定积分测试题
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．43．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．设1130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>5．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 6．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 7．定积分220[4(2)]x x dx --⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-8．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12-9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y = ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．函数()2,02x x f x x -<⎧⎪=≤≤，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．811．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值12．=⎰（ ）A ．1B ．4π C ．2π D ．π二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．)2x dx =⎰______.15．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 16．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.17．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.18．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 19．()40sin cos 2x a x dx π-=⎰，则实数a =____________. 20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 23．已知函数2()11xf x x =++，2()e (0)ax g x x a =<． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．24．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．D解析：D 【解析】根据微积分定理，3120022|33a x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。
上海 华东师范大学第四附属中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 5．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．36．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．27．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 8．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-9．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．6010．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．35311．设函数e ,10()1xx f x x ⎧-≤≤⎪=<≤，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C．e 1e - D ．e 1πe 2-+ 12．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-⎪=∈，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+B ．2πC ．22π-+D ．24π-二、填空题13．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.14．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．15．1321(tan sin )x x x x dx -++⎰的值为______________________16．(1||1x edx -=⎰__________________17．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n ()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.23．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：x10 15 20 25 30 35 40 y23022708 2996 3219 3401 3555 3689 10013102y z e =+ 2.49 2.993.554.004.494.995.49（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.24．已知函数()x ae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 25．已知21()3cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积． 26．计算由直线4,y x =-曲线y =x 轴所围图形的面积S 。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．43．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-6．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．239．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A 3B ．23C ．π23-D π3310．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．012．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <二、填空题13．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．14．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．15．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.16．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 17．(12021x x dx +-=⎰________18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．π4cos xdx =⎰______．20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ．25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值； （2）点A 到平面1A EC 的距离.26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =，所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.5．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用6．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线7．D解析：D 【解析】因1112111111]|2x dx x ----=+=⎰，故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-，则12221221cos 21cos sin cos (2)2sin 2|442d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+====⨯+=⎰⎰⎰，应选答案D 。
