人教版九年级下册第27章《相似三角形》导学案
人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》教案
人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的一个深化和拓展。
本节内容主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握相似三角形的性质，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了相似三角形的概念和性质，对相似三角形的知识有一定的了解。
但学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生更好地理解和运用相似三角形的性质。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
2.培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.提高学生的数学兴趣，使学生能够自主学习，提高学习效果。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，从而激发学生的学习兴趣。
通过案例教学，让学生直观地理解和掌握相似三角形的性质。
通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示相似三角形的性质，让学生直观地理解和掌握。
同时，教师结合性质给出相应的例题，让学生进一步理解和运用。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
教师在过程中给予个别学生指导，确保学生能够正确地运用相似三角形的性质解决问题。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享自己的解题心得，互相学习和交流。
九年级数学下册《27.1相似三角形》导学案 新人教版
复习检测(以学生有的复习资料为主，每题可以注明资料的页码，但必须标注选题的原因、考点分析、题型解读、审题思路和解题方法等其中的若干项。学生没有的复习资料或者网络选载的题目需抄原题，需要印发学案或达标给学生统一做的，直接在复习检测部分加附页即可。)
必做题
专题1比例线段
【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．
例1如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
(1)求证 ；(2)计Βιβλιοθήκη CD·CB的值，并指出CB的取值范围．
分析利用△CDE∽△CAB，可证明 ．
复习课题
27.1相似三角形
复习目标（每块知识通过复习需达到的掌握的层次，也是后面复习检测选题的依据。）
本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．
使用修改补充内容
课后反思（记录经验，反思不足，采取的补救措施。）
证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，∴ .
解：(2)∵AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．
又∵ ，
∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．
连接OB，在△OBC中，OB＝ AE＝4，OC=12，
∴8＜BC＜16．
【解题策略】将证 转化为证明△CDE∽△CAB.
人教版九年级数学下册27.2相似三角形的应用导学案
相似三角形的应用导学案【学习目标】1.会灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；2.会根据题目需要找到所需的两个三角形；【学习重点】会灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；【学习难点】培养识图能力，能找到和实际问题有关的两个三角形；【教学过程】（一）【创设情境，引入新课】测量旗杆的高度==米，其影长DE b=米，标杆高FD mBD a分析：∵太阳光线是平行的∴∠____________＝∠____________又∵∠____________＝∠____________＝90°∴△____________∽△____________∴__________________，即AB=__________（二）【探究新知，练习巩固】探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案一：先从B 点出发与AB 成90°角方向走50m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C 处，在C 处转90°，沿CD 方向再走17m 到达D 处，使得A 、O 、D 在同一条直线上．那么A 、B 之间的距离是多少？（三）【合作探究，例题讲解】例1 小刚用下面的方法来测量学校大楼AB 的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21 m ，当他与镜子的距离CE=2.5 m 时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6 m ，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB 是多少m.(注意:根据光的反射定律，反射角等于入射角)（四）【课堂小结】1.用相似三角形的知识解决实际问题时，你有什么收获与困惑?2.把实际问题转化为数学问题时，步骤如何？ （五）【当堂达标，拓展延伸】1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是( ) 。
人教版九年级数学下册 第27章 27.2 相似三角形 第2课时 相似三角形应用举例 导学案
