？ 的过程中 解 (1)将电荷元从无限远移到带电为 的球体上，需对电荷元做功： 将电荷元从无限远移到带电为q的球体上 需对电荷元做功： 将电荷元从无限远移到带电为 的球体上，
2
2
σ2 σ1
得到
σ1 r = σ2 R
5．半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳，分别 ．半径分别为 的两个同心导体薄球壳， 的两个同心导体薄球壳 带有电荷Q 今将内球壳用细导线与远处半径为r的导体 带有电荷 1和Q2，今将内球壳用细导线与远处半径为 的导体 球相联，如图所示，导体球原来不带电， 球相联，如图所示，导体球原来不带电，试求相联后导体球所 带电荷q． 带电荷 ． 解：设导体球带电q，取无穷远处为 设导体球带电 ， 电势零点，则导体球电势： 电势零点，则导体球电势： 0 = q U
+
(3)略（A） 略 ）
(4)略(D) 略
5．一长直导线横截面半径为a，导线外同轴地套一半径为 的薄 ．一长直导线横截面半径为 ，导线外同轴地套一半径为b的薄 圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示．设导线单 圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示． 位长度的电荷为+λ，并设地的电势为零，则两导体之间的P 位长度的电荷为 ，并设地的电势为零，则两导体之间的 的场强大小和电势分别为： 点( OP = r )的场强大小和电势分别为： 的场强大小和电势分别为 (A) E = λ ， U = λ ln b ． (B) (C) (D)
静电场中的导体 一．选择题 1．有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电．若 ．有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电． 在它的下方放置一电量为q的点电荷 的点电荷， 在它的下方放置一电量为 的点电荷，则 （A）只有当 ）只有当q>0时，金属球才下移． 时 金属球才下移． （B）只有当q<0时，金属球才下移． ）只有当 时 金属球才下移． 是正是负金属球都下移． （C）无论 是正是负金属球都下移． ）无论q是正是负金属球都下移 q 是正是负金属球都不动． （D）无论 是正是负金属球都不动． ）无论q是正是负金属球都不动
E=
λ 4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
λ 2πε 0 r
λ 2πε 0 r
2πε 0
a
，U
=
λ b ln 2πε 0 r
2πε 0 r
a
b
．
O r P
E=
E=
， U = λ ln a ． ， U = λ ln b
2πε 0 r
．
图1-5
二．填空题 1．在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a．已知立方导体 ．在静电场中有一立方形均匀导体，边长为 ． 中心O处的电势为 则立方体顶点A的电势为 中心 处的电势为U0，则立方体顶点 的电势为 U0 ． 处的电势为 等势体
2
b d
2
1、2两点间电势差 、 两点间电势差
U1 − U 2 = ∫ Ex d x
b+d / 2 σ σ = ∫ − dx+ ∫ dx 2ε 0 2ε 0 −( a + d / 2) d /2
图 3-2
σ
1 a d O x b 2
1 −d / 2
σ = (b − a ) 2ε 0
3．两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都与地连接，如 ．两块“无限大”平行导体板，相距为 ，都与地连接， 图所示. 在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘 ，离子数 图所示 在板间均匀充满着正离子气体 与导体板绝缘)， 与导体板绝缘 密度为n，每个离子的电荷为q．如果忽略气体中的极化现象， 密度为 ，每个离子的电荷为 ．如果忽略气体中的极化现象， 可以认为电场分布相对中心平面OO'是对称的．试求两板间的 是对称的． 可以认为电场分布相对中心平面 是对称的 场强分布和电势分布． 场强分布和电势分布． 轴垂直导体板， 解：选x轴垂直导体板，原点在中心 轴垂直导体板 平面上，作一底面为S、长为2x的柱 平面上，作一底面为 、长为 的柱 O 2d O' 形高斯面，其轴线与x轴平行 轴平行， 形高斯面，其轴线与 轴平行，上下 底面与导体板平行且与中心平面对 称．由电荷分布知电场分布与中心面 x 对称．设底面处场强大小为E． 对称．设底面处场强大小为 ．应用 E 高斯定理： 高斯定理：2SE = q / ε = 2nqSx / ε
图1-1
2．一带正电荷的物体M，靠近一不带电的金属导体 ，N的左端 ．一带正电荷的物体 ，靠近一不带电的金属导体N， 的左端 感应出负电荷，右端感应出正电荷．若将N的左端接地 的左端接地， 感应出负电荷，右端感应出正电荷．若将 的左端接地，如图所 示，则 N M 上的负电荷入地． （A）N上的负电荷入地． ） 上的负电荷入地 + + + 上的正电荷入地． （B）N上的正电荷入地． ） 上的正电荷入地 上的电荷不动． （C）N上的电荷不动． ） 上的电荷不动 上的所有电荷都入地． （D）N上的所有电荷都入地． ） 上的所有电荷都入地
