北师大版(理科数学)定积分与微积分基本定理名师优质单元测试
2018届北师大版 定积分与微积分基本定理 单元测试
题组层级快练(十九)1．若F ′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( ) A ．F(x)＝13x 3B ．F(x)＝x 3C ．F(x)＝13x 3＋1D ．F(x)＝13x 3＋c(c 为常数)答案 B2.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝( )A ．56B ．28 C.563 D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |Ｋ42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563.故选C.3．∫π2－π2(1＋cosx)dx 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∫π2－π2(1＋cosx)dx ＝2∫π20(1＋cosx)dx ＝2(x ＋sinx)|π20＝2(π2＋1)＝π＋2.4．(2014·陕西，理)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )dx ＝(x 2＋e x)|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.5．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋m(m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f(x)dx 等于( )A ．2 B.163 C ．6 D ．7答案 B解析 f(x)＝(x ＋1)2＋m －1，∵f(x)的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0.∴f(x)＝x 2＋2x.∴⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(x 2＋2x)dx ＝(13x 3＋x 2)|21＝13×23＋22－13－1＝163.6．(2017·苏北四市模拟)若⎠⎛01(2x ＋k)dx ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B7.⎠⎛35x 2＋1xdx 等于( ) A ．8－ln 53B ．8＋ln 53C ．16－ln 53D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x dx ＝⎠⎛35xdx ＋⎠⎛351xdx ＝12x 2 |Ｋ53＋lnx |Ｋ53 ＝12(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln 53，故选B. 8．m ＝⎠⎛01e x dx 与n ＝⎠⎛1e 1xdx 的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．无法确定答案 A解析 m ＝⎠⎛01e x dx ＝e x|Ｋ10＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1xdx ＝lnx |Ｋe1＝1，则m>n. 9.⎠⎛－22e |x|dx 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2答案 C10．(2017·南昌一模)若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2(a>1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝(x 2＋lnx)|a 1＝a 2＋lna －1＝3＋ln2，解得a ＝2.11.⎠⎛0222x1＋x 2dx ＝( ) A ．4 B ．6 C ．3 D ．1答案 A解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)－12·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x1＋x 2，∴⎠⎛222x 1＋x 2dx ＝2⎠⎛022x 1＋x 2dx ＝21＋x 2|Ｋ2 20＝2(1＋8－1)＝4.故选A. 12．如图所示，由函数f(x)＝e x －e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成阴影部分的面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1答案 B解析 f(x)＝e x－e ＝0时，x ＝1，∴S ＝⎠⎛12(e x－e)dx ＝(e x－ex)|21＝e 2－2e.13．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝lnx |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x|21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.14．设a>0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________． 答案 94解析 S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a ，解得a ＝94.15．(2017·安徽六校联考)已知a ＝⎠⎛0πsinxdx ，则二项式(1－a x )5的展开式中x －3的系数为________． 答案 －80解析 由a ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx |π0＝－(cos π－cos0)＝2，则x－3的系数为C 53(－a)3＝10×(－2)3＝－80.16.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于____________． 答案512解析 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2dx ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.1．(2015·湖南改编)⎠⎛02(x －1)dx ＝( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1答案 B2．(2017·东北三校联考)∫π20sin 2x2dx ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B解析 ∫π20sin 2x 2dx ＝∫π20(12－12cosx)dx ＝(12x －12sinx)|π20＝π4－12.选B.。
北师大版数学高二-微积分基本定理测试
微积分基本定理测试【霸王餐】一、填空题1、位移与时间的函数的导数代表：_________，速度与时间的导数代表：_________。
2、速度与时间的函数的定积分代表： ，可知⎰=ba dt t v )(3、微积分基本定理又叫： ，若)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数并且)()(/x f x F =,那么=⎰ba dx x f )(___________ 4、利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数二、解答题：1.计算下列定积分:(1)⎰211dx x (2)dx xx ⎰-312)12(2.计算下列定积分:⎰π0sin xdx ,⎰ππ2sin xdx ,⎰π20sin xdx . 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.三、课堂巩固1.下列各式中,正确的是A.)()()(///a f b f dx x f ba -=⎰ B. )()()(///b f a f dx x f b a-=⎰ C. )()()(/a f b f dx x f ba -=⎰ D. )()()(/b f a f dx x f ba -=⎰ 2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数),则当[]2,1∈t 时,物体下落的距离是(1)()cos ,()f x x F x ==若则(2)()sin ,()f x x F x =-=若则(3)(),()x f x e F x ==若则1(4)(),()f x F x x ==若则(5)(),()n f x x F x ==若则3(6)(),()f x x F x ==若则21(7)(),()f x F x x==若则(8)(),()f x x F x ==若则A.g 21B.gC.g 23 D.g 2 3.若,2ln 3)12(1+=+⎰adx xx 则a 的值是 A.6 B.4 C.3 D.2 4.dx x ⎰--1121等于A.4πB.2π C.π D.π2 5.)(x f 是一次函数,且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ,那么)(x f 的解析式是 A.34+x B.43+xC.24+-xD.43+-x6.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,则a =7.设)(x f 是奇函数,求⎰-a a dx x f )(=【自助餐】 8.设[][]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dx x f9.求dx x x )1(11+⎰-10、求dx x x ⎰+101的值。