27.2.3相似三角形应用举例第2课时相似三角形应用举例（2）——测量特殊条件下的距离一、导学1.课题导入当你在路上行走时，经常会见到一种现象：远处的高楼越来越矮，而近处的矮楼却越来越高，最后远处的高楼躲在近处的矮楼的背后，你能解释这种现象吗？这节课我们就研究这种现象（板书课题）.2.学习目标(1)利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度问题.(2)体会数学转化的思想，建模的思想.3.学习重、难点重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.难点：数学建模.4.自学指导：（1）自学内容：教材P40~P41例6.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①如图1，用“能”“刚好能”或“不能”填空：当仰角∠AFH＜∠CFK时，人能看到小树AB后面的大树CD；当仰角∠AFH＝∠CFK时，人刚好能看到小树AB后面的大树CD；当仰角∠AFH ＞∠CFK 时，人 不能 看到小树AB 后面的大树CD.②如图，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点F 与两棵树的顶端A,C 恰在一条直线上.此时，∠AFH = ∠CFK ，由题意得，AB ⊥l ，CD ⊥l ，∴∠AHF = ∠CKF ，∴△AFH ∽△CFK. ∴FH AH FK CK =， 设FH=x m ，则可列方程81651216..x x -=+-，解得x = 8 ，即FH= 8 m . 故观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，就看不到右边较高的树的顶端点C.③如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB ，PQ ，并且AB ∥PQ ．建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ．小亮从胜利街的A 处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮.a.请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C 标出）；（如图所示）b.已知：MN=20 m ，MD=8 m ，PN=24 m ，求a 中的点C 到胜利街口的距离CM.∵BA ∥PQ,∴△CMD ∽△PND. ∴CM MD PN ND =,即824208CM =-, 解得 CM=16(m).④亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离CD=1.25 m ，颖颖与楼之间的距离DN=30 m （C ，D ，N 在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6 m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m.根据以上测量数据求出住宅楼的高度.如图，作AE ⊥MN 于E ，交BD 于点F,∵BD∥MN,∴△ABF∽△AME.∴BF AFME AE=.即160812512530....ME-=+,求得ME=20(m)，∴MN=ME+EN=20+0.8=20.8(m).即住宅楼的高度为20.8 m.二、自学学生参照自学参考提纲进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：明了学生能否理解题意.(2)差异指导：根据学情指导学生理解题意.2.生助生：小组交流、研讨.四、强化1.运用相似三角形来解决实际问题的基本思路：根据题目所给的条件和所求问题建立相似三角形模型.解题步骤为：先证三角形相似，再运用相似三角形性质得比例线段，然后列方程或直接计算求值.2.先组织学生小组研讨自学参考提纲第③、④题，再点两名学生板演，并点评.五、评价1.学生自主学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生在课堂上的专注程度，小组协作状态等方面进行评价.（2）纸笔评价（课堂检测题）.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时针对实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后运用三角形相似的知识进行解答.整个学习过程培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动的探索性和创造性.一、基础巩固（50分）1.(25分)如图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌(DE)，广告牌挡住了小华的视线的那段公路记为BC，一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过BC段公路的时间为6秒，已知广告牌和公路的距离为35米，求小华家到公路的距离.解：如图，过A作AM⊥BC于M,交DE于N,设小华家到公路的距离为x 米.BC=6036.×6=100(米).∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE ANBC AM=,即3035100xx-=,解得x=50.∴小华家到公路的距离为50米.2.(25分)已知零件的外径为25 cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7 cm.求此零件的厚度.解：∵OA OBOC OD=,而∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD.∴AB OACD OC==3.又∵CD=7 cm,∴AB=21 cm.由题意和图易知25-2x=21,∴x=2(cm).∴此零件的厚度为2 cm.二、综合应用（25分）3.(25分)当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现：前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米，CD=9米，BD=15米，在N处的车内小明视点距地面2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米，再向前行驶一段到F处，从距离地面2米高的视点刚好看不见楼AB ，那么车子向前行驶的距离NF 为多少米？解：∵CD ∥AB,∴△CDO ∽△ABO,△CDQ ∽△PBQ. ∴CD OD AB OB =,即91815OD OD =+,解得 OD=15（米）.CD QD PB BQ =,即91215QD QD =+ ,解得 QD=45（米）. ∴OQ=DQ-DO=45-15=30（米）.连接EM ，则EM ∥FQ ，EF ∥CD ，∴29,OE EF OC CD == ∴79,CE OC =即77093,.EM CE EM OQ CO 米==∴= 又EM=FN ，∴703().FN 米= 即车子向前行驶的距离NF 为703.米 三、拓展延伸（25分）4.(25分)如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5 m ，量得CE=2 m ，EC 1=6 m ，C 1E 1=3 m.（1）△FDM ∽△______，△F 1D 1N ∽△_______；（2）求电线杆AB 的高度.解：(1)依题意，∵DC ⊥AE,D 1C 1⊥AE,BA ⊥AE,∴DC ∥D 1C 1∥BA,∴△FDM ∽△FBG ,△F 1D 1N ∽△F 1BG .(2)由（1）知△F 1D 1N ∽△F1BG ，∴111D N F N BG F G=.而△FDM ∽△FBG ,∴DM FM BG FG =.易知D 1N=DM. ∴11F N FM F G FG= ,而F 1N=C 1E 1=3 m,FN=C 1E=6 m,MF=CE=2 m, ∴MF 1=MF+FN+NF 1=11 m, ∴32112GM GM =++,∴GM=16（m ）. 而111D N F N BG F G =,∴15327.BG =. ∴BG=13.5（m ）.∴AB=BG+GA=15 m. ∴电线杆AB 的高度为15 m.。
