第24讲 相似三角形
合集下载
数学相似三角形课件
求解过程
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
相似三角形的性质ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第24讲 相似三角形课件 新人教版
方法总结 判定两个三角形相似的方法有多种， 要结合题目给 出的条件和图形中隐含的条件，确定合适的方法 .常用 的方法有： 1两个角对应相等；2平行线法 .
1．如图所示，在△ ABC 中，∠ AED＝∠ B，则下 列等式成立的是 ( C )
DE AD A. ＝ BC DB DE AE C. ＝ BC AB
AD 解析： ∵∠ DAC＝ ∠ B， ∴△ CAD∽△ CBA.∴ ＝ AB AC CD AC CD 2 1 ＝ .∵ AB＝ 4， AD＝ 2， ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ BC BC AC BC AC 4 2 ＝ 2AC， AC＝ 2CD， ∴ BC＝ 4CD， ∴ BD＝ 3CD.∵△ ABD 1 的面积为 a， ∴△ ACD 的面积为 a.故选 C. 3
AO 解析： ∵ AO∥ NM， ∴△ BOA∽△ BMN.∴ ＝ NM BO ，解得 NM＝ 3.42(米 )． BM
4 ． 如 图 ， ∠1 ＝ ∠2 ， 添 加 一 个 条 件 使 得 AD △ ADE∽△ ACB, ∠ B ＝ ∠ E( 或 ∠D ＝ ∠ C 或 ＝ AC AE ) AB .
AE AD B. ＝ BC BD AD AE D. ＝ AB AC
解 析 ： ∵∠ AED ＝ ∠ B ， ∠ A ＝ ∠ A ， ∴△ ADE∽△ ACB.且边 AD 与 AC 对应，AE 与 AB 对 AD AE DE 应， DE 与 BC 对应． ∴ ＝ ＝ .故选 C. AC AB BC
2．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列图 中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( B )
2．下列 4× 4 的正方形网格中，小正方形的边长均 为 1，三角形的顶点都在格点上，则与△ ABC 相似的三 角形所在的网格图形是( B )
相似三角形及其应用课件
利用相似三角形转化长度和角度
01
通过相似三角形的性质，将复杂几何问题中的长度和角度转化
为简单问题，便于求解。
构造相似三角形
02
针对一些几何问题，通过构造相似三角形，将问题转化为简单
的计算问题。
相似三角形与勾股定理结合
03
利用相似三角形和勾股定理的结合，求出一些难以直接测量的
距离。
相似三角形在实际问题中的应用案例
相似三角形在建筑设计中的应用
总结词：优化设计
详细描述：在建筑设计中，相似三角形的原理也被广泛运用。设计师可以通过使 用相似三角形来优化设计，例如，通过使用相似三角形来调整建筑物的比例和布 局，以实现更好的视觉效果和功能性。
相似三角形在按比例缩放中的应用
总结词：保持原貌
详细描述：在按比例缩放中，相似三角形的原理同样发挥了重要作用。例如，在制作不同尺寸的图像 或物品时，使用相似三角形的原理可以确保图像或物品的形状和比例不会改变，保持其原貌。这对于 制作不同尺寸的图像或物品非常重要，例如制作不同尺寸的广告牌或海报等。
利用相似三角形的判定定理证明三角形相似
总结词
相似三角形的判定定理有多个，包括 “AA”、“SSS”、“SAS”、“ASA” 、“AAS”等，这些定理可以用来证明两 个三角形相似。
VS
详细描述
在证明两个三角形相似时，可以根据不同 的情境选择合适的判定定理。例如， “AA”定理适用于两个三角形对应角相 等的场合；“SSS”定理适用于三个对应 边相等的场合；“SAS”定理适用于两边 对应成比例且夹角相等的场合；“ASA” 定理适用于两角对应相等且夹边相等的场 合；“AAS”定理适用于两角对应相等且 其中一角的对边对应相等的场合。
用“∽”表示相似三角形。
相似三角形性质ppt课件
应用举例
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。
江苏省2020年中考数学复习课件--第二十四讲 相似图形2
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．2∶1
当堂过关
2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中 线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是 ( C)
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
当堂过关
3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且
课后精练（A组）
1．(2019·赤峰)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点， ∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C )
A．1
B．2 C．3 D．4
课后精练（A组）
2．(2018·自贡)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC 的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D )
两个位似图形的位置可以在位似中心的同侧，也可以在位 似中心的异侧(位似图形是位置特殊的相似图形，具有相似图 形的所有性质)．
2．性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的_距__离____ 之比等于位似
课堂精讲
考点1 相似三角形的性质 例1 (2019·常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则
∴△ACD∽△BCE.∴ABDE＝ABCC＝ 33.