上海民办扬波中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题1．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+C ．55ln 22+ D ．3ln 2+2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．223D ．4234．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+5．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．236．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．())122011d x x x --⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12- 8．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞9．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．2310．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．23 11．由直线y= x - 4，曲线2y x =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．40312．1201(1))x x dx ⎰--=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 二、填空题13．已知函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩则()22f x dx π-=⎰___________14．已知0a >，6x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(0224a x x x dx -++-=⎰______.15．(222sin 4x x dx --=⎰______.16．424(16)x x dx --=⎰__________．17．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．18．1321(tan sin )x x x x dx -++⎰的值为______________________19．若，则的值是__________．20．()402sin cos 2x a x dx π-=-⎰，则实数a =____________. 三、解答题21．已知函数()21ln ,2f x x ax a R =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值. 22．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积． 23．计算： （1）710C （2）()22224x x dx -+-⎰24．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()f θ，求()f θ的表达式； （2）怎样设计才能符合园林局的要求？25．已知函数f （x ）32x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56π，0）． （1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间； （2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23π）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离22d =，由勾股定理可得22221()()(3)22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．4．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ． 考点：利用定积分在曲边形的面积．5．A解析：A 【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程1221(20)(2)x x dx x x dx---+-+⎰⎰=320321111()33x x x x --+-+=110(1)(1)33---+-+=4233+=2考点：区间函数的运用6．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线7．A解析：A 【详解】因为定积分11122000d )(x d x x x ⎫⎫=-⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 8．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果． 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b ，设abt ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．9．B解析：B 【分析】由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1 1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，， 所求面积为)13231202121133333S x x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰， 故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.10．B解析：B 【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2yx ，则阴影部分的面积为22320018|33S x dx x ===⎰，故选B.考点：幂函数的解析式；定积分的应用.11．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线2y x =x 轴所围成的面积为：4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=.故选D.12．D解析：D 【分析】 函数1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】 由题意，)111221(1)1(1)()x x dx x dx x dx --=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，)11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π--=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，1201(1)x dx --⎰和1()x dx -⎰.二、填空题13．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题 解析：24π-【分析】利用定积分的计算法则可得()22f x dx π-=⎰223222cos x dx xdx xdx πππ-++⎰⎰⎰，由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解. 【详解】因为函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩,所以()22f x dx π-=⎰223222cos x dx xdx xdx πππ-++⎰⎰⎰4222221sin 4x x xπππ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭24π=-,故答案为:24π- 【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.14．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得【详解】二项式展开式的通项为展开式的常数项为15令故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式考查微积分基本定理136π- 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a ，再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得. 【详解】二项式6x ⎫-⎪⎭展开式的通项为()()626136631r rrrrrr r x a C xT C --+---==.6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15， ∴令330,22rr -=∴=，()262261=15a C -∴-，4=1a ∴，0,1aa >∴=.((0221a x x dx x x dx --∴+=++⎰⎰2322111001111121132226x dx xdx x x π---=++=++⨯⨯⨯--⎰⎰()()32321101013223π⎡⎤⎡⎤=--+--++⎣⎦⎣⎦11132336ππ=-+=+-. 136π+-. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查微积分基本定理.15．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题 解析：2π【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分． 【详解】因为(222222sin sin 022x dx xdx ππ---+=+=+=⎰⎰⎰故答案为2π． 【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.16．【分析】由题原式等于利用积分的几何意义分别求得其定积分可得答案【详解】由题表示的几何意义为：以（00）为圆心4为半径的圆在第一第二象限的面积所以=所以故答案为【点睛】本题考查了定积分熟悉理解定积分的 解析：8π【分析】由题，原式等于4444xdx --+⎰，利用积分的几何意义分别求得其定积分，可得答案.【详解】由题444444)x dx xdx ---=+⎰⎰4-表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以44-=21482ππ⨯= ，440xdx -=⎰所以44)8x dx π-=⎰故答案为8π 【点睛】本题考查了定积分，熟悉理解定积分的几何意义是解题的关键，属于中档题.17．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.18．0【解析】因为f(x)=x3+tanx+x2sinx−1⩽x ⩽1所以f(−x)=−x3−tanx−x2sinx=−f(x)所以f(x)为奇函数解析：0 【解析】因为f (x )=x 3+tanx +x 2sinx ，−1⩽x ⩽1 所以f (−x )=−x 3−tanx −x 2sinx =−f (x )， 所以f (x )为奇函数，21310x tanx x sinx dx -⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭⎰.19．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.20．