人教版九年级下册第27章相似27.2.1相似三角形的判定导学案
27.2．1相似三角形的判定（二）学习目标：1.了解三边对应成比例的相似三角形判定；2.认识对应边成比例+对应夹角相等的相似三角形判定；（一）基础我梳理1、类似于判定三角形全等的SSS 方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？如图A 所示，在△AB C 和△A ’B ’C ’中，，求证：△ABC∽△A ’B ’C ’探究：在A ’ B ’上截取 A ’D=AB ，过点D 作DE ∥B ’C ’交A ’C ’于点E ，则△A ’DE ∽； ∵==；又∵，A ’D=AB ∴DE=，A ’E=；∴≌；∴△ABC ∽△A ’B ’C ’归纳：如果两个三角形的三组相等，那么这两个三角形相似；（即：三边的两个三角形相似。
）几何语言：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵，∴△ABC∽△A ’B ’ C ’ 点拨：该证明是找到一个中介三角形，证明与要求证的两个三角形中的一个全等，另一个相似；E D A'A 2. 如图B 所示，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，，∠A=∠A ’， 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’探究：在A ’B 上截取 A ’D=AB ，过点D 作DE ∥B ’C ’交A ’C ’于点E∴△A ’DE ∽；∴_ E _ D_ A '_ A 图B 图A又∵，A ’D=AB ；∴∴A ’E=AC ；∵∠A=∠A ’；∴△A ’DE ≌；∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ 归纳：如果两个三角形的相等，并且对应的相等，那么这两个三角形相似；（即：两边且相等的两个三角形相似。
） 几何语言：∵，∠A=∠A ’∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ 点拨：两组边的比相等，其中一组边的对角对应相等的两个三角形不一定相似；（二）新知我尝试1、根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由。
（1）∠A = 120°，AB = 7cm ，AC = 14 cm∠A ′=120°，A ′B ′=3 cm ，A ′C ′=6 cm(2)AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cmA ′B ′=12 cm ，B ′C ′=18 cm ，A ′C ′=21 cm解：2、如图4所示，求AB 的长； ．（三）达标我能行1.三角形的三边之比为3：5：7，与它相似的三角形最长边是21，则最短边是（ ） A.6 B.9 C.12 D.152.可以判定△ABC ∽△A ’B ’C ’的条件是（ ） A. B.，且∠A=∠C ’ C. ，且∠A=∠A ’ D.以上条件都不正确 3.已知△ABC 如图所示，则下列4个三角形中与△ABC 相似的是（ ）4.如图2所示，∠1=∠2，添加条件，可使得△ADE ∽△ACB ；5.如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是A B 、BC 、CA 的中点， 求证：△ABC ∽△DEF ．6．如图，AB •AE=AD •AC ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ． 7．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD•AD ，求证：△ADC ∽△CDP ． 2530364554图4CB A E F 21图2A B C。
九年级数学下册第二十七章相似相似三角形的判定导学案新人教版
1相似三角形的判定一．自主预习1、什么样的三角形是相似三角形？几何语言：（如右图） C C ’∵____________________∴____________________ A B A ’ B’2、平行线分线段成比例：l 1 l 2 l 3 已知：直线543////l l l ，直线1l 和直线2l A D l 4 分别与这三条平行线相交，你 B E 能发现什么？ C F l 5结论1：________________________________________________ A E DD E A B C B C如上图，你还得发现什么结论?结论2：_________________________________________________3、自学课本30页思考，并证明.三角形相似的定理一：_______________________________________________________二、合作探究1、如图，DE ∥BC ，若D 是AB 的中点，DE=6，试求BC 的值.学习目标1、掌握三角形相似的定义、利用平行线判定三角形相似的判定方法及应用2、经历探索相似三角形的判定方法的过程，锻炼学生观察探究、主动学习的能力，培养逻辑推理能力. 学习重点 掌握相似三角形的定义、判定方法1及应用 学习难点相似三角形判定方法1的推导及应用22、如图，DE ∥BC ，过点E 作EF ∥AB ，EF 交BC 于点F ， AD:DB=2：3， BC=10, 求（1）CFBF(2)CF 的长。
三、展示交流1.△ABC 与△DEF 相似，且相似比为32，则△DEF 与△ABC 的相似比是 2.如图，DE ∥BC.（1）AD =2，DB=1，DE=2.5，求BC ；（2）AD:DB=2:1,DE=2.5，求BC ；（3）DE:BC=3:5,AD=2, 求BD.四、随堂检测1.在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为 ．2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证△ADE ∽△EFC.3. 如图，DE ∥BC ，AE=50cm ，EC=30cm ，BC=70cm ，∠BAC=45º， ∠ACB=40º。