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°.
又 AB＝2AC＝4，AE＝4 3，
∴BE＝ AB2＋AE2＝8.∴AD＝ 33BE＝833.
当堂过关
1.(2019·西藏)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点， 则△ADE与△ABC的面积之比是( A )
AC＝2，AE＝4，求AD的长．
课堂精练
【分析】(1)连接 BE，证明△ACD≌△BCE，得到 AD＝BE； 在 Rt△BAE 中，AB＝4 2，AE＝2，求出 BE，得到答案；(2)连 接 BE，证明△ACD∽△BCE，得到ABDE＝ABCC＝ 33，求出 BE 的 长，得到 AD 的长．
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有(
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
【解析】①∵∠C＝∠C，∠CPD＝∠B，∴△CPF∽△CBP；② ∵∠DPG＝∠A，∠D＝∠D，∴△DPG∽△DAP；③∵∠BPF＝∠D＋∠A， ∠AGP＝∠D＋∠CPD，又∵∠A＝∠CPD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠B＝ ∠A，∴△APG∽△BFP.故选C.
上一页
下一页
宇轩图书
中考典例精析
首页
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三 个内角的度数．
上一页
下一页
宇轩图书
拓展：１、如图，已知△ABC的中线AD，E是 AD上一点且AE：ED=1：2连结CE并延长交 AB于点F，求AF：AB的值。
若AE：ED=1：3呢？ 若AE：ED=1：n呢？ 你有何收获？ （常见辅助线）
C 宇轩图书
O
上一页
A
下一页
x
举
一
反
三
首页
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC ，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于( A．3
1 A. 2
)
B．4
C．6
2 B. 2
D．8
3 C. 2 3 D. 3
2．如图所示，Rt△ABC ∽Rt△DEF，则cosE的值等于(
)
AO BD 相交于点 O，若 AD＝1，BC＝3，则 的值为( CO
)
1 A. 2
1 B. 3
1 C. 4
D.
1 9
AO AD 1 【解析】由 AD∥BC 得△AOD∽△COB，∴CO＝BC ＝ . 3
【答案】B
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
10．(2012中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下 ，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测 量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的 第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一 级台阶高为0.3米，如图所示 ，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为( )
G
考点知识精讲
首页
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
拓展２、如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0） ，点A、B
分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足： 2 OB 3 OA 1 0 （1）求点A，点B的坐标． （2）若P点从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连 结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求s与t的函数 关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A,B,P为顶点的三角 形与△AOB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请 y 说明理由． B
1 【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE＝ BC，BC＝2DE.由 2
AD AE AD AB DE∥BC 得△ADE∽△ABC， ＝ 或 ＝ . AB AC AE AC
【答案】A
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
8．(2010中考变式题)如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一 点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D ，则DE的长为( )
OD DE 1 ∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，∴△ODE∽△OCB，∴ ＝ ＝ ，OC OC BC 2
＝2OD＝2×2＝4.