【分析】直接根据定积分的运算法则再分别计算定积分解得的值【详解】根据定积分的运算法则所以解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的求解涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用属于基础题 2【分析】直接根据定积分的运算法则，()4440sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰，再分别计算定积分，解得a 的值． 【详解】根据定积分的运算法则，()4440sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰440222sin 1cosxa xππ=--⋅== 所以2102a -=，解得2a = 2 【点睛】本题主要考查了定积分的求解，涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用，属于基础题．三、解答题21．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭;(2)2. 【解析】 试题分析：(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭; (2)将原问题转化为()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立，考查函数()()22ln 12x x g x x x++=+的性质可得整数a 的最小值是2.试题(1)()211'ax f x ax x x-=-=，函数()f x 的定义域为()0,+∞.当0a ≤时，()'0f x >，则()f x 在()0,+∞上单调递增，当0a >时，令()'0f x =，则x =舍负)，当0x <<时，()'0f x >，()f x 为增函数，当x >()'0f x <，()f x 为减函数， ∴当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭. (2)解法一：由()21ln 112x ax a x -≤--得()()22ln 12x x a x x ++≤+， ∵0x >， ∴原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立，令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln '2x x x g x x x-++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增，由()110h =>，112ln2022h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()00h x =，002ln 0x x +=. ∴当00x x <<时，()'0g x >，()g x 为增函数， 当0x x >时，()'0g x <，()g x 为减函数， ∴0x x =时，()()()0002max 000002ln 12122x x x g x x x x x x +++===++，∴01a x ≥， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()011,2x ∈，由a Z ∈，所以2a ≥. 故整数a 的最小值为2. 解法二：()21ln 112x ax a x -≤--得， ()2222ln 20ax a x x +---≥，令()()()2222ln 20g x ax a x x x =+--->，()2'222g x ax a x=+--，①0a ≤时，()'0g x <，()g x 在()0,+∞上单调递减， ∵()1340g a =-<，∴该情况不成立. ②0a >时，()()()()22222221'ax a x ax x g x xx+---+==当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增，∴()min 1112ln g x g a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭， ()0g x ≥恒成立()min 112ln 0g x aa⇔=--≥， 即112ln0a a+≤. 令()112lnh a a a=+，显然()h a 为单调递减函数. 由a Z ∈，且()110h =>，()12ln402h =-<， ∴当2a ≥时，恒有()0h a ≤成立， 故整数a 的最小值为2.综合①②可得，整数a 的最小值为2.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．4﹣【解析】试题分析：求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积解：s=|sinx|dx=﹣sinxdx+sinxdx ﹣sinxdx=cosx ﹣cosx +cosx =1+2+（﹣+1）=4﹣．考点：定积分在求面积中的应用． 23．(1)120；(2)2π 【分析】（1）根据组合数的对称性计算；（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】 （1）7310101098C =C ==1203⨯⨯！； （2）(222222224=24x x dx xdx x dx ----+-⎰⎰⎰，其中222xdx -⎰中()2f x x =是奇函数，所以 2220xdx -=⎰；2-⎰表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面积，故(2222242=2022x dx xdx ππ---++=+=⎰⎰⎰. 【点睛】 （1）计算()aaf x dx -⎰（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；若()f x 为偶函数，则()2()2()aaaaf x dx f x dx f x dx --==⎰⎰⎰.（2）组合数对称性：C =C ()mn mn nm n -≤.24．（1）2()(2sin cos sin (0,)3f R πθθθθθ=-+∈（2）cos θ=【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值 试题（1）由题意，2cos AB R θ=，sin BC R θ=，且HOG 为等边三角形，所以，HG R =，sin EH R θ=-， ()=ABCD EFGH f S S θ+2cos sin sin 2R R R R R θθθ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭2(2sin cos sin R θθθ=-，03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （2）要符合园林局的要求，只要()fθ最小，由（1）知，()()22222'(2cos 2sin cos =4cos cos 2f R R θθθθθθ=----）令()'0f θ=，即24cos cos 2=0θθ--，解得cos θ或cos θ（舍去），令00cos 03，πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当00θθ∈（，）时，()()'0,f fθθ<是单调减函数， 当03πθθ∈（，）时，()()'0,f fθθ>是单调增函数，所以当0=θθ时，()fθ取得最小值.答：当θ满足cos θ时，符合园林局要求. 25．（1）12m =-，单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）2()sin())33s t t t ππ=-<<．【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的形式，把点（56π，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案． 【详解】（1）f （x ）2x cos 2x +cos 22x +m=1122cosx m +++ =162sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． ∵f （x ）的图象过点（56π，0）， ∴510662sin m ππ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，解得12m =-．∴f （x ）=6sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由322262k x k πππππ+≤+≤+，得42233k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ． 故f （x ）的单调递减区间是42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）由（1）得，f （x ）12sinx cosx +．∴012tS cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=11002222cost sint cos sin ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=32sin t π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．∴()3S t sin t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（203t π＜＜）． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．26．（1）1m ≤-；（2）4a ≤. 【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立，进一步转化为3 2ln a x x x ≤++在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()32ln (0)h x x x x x=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()ln 1f x x m '=++，因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++>，则()()()231'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减， 当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立， 故4a ≤.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