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案2
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形》导学案【明确目标】1．了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定方法．(平行线分线段成比例定理及预备定理)2．经历用类比三角形全等知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，进一步探索相似三角形的预备定理． 3．在观察、发现、探索相似三角形判定的过程中，感受在学习中合作交流的乐趣，增强学习数学的兴趣．【自主预习】1．阅读教材P29—31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理．并尝试完成自主预习区．2．预习反馈：学生独自完成集体订正．①如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，则△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为__________．第①题图 第②题图 第③题图②如图l 1、l 2分别被l 3、l 4、l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与_______对应，BC 与_______对应，DF 与_______对应；(___)(___)AB BC =，(___)(___)AB DF =，(___)(___)(___)(___)AB DE ==. ③如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=1．三个角分别__________，三条边__________的两个三角形相似．2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段__________.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形__________．4．如图，若AB ∥CD ，则△__________∽△__________，._________AB BO AO == 【合作探究】活动1 新知探究(预备定理)1．提出问题如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ，△ADE与△ABC有什么关系?2．合作探究分析：观察上图，易知AD=12AB，AE=12AC，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=12BC即可，从而得出△ADE≌△ABC，相似比为12．3．延伸问题改变点D在AB上的位置，先让学生猜想△ADE与△ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证．4．知识归纳平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．活动2 新知运用例如图所示，直线l1∥l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，试求AE：EC 的值．【当堂反馈】教材P31页练习1、2知识点一相似三角形的定义1．已知△ABC∽△A'B'C'，当AB：A'B'=l时，△ABC∽△A'B'C'__________．若AB：A'B'=1：2，则△A'B'C'与△ABC的相似比为__________．2．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC=1，则EF的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4知识点二平行线分线段成比例3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=第3题图 第4题图 第5题图4．如图，直线l 交△ABC 的边AB 、AC 的延长线于点D 、E ，且l ∥BC ．若53AD AB ，且AE=10，则AC=__________，EC=__________. 知识点三 相似三角形判定的引理5．如图，BC ∥DE ∥FG ，图中有_______对相似三角形．6．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是( )A ．12B ．32C ．52D ．72【拓展提升】1．如图所示，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A ．1对B 2对C ．3对D ．4对2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ，点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1)直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝__________，PD ＝__________；(2)是否存在f 的值，使四边形PDBQ 为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【课后检测】一、选择题1．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ．则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对第1题图 第2题图2．如图，直线l 1∥l 2，AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1，则AE ：EC 为( )A ．5：2B ．4：1C ．2：lD ．3：2二、填空题3．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__________.第3题图 第4题图4．如图所示，尹颖在打网球时，击球点距球网的水平距离为4m ，已知网高为0.4m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网2m 的位置，则球拍击球的高度h 为_______m ．三、解答题5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 在直线l 1上，D ，E 在直线l 2上，C 在直线l 3上，且AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ABAD 的值； (2)求BC 的长．6．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有几对相似三角形?分别是哪几对?。