【答案】4
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
14．(2011·重庆)如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、
E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为________．
________.
AB AC 9 【解析】分情况讨论，①当△ABC∽△AEF 时， ＝ ，∴ AE AF 3 ＝ 6 AB AC 9 6 ，∴AF＝2；②当△ABC∽△AFE 时， ＝ ，∴ ＝ ， AF AF AE AF 3
上一页
下一页
宇轩图书
中考典例精析
首页
(2011· 南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC， 在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与 △ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． (1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A， CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是 △ABC的自相似点． (2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC的相似点P(写出作法并保留作 图痕迹).
ADF＝90°，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF.∴AD＝AE.在 Rt△ABE 中， AE＝AD＝BC＝5，AB＝4，∴BE＝ AE2－AB2＝ 52－42＝3.∴CE＝BC CF CE CF 2 3 －BE＝5－3＝2.由△ABE∽△ECF 得 ＝ ，即 ＝ ，∴CF＝ . BE BA 3 4 2
3. 面积之比＝
相似比的平方=K2 .
上一页
下一页
宇轩图书
考点知识精讲
考点三 相似三角形的判定(平行线)
首页
1．两边对应 成比例 ，且夹角 相等 的两个三角形相似(SAS) 2．两角对应相等的两个三角形相似．(AA) 3．三边对应 成比例 的两个三角形相似．(SSS)
考点四
相似的几个基本图形
①
②
③
三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(
)
【解析】观察△ACB得∠ACB＝135°，被选项中只有A项图中三角形
含135°角．
【答案】A
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
AD 2．(2012 中考预测题)如图，在△ABC 中，若 DE∥BC，DB＝ 1 ，DE＝4 cm，则 BC 的长为( 2 A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm )
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
)
首页
4. (2012中考预测题)小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为(
8 A. 米 15
4 8 B．1 米 C. 米 D. 米 3 5
0.8 6 【解析】利用相似三角形的判定与性质，易得 h ＝ ， 6＋4 4 ∴h＝ . 3
【答案】C
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
12．(2011·大连)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分 ∠DAE，EF⊥AE，则CF等于( )
2 A. 3 3 C. 2
B．1 D．2
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
【解析】∵AF 平分∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF.又∵∠AEF＝∠
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
AD DE 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ，即 AD＋DB BC
1 4 ＝ ，∴BC＝12 cm. 3 BC
【答案】B
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
)
首页
3．(2010中考变式题)下列命题中，是真命题的为(
A．锐角三角形都相似
B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 【解析】本题考查相似三角形的判定方法． 【答案】D
上一页
下一页
宇轩图书
3．如图，在平行四边形举 一 反 BC 上的点，AE 交 BD 首 页 ABCD 中，E 是 三 于点 BE 2 BF F，如果 ＝ ，那么 ＝_____. BC 3 FD 4．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使得 △ABC∽△ADE.
5．已知△ABC，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，取 AB 的中点 F，连接 FD 交 AE AC 于点 E.(1)求 的值；(2)若 AB＝a，FB＝EC，求 AC 的长． AC
目录
第24讲 相似三角形
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
宇轩图书
考点一
相似三角形的定义
考点知识精讲
相等 ，各边对应
首页
定义：如果两个三角形的各角对应 ，那么这两个三角形相似 考点二 相似三角形的性质
成比例
1．相似三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 . 2．相似三角形的对应边的比＝对应高的比＝周长比＝对应角平 分线的比＝对应中线的比都＝________. 相似比＝K
QF，∴AE＋CE＝CF＋CE，即 AC＝EF＝1.∵∠PDE＝∠QDF，∴Rt△
1 1 1 PDE≌Rt△QDF，∴DE＝DF，∴DE＝ EF＝ ×1＝ . 2 2 2
【答案】B
上一页
下一页
宇轩图书
考
点
训
练
首页
9. (2011·北京)如图， 在梯形 ABCD 中， ∥BC， AD 对角线 AC、
AE AD B. ＝ BC BD
DE AE C. ＝ CB AB
AD AE D. ＝ AB AC
上一页
下一页
宇轩图书
中考典例精析
首页
(3)(2011·重庆)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边 AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的 面积比为________．