《定积分》测试题
《定积分》测试题一、选择题1. 在等分区间的情况下f (x )＝11＋x2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积正确的是 ( ) ∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i n n n i A 122)1(211lim .∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n i n n n i B 122211lim .∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n i n n n i C 12111lim .∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i n n n i D 2121111lim . 2.下列命题不正确的是( )A ．若()f x 是连续的奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰B ．若()f x 是连续的偶函数，则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在[],a b 上连续且恒正，则()d 0bax f x >⎰D ．若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰，则()f x 在[),a b 上恒正3.由直线0,0,1===x y x和曲线3x y =3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 ( ) A.119B.111256 C.1127D.25644.由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )dx x A )4(.240-⎰dx x B )4(.240+⎰dx x C 4.240-⎰dx x dx x D )4()4(.242220-+-⎰⎰5.=-⎰dx x 4230( )A ．321 B ．322 C ．323 D ．325 6.一物体以速度)/(232s m t t v +=做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ． 31mB ．36mC ．38mD ．40m7.设物体以速度v(t)=3t 2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s 内所走的路程为( )A.70mB.72mC.75mD.80m8.一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J9.物体受到与它的运动方向相反的力F(x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时，F(x )所做功等于( )A.e 10＋25 B.e 10－25 C ．－e 10＋25 D ．－e 10－2510.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.2311.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－32 12..定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰（ ）A ．22+B ．22-C ．2D ．22二、填空题13.已知1201d 3x x =⎰，2217d 3x x =⎰，则220(1)d x x +=⎰________________．14．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx x x 222cos 2sin π______________15.一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 16.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为 .三、解答题17.已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()f x 的解析式； （2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S ．18..以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度v=40-10t 2，求此物体达到最高时的高度为多少？19.设f(x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0. （1）求f(x )的表达式；（2）求f(x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线x ＝－t(0<t<1)把f(x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①())ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．3535．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3298．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-9．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．10)x dx ⎰=（ ）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________．15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________. 19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．曲线2y x 和曲线y x =________．三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 25．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aaxx a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。
深圳平湖街道平湖中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-2．定积分= A ．B ．C ．D ．3．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．34．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-5．若2221111,,,x a e dx b xdx c dx x ===⎰⎰⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．由直线y= x - 4，曲线2y x =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．4037．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3- B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3298．()211x dx --=⎰（ ）A ．1B ．4π C ．2π D ．π9．204x dx -=（ ）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +12．120(1(1))x x dx ⎰---=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 二、填空题13．已知曲线与直线所围图形的面积______.14．已知0a >，6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()0224a x x x dx -++-=⎰______.15．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.16．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.17．已知曲线y x =，2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．18．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．19．π4cos xdx =⎰______．20．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大． 23．设点P 在曲线2yx 上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2y x 及直线2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.（1）当12S S 时，求点P 的坐标；（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.24．已知函数1()ln f x a x x=-，a R ∈。
定积分单元测试题
一、、填空题（1）定积分的值只与_______及_______有关，而与积分变量的符号无关． （2）设()()()1132001,______1f x x f x dx f x dx x=+=+⎰⎰则． （3）⎰+badx x g x f x f )()()(1=，则⎰+badxx g x f x g )()()(= ；（4）(121sin ________x x dx -=⎰（5）设()()()()2_______xx e f x f dt -'=⎰连续，F x =t ,则F x（6）设()()220_______xd f x tf x t dt dx -=⎰连续，则． （7）设()()1ln 1,______1x t f x dt f x f t x ⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭⎰则。