a
q
r O
Q
b
Байду номын сангаас图3-1
2．厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上 ．厚度为 的 无限大” 电荷之和为σ．试求图示离左板面距离为a的一点与离右板 电荷之和为 ．试求图示离左板面距离为 的一点与离右板 面距离为b的一点之间的电势差 的一点之间的电势差． 面距离为 的一点之间的电势差． 选坐标如图．由高斯定理，平板内、 解：选坐标如图．由高斯定理，平板内、外 a 的场强分布为： 的场强分布为： 1 E=0 (板内 板内) 板内 (板外 板外) E x = ±σ /(2ε 0 )板外
ur E0
σ
A
图2-1
2．如图所示，将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导体附 ．如图所示， ， 近，则导体内的电场强度不变 则导体内的电场强度不变______________，导体的电势 不变 ______________减小． 减小． 减小 (填增大、不变、减小 填增大、 填增大 不变、减小)
？
∑
0
0
得
E = nqx / ε 0 方向如图所示
d d
S S
2d 2x E
O
由于导体板接地，电势为零，所以 处的电势为 由于导体板接地，电势为零，所以x处的电势为
U = ∫ E d x = (nq / ε 0 )( ∫ x d x) = ( nq / 2ε 0 )( d 2 − x 2 )
x x
4．半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远．用细导线连接两 ．半径分别为 和 的两个导体球 相距甚远． 的两个导体球， 球并使它带电，电荷面密度分别为σ 球并使它带电，电荷面密度分别为 1和σ2．忽略两个导体球的静 电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响． 电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响． 试证明： 试证明： σ 1 r
-
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图2-2
3．三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2比板面积线度 ．三块互相平行的导体板，相互之间的距离 小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电， 小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面上电 荷面密度分别为σ 如图所示．则比值σ 荷面密度分别为 1和σ2，如图所示．则比值 1/σ2为d2/d1. 4．一空气平行板电容器，两极板间距为d，充 ．一空气平行板电容器，两极板间距为 ， 电后板间电压为U．然后将电源断开， 电后板间电压为 ．然后将电源断开，在两板 间平行地插入一厚度为d/3的金属板，则板间电 间平行地插入一厚度为 的金属板， 的金属板 压变成U' 压变成 =____2U/3 ____________． ． σ1 σ2
σ2
= R
证：因两球相距甚远，不考虑两球的静电相互 因两球相距甚远， 作用及细导线上电荷的影响，两球上电荷分布是球对称的． 作用及细导线上电荷的影响，两球上电荷分布是球对称的．又 因用细导线连接．两者电势相等． 因用细导线连接．两者电势相等．即
4πr σ 2 4πR σ 1 = 4πε 0 r 4πε 0 R
d1 d2
5．如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q，外球壳带 ．如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷 ， 电荷-2q．静电平衡时，外球壳的电荷分布为： 电荷 ．静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表面 ___________ ；外表面 -q 外表面___________． ． -q − 2q
+q
图2-5
三．计算题 1.如图所示，一内半径为a、外半径为 的金属球壳，带有电 如图所示，一内半径为 、外半径为b的金属球壳 的金属球壳， 如图所示 处有一点电荷q． 荷Q，在球壳空腔内距离球心 处有一点电荷 ．设无限远处为 ，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷 电势零点，试求： 电势零点，试求： (1)球壳内外表面上的电荷． 球壳内外表面上的电荷． 球壳内外表面上的电荷 (2) 球心 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． 球心O点处 由球壳内表面上电荷产生的电势． 点处， (3) 球心O点处的总电势．(略) 球心 点处的总电势． 点处的总电势
4πε 0 r
R2