高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(15)定积分与微积分基本定理.pdf
课时作业(十五) [第15讲 定积分与微积分基本定理] [时间：35分钟 分值：80分] 1．[2011·郑州一中模拟] 已知f(x)为偶函数，且 f(x)dx＝8，则－6f(x)dx＝( ) A．0 B．4 C．8 D．16 2．[2011·福州模拟] 设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为( ) A. B．2 C．1 D. 3．[2011·临沂模拟] 若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b1)交于点O、A，直线x＝t(00)，由点P作曲线y＝x2的切线PQ(Q为切点)． (1)求切线PQ的方程； (2)求证：由上述切线与y＝x2所围成图形的面积S与a无关． 课时作业(十五) 【基础热身】 1．D [解析] －6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16. 2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫f(x)dx可以分为两段，即∫f(x)dx＝x2dx＋∫dx＝x3＝＋1＝，所以选A. 3．D [解析] a＝x2dx＝x3＝，b＝x3dx＝x4＝4，c＝sinxdx＝－cosx＝1－cos2<2， ∴c1，∴t＝(2＋)a应舍去． ①若(2－)a≥1，即a≥＝， ∵0<t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋. ②若(2－)a<1，即10， (ii)当(2－)a<t≤1时，f′(t)<0. ∴f(t)在区间(0，(2－)a)上单调递增，在区间[(2－)a，1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f((2－)a)＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝a3. 综上所述f(t)max＝ 【难点突破】 13．[解答] (1)设点P的坐标为(a，a2－1)，又设切点Q的坐标为(x，x2)． 则kPQ＝，由y′＝2x知＝2x， 解得x＝a＋1或x＝a－1. 所以所求的切线方程为2(a＋1)x－y－(a＋1)2＝0或2(a－1)x－y－(a－1)2＝0. (2)证明：S＝a－1[x2－2(a－1)x＋(a－1)2]dx＋∫[x2－2(a＋1)x＋(a＋1)2]dx＝. 故所围成的图形面积S＝，此为与a无关的一个常数．。
2021高考北师版(理科)数学一轮复习： 第2章 第13节 课时分层训练16 定积分与微积分基本定理
课时分层训练(十六) 定积分与微积分根本定理A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1C [⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝1＋e 1－1＝e .应选C.]2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )【导学号：57962125】A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4D [令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44⎪⎪⎪20＝8－4＝4，应选D.]3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，那么电视塔高为( )【导学号：57962126】A.12g B ．g C.32gD ．2gC [由题意知电视塔高为 ⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.]4．f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，那么⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16D [原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，即在y 轴两侧的图像对称．所以对应的面积相等， 即⎠⎛-60f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.]5．假设⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，那么a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6A [由题意知⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.] 二、填空题6．(2021·陕西质检(二))⎠⎛0π(x ＋cos x )d x ＝________.π22 [⎠⎛0π(x ＋cos x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋sin x ||π0＝π22.]7．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10(单位：m )，F (x )＝x 2＋1(单位：N )且和x 轴正向一样，那么变力F (x )对质点M 所做的功为________J .342 [变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J )．] 8．(2021·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图像与直线x ＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．e －12 [由题意知所求面积为⎠⎛-110 (x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x |0-1＋e x |1＝－(12-1)＋(e －1)＝e －12.]三、解答题9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1).2分由⎩⎨⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1). 5分故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.12分10．(2021 ·陕西高考改编)如图2-13-2，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，试求原始的最大流量与当前最大流量的比值．图2-13-2[解] 建立如下图的平面直角坐标系.3分由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，6分抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛-55⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×222∶S 1＝1.2. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．假设f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，那么⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x |10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.]2．曲线x ＋y ＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________．16[将曲线x ＋y ＝1转化为y ＝(1－x )2，且x ≥0，y ≥y ＝0，可知曲线与x 轴交点为(1,0)，那么曲线与两坐标轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(1－x )2d x ＝⎠⎛01(1－2x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43x 32＋12x 2 |10＝1－43＋12＝16.]3．函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积．【导学号：57962127】[解] ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ， 那么k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图.5分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)， 7分∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3 |20＝4－83＝43.12分。
北师大版高三数学(理科)一轮复习3.7定积分与微积分基本定理学案