九年级数学人教版下册第27章《利用相似三角形测物高》优秀教学案例
本节课的教学内容与过程通过导入新课、讲授新知、学生小组讨论、总结归纳和作业小结等环节，系统地介绍了利用相似三角形测量物体高度的方法。在教学过程中，注重引导学生主动探究、合作学习，培养他们的逻辑思维、推理能力和团队协作能力。同时，通过实际问题的解决，使学生感受到数学在生活中的应用价值，激发他们对数学的兴趣和热情。在教学结束后，通过作业的布置和总结，巩固学生所学知识，提高他们的自我学习和评价能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个现实生活中的问题：“如何测量教学楼的高度？”引发学生的思考和兴趣。
2.引导学生回顾已学的相似三角形性质，提出问题：“能否利用相似三角形来解决这个问题？”
3.请学生分享他们在生活中遇到的其他测量问题，从而引出本节课的主题《利用相似三角形测物高》。
（二）讲授新知
（二）问题导向
1.引导学生发现并提出问题：“为什么利用相似三角形可以测量物体高度？”、“如何利用相似三角形测量物体高度？”
2.鼓励学生自主探究，引导学生运用已知的相似三角形性质解决问题。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入探讨，如：“如果已知一个三角形的两边和夹角，如何求第三边？”、“在测量过程中，如何确保测量的准确性？”
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，掌握利用相似三角形测量物体高度的方法。
2.能够运用相似三角形解决实际问题，提高解决生活中问题的能力。
3.掌握画高线的方法，能够正确作出物体的高度线。
4.学会使用尺规作图，提高作图能力。
（二）过程与方法
1.通过观察生活中的实例，引导学生发现相似三角形的性质在测量物体高度中的应用。
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相似三角形导学案【知识点一】 相似三角形的性质 1、相似三角形的对应角________，对应边________________；2、相似三角形周长的比等于________，面积的比等于________________。
拓展：相似三角形对应边上的三线的比等于________，相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。
例1、如图所示，已知△ABC ∽△ADE ，AD = 8 cm ，BD = 4 cm ，BC = 15 cm ，EC = 7 cm 。
求DE 、AE 的长。
1、已知△ABC ∽△A'B'C'，如果AC = 3，A'C' = 1.8，那么△ABC 与△A'B'C'的相似比为________。
2、如图1，在△ABC 中，若∠AED = ∠B ，DE = 6，AB = 10，AE = 8，则BC 的长为（ ）A 、415B 、7C 、215D 、524 3、如图2，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE = 60°，BD = 3，CE = 2，则△ABC 的边长为（ ）A 、9B 、12C 、15D 、184、如图3，在□ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE = 4：3，且BF = 2，则DF =_____。
图1 图2 图35、如图，已知DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD = 4cm ，BD = 8cm ，DE = 5cm ，求线段BF 的长。
6、如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB = 10，AC = 2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边与BF 相交于点D ，若BD = 8，则AP 的长是多少？例2、已知△ABC ∽△A'B'C'，32''=B A AB ，且△A'B'C'的周长为30cm ，△ABC 的面积是40 2cm 。
求：（1）△ABC 的周长；（2）△A'B'C'的面积。
7、已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC 的周长为6，则△A′B′C′的周长为 。
8、已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 。
9、两个相似菱形的相似比为2：3，周长之差为13 cm ，则这两个菱形的周长分别为________和________。
10、如图1所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，若△ABC 的周长为20cm ，则△DEF 的周长为（ ）A 、5cmB 、10cmC 、12cmD 、15cm11、如图2，在△ABC 中，EF ∥BC ，12AE EB =，S 四边形BCFE = 8，则S △ABC = （ ） A 、9 B 、10 C 、12 D 、1312、如图3，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结论：（1）DE = 1；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4。
其中正确的有（ ）A 、0 个B 、1个C 、2 个D 、3个13、如图4，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF = 4：25，则DE ：EC = （ ）A 、2：5B 、2：3C 、3：5D 、3：2*14、如图5，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49。
则△ABC 的面积是________。
图1 图2 图3 图4 图515、已知：如图，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且12BE EC，BD、AE相交于F点。
（1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比；（2）若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积S△AFD。
【知识点二】相似三角形的实际应用1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
