2020届高考数学大二轮复习专题中难提分突破特训三文

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2020届高考数学大二轮复习专题高难拉分攻坚特训三文

高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，选C.2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233解析如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，即λOA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2，3μ2，∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2，又∵C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，设点C 坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，32≤y ≤1，∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3λ＋μ2＝(x ，y )，∴32≤y＝3λ＋μ2≤1，解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233.3．已知函数f (x )＝x (a ＋ln x )有极小值－e －2. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k <f xx －1对任意的x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，令f ′(x )>0⇒x >e －a －1，令f ′(x )<0⇒0<x <e－a －1，故f (x )的极小值为f (e－a －1)＝－e－a －1＝－e －2，得a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln xx －1，则g ′(x )＝x －2－ln x x －12，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x＝x －1x>0，故h (x )在(1，＋∞)上是增函数．由于h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，故存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0. 则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．∵h (x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2， ∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0，∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，∴k max ＝3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值？若存在，求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)，半径r ＝1.设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝x ，R ＋1＝|PC |，所以|PC |＝x ＋1，即x －12＋y 2＝x ＋1，整理得y 2＝4x .所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1k，则直线l 的方程为y ＝1t(x －2)，即x ＝ty ＋2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋2，消去x ，得y 2－4ty －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－8.因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)，故k 1＝y 1x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4y 1，同理，得1k 2＝t ＋4y 2，所以1k 21＋1k 22－m k2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 22－m k2＝2t 2＋8t ×⎝⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋16×⎝⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y22－mt 2＝2t 2＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×4t －8＋16×4t2－2×－8－82－mt 2＝2t 2＋4－mt 2＝(2－m )t 2＋4，要使该式为定值，则需2－m ＝0，即m ＝2，此时定值为4. 所以存在常数m ＝2，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值，且定值为4.。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(经典版)文档：中难提分突破特训(一) Word版含解析

2020版高考数学二轮复习教程中难提分突破特训(六)理

中难提分突破特训(六）1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S,且错误!（b2＋c2－a2)＝4S.(1）求角A的大小；（2）若a＝错误!，当b＋2c取得最大值时，求cos B。

解（1)由已知3(b2＋c2－a2）＝4S＝2bc sin A，由余弦定理得2错误!bc cos A＝2bc sin A，所以tan A＝错误!，因为A∈(0，π）,故A＝错误!。

(2)由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!，即b＝2sin B，c＝2sin C,因此b＋2c＝2sin B＋4sin C＝2错误!＝4sin B＋2错误!cos B＝2错误!sin（B ＋φ),其中φ∈错误!，tanφ＝错误!，则sinφ＝错误!＝错误!，故b＋2c≤2错误!，当且仅当B＋φ＝错误!,即B＝错误!－φ时取等号,故此时cos B＝sinφ＝错误!.2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点．（1）若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求错误!的值；(2）在(1）的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45°,求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．解（1)如图，取AB的中点M，连接CM，MD,有MD∥AB1，因为AC＝BC，所以CM⊥AB,又因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，又因为平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，所以CM⊥平面ABB1A1,又因为DE⊂平面ABB1A1，所以CM⊥DE,又因为DE⊥CD，CD∩CM＝C，CD⊂平面CMD，CM⊂平面CMD，所以DE⊥平面CMD,又因为MD⊂平面CMD，所以DE⊥MD，因为MD∥AB1，所以DE⊥AB1，连接A1B，设A1B∩AB1＝O,因为ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，又因为DE⊂平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，所以DE∥A1B,又因为D为BB1的中点,所以E为OB1的中点，所以错误!＝错误!.(2)如图，以M为坐标原点，分别以MA,MO,MC所在直线为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，由题意可知∠CDM＝45°,所以AB1＝2错误!a，所以DM＝CM＝错误!a，所以A（a，0,0），B1（－a,2a，0)，C1(0，2a，错误!a），D(－a,a,0），E错误!，所以错误!＝(－2a,2a，0）,错误!＝(a，0，错误!a），错误!＝错误!，设平面AB1C1的一个法向量为n＝(x，y，z），则错误!即错误!得平面AB1C1的一个法向量为n＝（2，错误!,－1)．所以cos〈错误!,n〉＝错误!＝错误!＝错误!。