第7讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ；(3)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎛01e x dx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3D ．2解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，所以⎠⎛0e f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1e 1xdx＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43. 答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3)⎠⎛02|1－x |dx ； (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛121dx＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx＝⎠⎛0πsin xdx －⎠⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π0＝2.(3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛12e 2x dx ＋⎠⎛121xdx ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎛03|x 2－1|dx＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |dx ＝⎠⎛－1e －x dx ＋⎠⎛01e x dx＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2018·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎛011－x 2dx ＋⎠⎛0112xdx ，⎠⎛0112xdx ＝14，⎠⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形的面积； (2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B .【答案】 B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(2018·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π6 5π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )dx ＝⎠⎛110(x 2＋1)dx＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】 342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)dt ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x)dx ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a＝1.3．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( ) A ．e 10＋25B ．e 10－25C ．－e 10＋25D ．－e 10－25解析：选D.由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x dx＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，则⎠⎛01f (x )dx ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）dx |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝－13. 5．直线y ＝x ＋4与曲线y ＝x 2－x ＋1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283 C.323D.343解析：选C.因为x ＋4＝x 2－x ＋1的解为x ＝－1或x ＝3， 所以封闭图形的面积为S ＝⎠⎛－13[x ＋4－(x 2－x ＋1)]dx＝⎠⎛－13(－x 2＋2x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x |3－1＝323. 6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx＝⎠⎛－11x 2dx ＋⎠⎛－11sin xdx＝2⎠⎛01x 2dx ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝⎠⎛－111dx ＝x |1－1＝2.答案：28．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝⎛⎭⎫13a x 3＋c x ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：339．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x dx ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x dx ＝⎠⎛12xdx －⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛121xdx ＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx ＋⎠⎛－πe x dx＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是()A.92B.423＋76C.76D.2＋1解析：选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S ＝⎠⎛－20(2－x 2)dx ＋⎠⎛01(2－x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33|0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22|10 ＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76. 2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1）x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )dx ＝⎠⎛－111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A. 3．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t ，当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t .令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎛05(20－4t )dt ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.答案：504．函数y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx 的最大值是________． 解析：y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx ＝⎠⎛0t ⎝⎛⎭⎫sin x ＋12sin 2x dx ＝⎝⎛⎭⎫－cos x －14cos 2x |t 0 ＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2， 当cos t ＝－1时，y ma x ＝2.答案：25．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， 所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )dx ＝⎣⎡⎦⎤13a x 3＋（2－a ）x |10＝2－23a ＝－2. 所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]．所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )ma x ＝2.6．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3|t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t1(x 2－t 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x |1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3 ＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1， 所以t ＝33. 所以当t ＝33时，S 1＝S 2.。
新版北师大版数学(理)提升作业213定积分与微积分基本定理(含答案)