例3、如图6为了估算河的宽度，我们在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和点C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，记BC与AE的交点为D，测得BD = 120米，DC = 60米，EC = 50米，则AB = ________。
16、如图7，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为（）A、2.7 mB、1.8 mC、0.9 mD、6 m17、小玉同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图8所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（）A、50cmB、5000cmC、60cmD、600cm图6 图7 图8 图918、小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图9），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）米A、10B、12C、15D、22.519、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米。
例4、如图所示，小明为了测量一棵松树的高度，找来一根钓竿AB，移动AB的位置，使自己的眼睛、竹竿顶A、树顶D恰好在一条直线上，已知小明身高为150 cm，量得竹竿的高度为3 m，MB = 2 m，NB = 6 m，你能帮助小明计算出松树的高度吗？20、如图，在地面上放一面镜子，一人能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请人协助量了镜子与教学楼的距离EA = 21米，以及他与镜子的距离CE = 2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC = 1.6米，请计算出教学楼的高度。
【知识点三】位似两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________________。
这时的相似比又称为________________。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上，相似图形没有。
2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
位似中心的位置：可能位于两个图形之间，也可能位于两个图形一侧，也可能位于两图形内。
位似中心的确定：根据：“对应点的连线都经过位似中心”的特点确定位似中心的位置。
例5、如图，哪些是位似图形？哪些不是位似图形？如果是位似图形，请找出各自的位似中心。
【知识点四】 位似图形的性质 ①、位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质； ②、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
例6、如图，O 是等边三角形△ABC 的中心，P'、Q'、R'分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P'Q'R'与△PQR 是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR 的位似比、位似中心分别为（ ）A 、2，点PB 、21，点PC 、2，点OD 、21，点O 21、如图1，△ABC 与△DEF 位似，且A 是OD 中点，则=EFBC （ ） A 、21 B 、31 C 、41 D 、32 22、三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图2所示）。
现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 。
23、如图3，△ABC 与△A′B′C ′是位似图形，点O 是位似中心，若OA=2A A′,S △ABC =8，则S △A′B′C ′=________。
24、如图4，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 。
图1 图2 图3 图4【知识点五】 利用位似变换作图，放大或缩小图形利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
例4、如图，四边形ABCD 的个位似图形是四边形A'B'C'D'，且A 、B 、C 、D 的对应点分别是A'、B'、C'、D'，图形中给出了AB 的对应边A'B'所在的位置，请把四边形A'B'C'D'其余部分补画上。
25、如左下图，已知△ABC 与△ABC 外一点O ，将△ABC 以O 为位似中心，缩小为原来的一半。
26、如右上图，画出矩形MNPQ 以O 为位似，相似比为21的位似图形。
【知识点六】 图形的变换与坐标1、平移：（1）图形沿x 轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标右加，左减；（2）图形沿y 轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2、轴对称（1）图形沿x 轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y 轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3、以原点为位似中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k （对应点在位似中心同侧）或者－k （对应点在位似中心异侧）。
即：若设原图形的某一点的坐标为(),m n ，则其位似图形对应点的坐标为________________或________________。
例5、已知E ()4-，2，F ()11--，，以原点O 为位似中心，相似比为1:2，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E’的坐标为__________________。
（注意此题不要漏解）27、已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为A （2,2）、B （4,2）、C 、（6、4），以原点O 为位似中心，试将ABC ∆缩小为A B C '''∆，若缩小后的三角形A B C '''∆与原三角形ABC ∆的对应边的比为1:2，则A B C '''、、三点坐标分别可以为（ ）A 、（2,1），（4,1），（6、4）B 、（12，1），（1,1），（32，2）C 、（1，12），（2、12），（3,1）D 、（1、1），（2,1），（3,2）。