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训六2

( | |) | | | | b
b
b
b
|x＋a|＋ x－ x－ a＋
所以 f(x)＝2
3 ＋ 3 ≥2 3 ，等号在 x＝3时成立，
| | | | b
b
a＋
a＋
所以 f(x)的最小值为 2 3 ，从而 2 3 ＝2.
因为 a>0，b>0，所以 3a＋b＝3.
中难提分突破特训(六)
1．如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点，连接 CG，EF，BG.
(1)求证：EF⊥平面 BCG； (2)求三棱锥 D－BCG 的体积．解 (1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°， ∴△ABC≌△DBC， ∴AC＝DC，∵G 为 AD 的中点， ∴AD⊥CG，BG⊥AD，CG∩BG＝G， ∴AD⊥平面 BCG， ∵E，F 分别为 AC，DC 的中点，∴EF∥AD， ∴EF⊥平面 BCG1. (2)过 E 作 EO⊥BC 于点 O，连接 GE，
( ] [ ) 1
3
1
3
1
－∞，－－，＋∞
所以|x＋1|≥2，解得 x≤－2或 x≥－2，所以所求不等式的解集为
2∪ 2
.
(2)解法一：因为 f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|
＝Error!
( ) ( ) b
பைடு நூலகம்
b
b
－∞，
，＋∞
所以函数 f(x)在
3 上为减函数，在 3
上为增函数，所以当 x＝3时，函数 f(x)取得最
(2)将Error!代入 y2＝2ax 得， t2－2 2at＋8a＝0，