二、选择题（1） 设[]上连续在区间b a x f ,)(，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值为（ ）A ．大于零B ．小于零 Ｃ．等于零 Ｄ．以上都不对（2）dx x xx ⎰-+ππ1cos 23=（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．１（3）定积分dx x f ba⎰)(是（ ）A ．的一个原函数)(x fB ．确定的函数 Ｃ．的全体原函数)(x fD ．任意常数()()()()()()000______xxf x x x x f x x x f t t t dt φφφ=→→⎰⎰0（4）设、在点的某邻域内连续且时，是的高阶无穷小，则时，sintdt 是的无穷小。
A. B. C.D 低阶高阶同阶非等价 .等价三、用定积分的定义计算（1）∑=∞→+ni n n in111lim；（2）)0( 21lim 1>++++∞→p nn p p p p n 四、利用定积分求下图阴影部分面积，并求其绕X 、Y 轴旋转所形成的旋转体体积。
yx)(ayy2xxx22=y2-2+ π（b ）(c) 五、计算1、设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=., x e,, x xx f x 011011，求⎰-2)1(dx x f . 2、求极限⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x xx x dxe dx e 0220 22lim 3、求⎰1)(dx x f ，设()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--⋅≤≤=.1 ,11,0 , x t t x t t x x x f 4、 ⎰--1145xxdx ； 5、⎰--223cos cos ππdx x x ；6、 ⎰exdx x 1ln ； 7、⎰π2)sin (dx x x ；8、⎰exdx 0ln ； 9、 ⎰-1131dx x 10、计算⎰∞+∞-++ 222x x dx六、证明；若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰⎰-+-=1])([)()(dx x a b a f a b dx x f ba七、设)(x f 为连续正值函数，证明当0≥x 时，函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00 )()()( φ单调增加. 八设函数)(x f 连续，=)(x ϕ,)(1dt xt f ⎰且A xx f x =→)(lim（A 为常数），求)(x ϕ'并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.答案：一、1、被积函数 积分区间2、/3π 3、b-a-1 4、/2π 5、()()22x xxf x e f e --+6、()2xf x 7、21ln 2x 二、1、C 2、C 3、B 4、B 三、（1）∑=∞→+ni n n in111limnn i ni n 11lim1⋅+=∑=∞→⎰+=11dx x)1()1(121⎰++=x d x 1023)1(32⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x )122(32-=（2） 21lim1+∞→+++p pp p n n n 1lim 1n n i ni pn ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∞→⎰=10 dx x p1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+p x p 11+=p 四、a 、311dx x ⎰332211112x y V dxV xdx xxππ==⎰⎰ b、1202)x dx ⎰())1324201222x y V x x dxV xx dx ππ=--=-⎰⎰c、222cos cos xdx xdx ππππ--⎰⎰222022cos2cos 2(cos )xy V xdxV x xdx x x dx ππππππππ-==+-⎰⎰⎰五、1、令t x =-1，则⎰-2)1(dx x f ⎰-=11)(dt t f ⎰-=1)(dt t f ⎰+1)(dt t f⎰-+=01 11dt e t⎰++1 0 11dt t ()⎰-+=1 1dt e ee ttt()[]10 1ln t ++⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=01 111ttt de e e 2ln +2ln 1ln 01+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-t t e e ()1ln +=e 2、0 3、t/2 4、 61；5、 34；6、 )1(412+e ；7、 463ππ-；8、 0；9、 发散.10、π； 六、令()x a b a x =+- 七、()0x φ'≥八、分析 当0≠x 时，将,)(1dt xt f ⎰通过变量代换，把被积函数中的x 转化到积分限上,再求)(x ϕ'.当0=x 时，由)(x ϕ的定义知=)0(ϕ()0)0(10 f dt f =⎰.根据A xx f x =→)(lim0知0)0(=f .由导数定义求出)0(ϕ'.再根据函数连续性的定义判断)(x ϕ'在0=x 处的连续性.解 令u xt =，则=)(x ϕ)()(11 0 xt d xt f x ⎰du u f x x⎰= 0)(1 )0(≠x)(x ϕ'=)(1x f x du u f xx ⎰- 0 2)(1 )0(≠x由A x x f x =→)(lim0及)(x f 的连续性知:)0(f )(lim 0x f x →=0)(lim 0=⋅=→x xx f x ，从而0)0(=ϕ.由导数定义得)0(ϕ'xx x )0()(limϕϕ-=→2)(limx du u f xx ⎰→=x x f x 2)(lim→= 2A= 故 )(x ϕ'⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=⎰.0 ,2,0 ,)(1)( 0 2x A x du u f x x x f x又 )(lim 0x x ϕ'→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰→du u f xx x f xx 020)(1)(lim 22A A A =-=)0(ϕ'=所以)(x ϕ'在0=x 处连续.。
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题 号 一 二 三 四 总分 统分人
分 数
得 分
一、选择 （8小题，共26分） 得分
阅卷人
1．
4)(2
x dt t f x
=⎰
，则=⎰dx x f x
40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2
2．设正值函数
)(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x
b
x
a
⎰
⎰+=)
(1
)()(在),(b a 上至少有（ ）个根。
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3．
=+⎰
dx x x
3
1
( ) A ．18 B ．
3
8
C ． 1
D ．0 4．设
)(x ϕ''在[b a ,]上连续，且a b =')(ϕ，b a =')(ϕ，则
⎰='''b
a
dx x x )()(ϕϕ（ ）
（A ）b a -
（B ）21(b a -) （C ）)(2
1
22b a + （D ）)(2
122
b a - 5．
19
3
8
dx x +⎰
定积分作适当变换后应等于 A 、
3
23xdx ⎰ B 、30
3xdx ⎰ C 、
2
3xdx ⎰
D 、3
23xdx --⎰
6．sin 22y x x ππ⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎦
在
，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、
22
sin xdx π
π-⎰
B 、2
sin xdx π
⎰ C 、0 D 、
22
sin x dx π
π-⎰
7．2
1
x xe dx +∞
-=⎰
广义积分
A 、
12e B 、12e
- C 、e D 、+∞ 8
．
2
()d ()(0)0(0)2lim
x
x f x x f x f f x →'==⎰
若为可导函数，且已知，，则之值为
A 、0
B 、1
C 、2
D 、1
2
二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人
1．dx x x
⎰-+2
2cos 7sin 3π
π=
2
．
[]上的定积分与
，在，则为周期的连续周期函数为以设)0()()(≠+a T a a x f T x f []______________0)(是上的定积分的大小关系，在T x f
三、计算 （11小题，共53分） 得分 阅卷人
1．计算：．sin sin 3
22x xdx ⋅⎰
π
2．．计算
⎰
-+1
)1ln(e dx x
3．．
求
dx x
x ⎰
-2
10 2
31 4．．计算积分
⎰10
arctan
dx x
5．．求
⎰
+16
1
4x
x dx
6．．求
⎰
π
+20
2
cos x dx
7．的极小值．求函数tdt t x f
x
arctan )1()(1+=⎰-
8．．计算
dx x x x ⎰
++2
1
2
22)
1(1
2 9．．
求⎰
π+40
)tan 1ln(dx x 10．．求
⎰π
+30
3cos 2x dx
11．．
计算积分dx x
x
⎰
π+4
2cos 1
四、证明 （2小题，共16分） 得分
阅卷人
1．0
()()()(2)()x
f
x x x t f t dt φ-∞+∞=-⎰设偶函数在，上连续，且
()x φ证明：为偶函数．
2．
[]()()(0)()()()f x x a a a x f x f x C
ϕϕ->+-=设，在， 上连续，为偶函数，且
()C 为常数，
()()()a
a
a
f x x dx C x dx ϕϕ-=⎰⎰证明： ．。