新版北师大版数学（理）提升作业213定积分与微积分基本定理（含答案）11温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(十六)一、选择题1.(20某某·芜湖模拟)1e1ln某d某=()某(A)ln某+ln2某(B)-1(C)(D)2.(20某某·赣州模拟)已知函数f(某)=则f(某)d某的值为()(A)(B)4(C)6(D)3.(20某某·汉中模拟)由y=,直线某=1以及坐标轴围成的平面图形绕某轴旋转一周所得旋转体体积为()(A)(B)π(C)(D)4.(20某某·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是()(A)在t1时刻,甲车在乙车前面(B)t1时刻后,甲车在乙车后面(C)在t0时刻,两车的位置相同(D)t0时刻后,乙车在甲车前面5.如图,阴影部分的面积是()(A)2(B)2-(C)(D)(2某-1)d某=6,则t的值等于()6.(20某某·三亚模拟)已知t>0,若(A)2(B)3(C)6(D)87.曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积为()(A)(B)(C)(D)2(in某-co某)d某(in某-co某)d某(co某-in某)d某(co某-in某)d 某8.(20某某·广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10t(m/)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t()为()(A)3(B)4(C)5(D)69.如图,函数y=-某2+2某+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是()(A)1(B)(C)10.(20某某·马鞍山模拟)根据02(D)2in某d某=0推断直线某=0,某=2π,y=0和正弦曲线y=in某所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为()(A)面积为0(B)曲边梯形在某轴上方的面积大于在某轴下方的面积(C)曲边梯形在某轴上方的面积小于在某轴下方的面积(D)曲边梯形在某轴上方的面积等于在某轴下方的面积二、填空题11.(20某某·宜春模拟)|3-2某|d某=.12.(20某某·海口模拟)已知函数f(某)=-某3+a某2+b某(a,b∈R)的图像如图所示,它与某轴在原点处相切,且某轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.13.已知函数f(某)=in5某+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求f(某)d某的值,结果是.14.(能力挑战题)抛物线y=-某2+4某-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为.三、解答题15.(能力挑战题)如图所示,直线y=k某分抛物线y=某-某2与某轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.答案解析1.【解析】选C.12.【解析】选D.=某302e1ln某d某=(ln某+某e)1=.f(某)d某=某2d某+(某+1)d某+(某2+某)=(0+)+(某4+2-0)=.π(某+2)d某=π·(+2某)10=π.3.【解析】选C.V=4.【解析】选A.可观察出曲线v甲,直线t=t1与t轴围成的面积大于曲线v乙,直线t=t1与t轴围成的面积,故选A.5.【解析】选C.6.【解析】选B.(3-某2-2某)d某=(3某-某3-某2)(2某-1)d某=2某d某-=.1·d某=某2-某=t2-t,由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).【方法技巧】定积分的计算方法(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)应用微积分基本定理:求定积分f(某)d某时,可按以下两步进行,第一步:求使F'(某)=f(某)成立的F(某);第二步:计算F(b)-F(a).7.【解析】选D.当某∈[0,]时,y=in某与y=co某的图像的交点坐标为(,),作图可知曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=in某,y=co某与直线某=,某=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选 D.8.【解析】选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为B在t秒内行驶的路程为(3t2+1)dt,物体10tdt,所以(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)=t3+t-5t2=5(t-5)(t2+1)=0,即t=5.9.【解析】选B.函数y=-某2+2某+1与y=1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于(-某2+2某+1-1)d某=(-某2+2某)d某=.10.【思路点拨】y=in某的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断.【解析】选D.y=in某的图像在[0,2π]上关于(π,0)对。
2020版理数(北师大版)练习：第二章 第十一节 定积分与微积分基本定理
2020年精品试题芳草香出品课时作业 A 组——基础对点练1.⎠⎛01e x d x 的值等于( ) A ．e B ．1－e C ．e －1D.12(e －1)解析：⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.答案：C2．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪1＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 答案：C3.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：由题中图像易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x ⎪⎪⎪10＝43. 答案：B4．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪2＝83. 答案：C5．(2018·保定模拟)从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32gD ．2g解析：由题意知电视塔高为：⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g . 答案：C6.(2018·长沙模拟)若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23 C ．－1D ．－2解析：由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx22|10＝13＋m2＝0，得m ＝－23.答案：B7．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A ．1 B.43 C. 3D ．2解析：由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.答案：B。
高考数学理(北师大版)大一轮总复习练习：2-12定积分与微积分基本定理(含答案解析)
计时双基练十七 定积分与微积分基本定理A 组 基础必做1． sin 2x2dx ＝( )A ．0B.π4－12C.π4－14D.π2－1解析 sin 2x2dx ＝1－cos x 2dx ＝12x －12sin x ＝π4－12。
答案 B2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析 由题意知电视塔高为答案 C3．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析 由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋ln x)| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2。
答案 A4．已知f(x)是偶函数，且⎠⎛06f(x)dx ＝8，则f(x)dx ＝( )A ．0B ．4C ．6D ．16解析 因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y 轴两侧的图像对称，所以f(x)dx＝f(x)dx ＋⎠⎛06f(x)dx ＝2⎠⎛06f(x)dx ＝16。
答案 D5．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx ＝( )A ．3B ．4 C.72D.92解析 ∵f(x)＝2－|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－，2＋，＝⎝⎛⎭⎫2x ＋x 22 |0－1＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |20＝32＋2＝72。
答案 C6．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，解得x ＝－2或x ＝0或x ＝2， 所以直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝⎝⎛⎭⎫2×22－14×24－0＝4。