(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训全集理

中难提分突破特训(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c －b a ＝cos Bcos A .(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边上一点，且CD ＝2DB ，b ＝3，AD ＝21，求a . 解 (1)由已知，得(2c －b )cos A ＝a cos B ，由正弦定理，得(2sin C －sin B )cos A ＝sin A cos B ，整理，得2sin C cos A －sin B cos A ＝sin A cos B ，即2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C . 又sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)如图，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，又CD ＝2DB ，∠BAC ＝π3，所以ED ＝13AC ＝1，∠DEA ＝2π3.由余弦定理可知，AD 2＝AE 2＋ED 2－2AE ·ED cos2π3，解得AE ＝4，则AB ＝6. 又AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以在△ABC 中，由余弦定理，得a ＝BC ＝3 3.2．已知长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝ 2.现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A －BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由；(2)当四面体A －BCD 的体积最大时，求二面角A －CD －B 的余弦值．解 (1)若AB ⊥CD ，由AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，得AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC .所以AB 2＋a 2＝BC 2，即12＋a 2＝(2)2，所以a ＝1. 若AD ⊥BC ，由AD ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，得AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC ，所以AD 2＋a 2＝CD 2，即(2)2＋a 2＝12，所以a 2＝－1，无解，故AD ⊥BC 不成立． (2)要使四面体A －BCD 的体积最大，因为△BCD 的面积为定值22，所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时平面ABD ⊥平面BCD ，过点A 作AO ⊥BD 于点O ，则AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，则易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，33，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，显然，平面BCD 的一个法向量为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63.设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，63，所以⎩⎨⎧6x ＝3y ，23y ＝6z ，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)．观察可知二面角A －CD －B 为锐二面角，故二面角A －CD －B 的余弦值为|cos 〈OA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪26363×1＋2＋4＝277.3．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (－2,1)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最小值； (3)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意，设P (x ，y )，则|AP |＝2|OP |，即|AP |2＝4|OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知轨迹C 是以C (－1,0)为圆心，以2为半径的圆．又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B 在圆内，所以当线段MN 的长度最小时，BC ⊥MN ，所以圆心C 到直线MN 的距离为 |BC |＝(－2＋1)2＋(1－0)2＝2，此时，线段MN 的长为|MN |＝2|CM |2－|BC |2＝2×4－2＝22，所以，线段MN 长度的最小值为2 2.(3)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2. 因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距离为|CQ |＝(t ＋1)2＋(t －0)2＝2t 2＋2t ＋1，所以|2－t |≤|CQ |≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3. 所以实数t 的取值范围是[－3＋23，3]．4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，直线C 2的普通方程为y ＝33x .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 1的极坐标方程为(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－3)2＝4，即ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0. 因为直线C 2过原点，且倾斜角为π6，所以直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设点A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，θ＝π6，得ρ2－(33＋3)ρ＋14＝0，所以ρ1＋ρ2＝33＋3，ρ1ρ2＝14，又ρ1>0，ρ2>0，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝33＋314.5．设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|，当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．中难提分突破特训(二)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N *)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2，因为k ∈N *，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9，故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]，得a n ＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)，所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n －7)＋2．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时，y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x －y －4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)散点图如图所示．(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1，∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^＝23.(3)可以判断，落在直线2x －y －4＝0右下方的点满足2x －y －4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3， P (ξ＝1)＝C 22C 13C 35＝310，P (ξ＝2)＝C 12C 23C 35＝610＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 35＝110，故ξ的分布列为故E (ξ)＝1×310＋2×35＋3×110＝1810＝95.3．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AD ⊥AB ，DC ＝2AD ＝2AB ＝2，AA 1＝4，点M 为C 1D 1的中点．(1)求证：平面AB 1D 1∥平面BDM ；(2)求直线CD 1与平面AB 1D 1所成角的正弦值．解 (1)证明：由题意得，DD 1∥BB 1，DD 1＝BB 1，故四边形DD 1B 1B 为平行四边形，所以D 1B 1∥DB ，由D 1B 1⊂平面AB 1D 1，DB ⊄平面AB 1D 1，故DB ∥平面AB 1D 1，由题意可知AB ∥DC ，D 1C 1∥DC ，所以，AB ∥D 1C 1. 因为M 为D 1C 1的中点，所以D 1M ＝AB ＝1，所以四边形ABMD 1为平行四边形，所以BM ∥AD 1，由AD 1⊂平面AB 1D 1，BM ⊄平面AB 1D 1，所以BM ∥平面AB 1D 1，又由于BM ，BD 相交于点B ，BM ，BD ⊂平面BDM ，所以平面BDM ∥平面AB 1D 1.(2)由题意，以D 为坐标原点，分别以D A →，D C →，DD 1→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点D 1(0,0,4)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B 1(1,1,4)，AD 1→＝(－1,0,4)，AB 1→＝(0,1,4)，设平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，有⎩⎪⎨⎪⎧AD 1→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4z ＝0，y ＋4z ＝0，令z ＝1，则n ＝(4，－4,1)，CD 1→＝(0，－2,4)，令θ为直线CD 1与平面AB 1D 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈CD 1→，n 〉|＝|CD 1→·n ||CD 1→||n |＝216555.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝(3cos θ－1)2＋4sin 2θ ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意；当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3，∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ，∴a 2＋b2＋c 2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号. ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值是1.中难提分突破特训(三)1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∠B 1BC ＝60°，B 1C 1⊥AB 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)若AB ⊥AC ，且AB 1＝BB 1，求二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值．解 (1)证明：如图，取BC 的中点O ，连接AO ，OB 1.因为BC ＝BB 1，∠B 1BC ＝60°，所以△BCB 1是等边三角形，所以B 1O ⊥BC ，又BC ∥B 1C 1，B 1C 1⊥AB 1，所以BC ⊥AB 1，所以BC ⊥平面AOB 1，所以BC ⊥AO ，由三线合一可知△ABC 为等腰三角形，所以AB ＝AC .(2)设AB 1＝BB 1＝2，则BC ＝BB 1＝2. 因为AB ⊥AC ，所以AO ＝1. 又因为OB 1＝3，所以OB 21＋AO 2＝AB 21，所以AO ⊥OB 1.以O 为坐标原点，向量OB →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，C (－1,0,0)，A 1(－1，3，1)，B 1(0，3，0)，CA 1→＝(0，3，1)，CB 1→＝(1，3，0)，设平面A 1B 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CA 1→·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＋z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，－1，3)，由(1)可知，平面CB 1C 1的法向量可取OA →＝(0,0,1)，所以cos 〈OA →，n 〉＝OA →·n |OA →||n |＝217，由图示可知，二面角A 1－CB 1－C 1为锐二面角，所以二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值为217. 2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z .又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2，由正弦定理，得212＝2sin B ， ∴sin B ＝22.∴B ＝π4. ∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12.∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin60°＝2sin45°，∴BC ＝a ＝ 6.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．(2)列联表如下：K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． (3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X 元，则X 的可能取值为84,96,108,120.P (X ＝84)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝96)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝108)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝120)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以E (X )＝84×18＋96×38＋108×38＋120×18＝102.因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3.5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12；③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23.综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12. (2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn ＝4.当且仅当m n ＝nm且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立，∴－a ≤(2x ＋6)min＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立，∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.中难提分突破特训(四)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A . (1)求c b的值；(2)设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解 (1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376 实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?(2)实验过程中测得时间t (分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y (Hz)的9组对应数据(t ，y )为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y 关于时间t 的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800；参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t . 解 (1)根据题意得到茎叶图如下图所示，由图中数据可得x －1＝110×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，x －2＝110×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴x －1－x －2＝363－333＝30(N)， ∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.(2)由题意得t ＝19×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，y －＝19×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，∑9i ＝1(t i －t )2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800， ∴b ^＝∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)∑9i ＝1(t i －t )2＝－180024000＝－0.075， ∴a ^＝y －－b ^t ＝80－(－0.075)×80＝86，∴y 关于时间t 的线性回归方程为y ^＝－0.075t ＋86.(3)9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．3．如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝12CD ＝2，PD ＝PB ＝6，PD⊥BC .(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为π3？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，∠ADC ＝π2，所以BD ＝22，又因为CD ＝4，∠BDC ＝π4.根据余弦定理得BC ＝22，所以CD 2＝BD 2＋BC 2，故BC ⊥BD .又因为BC ⊥PD ，PD ∩BD ＝D ，且BD ，PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . (2)由(1)得平面ABCD ⊥平面PBD ，设E 为BD 的中点，连接PE ，因为PB ＝PD ＝6，所以PE ⊥BD ，PE ＝2，又因为平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD ∩平面PBD ＝BD ，所以PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为坐标原点，分别以AD →，AB →，E P →的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,4,0)，D (2，0,0)，P (1,1,2)，假设存在M (a ，b ，c )满足要求，设CM CP＝λ(0≤λ≤1)，即CM →＝λCP →， (a －2，b －4，c )＝λ(－1，－3,2)，得a ＝2－λ，b ＝4－3λ，c ＝2λ，则M (2－λ，4－3λ，2λ)，易得平面PBD 的一个法向量为BC →＝(2,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABM 的一个法向量， AB →＝(0,2,0)，AM →＝(2－λ，4－3λ，2λ)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，(2－λ)x ＋(4－3λ)y ＋2λz ＝0，不妨取n ＝(2λ，0，λ－2)．因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为π3，所以|cos 〈B C →，n 〉|＝|4λ|22×4λ2＋(λ－2)2＝12，解得λ＝23，λ＝－2(不符合题意，舍去)．故存在点M 满足条件，且CM CP ＝23.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．解 (1)∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2. ∵x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0，表示直线2x ＋y ＋4＝0. ∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．不妨设M 2(r 2－1,2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．∴|M 1M 2|的最小值为3510.5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (2x )－f (x ＋1)≥2的解集；(2)若a >0，b >0且a ＋b ＝f (3)，求证：a ＋1＋b ＋1≤2 2. 解 (1)因为f (x )＝|x －1|，所以f (2x )－f (x ＋1)＝|2x －1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，1－3x ，0<x <12，x －1，x ≥12，由f (2x )－f (x ＋1)≥2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－3x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －1≥2.解得x ≤－1或x ∈∅或x ≥3，所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)证明：a ＋b ＝f (3)＝2，又a >0，b >0，所以要证a ＋1＋b ＋1≤22成立，只需证(a ＋1＋b ＋1)2≤(22)2成立，即证a ＋b ＋2＋2(a ＋1)(b ＋1)≤8，只需证(a ＋1)(b ＋1)≤2成立，因为a >0，b >0，所以根据基本不等式 (a ＋1)(b ＋1)≤(a ＋1)＋(b ＋1)2＝2成立，故命题得证．中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，b n ＝a nn. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1， ∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ， ② ①－②，得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.2．如图，在直角梯形ABED 中，AB ∥DE ，AB ⊥BE ，且AB ＝2DE ＝2BE ，点C 是AB 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置．(1)求证：平面PBC ⊥平面PEB ；(2)若PE 与平面PBC 所成的角为45°，求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．解 (1)证明：∵AB ∥DE ，AB ＝2DE ，点C 是AB 的中点， ∴CB ∥ED ，CB ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴CD ∥EB ，又EB ⊥AB ，∴CD ⊥AB ，∴CD ⊥PC ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面PBC ， ∴EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面PEB ，∴平面PBC ⊥平面PEB . (2)由(1)知EB ⊥平面PBC ，∴∠EPB 即为PE 与平面PBC 所成的角， ∴∠EPB ＝45°，∵EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ， ∴△PBE 为等腰直角三角形， ∴EB ＝PB ＝BC ＝PC ，故△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥BC ， ∵EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面EBCD ， ∴平面EBCD ⊥平面PBC ，又PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，设BC ＝2，则B (0,1,0)，E (2,1,0)，D (2，－1,0)，P (0,0，3)，从而DE →＝(0,2,0)，PE →＝(2,1，－3)，设平面PDE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝0，m ·PE →＝0，得⎩⎨⎧2y ＝0，2x ＋y －3z ＝0，令z ＝2得m ＝(3，0,2)，又平面PBC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝37＝217，所以，平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为217. 3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y 元，求Y 的分布列和数学期望．附：若ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.解 (1)x －＝1100×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，由正态分布知，P (5.5<X <9.5)＝P (μ<ξ<μ＋2σ)＝12P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝12×0.9544＝0.4772.该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为47.72%.(2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4，Y 的取值为6,8,10,12.则P (Y ＝6)＝C 11C 13C 28＝328；P (Y ＝8)＝C 23＋C 11C 14C 28＝728＝14； P (Y ＝10)＝C 13C 14C 28＝1228＝37；P (Y ＝12)＝C 24C 28＝628＝314.所以Y 的分布列为E (Y )＝6×328＋8×14＋10×37＋12×314＝192＝9.5.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β， ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]． 5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， ∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1 ①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32，综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4， ∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|，∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4，解得a ≥3或a ≤－5，故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．中难提分突破特训(六)1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且3(b 2＋c 2－a 2)＝4S .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，当b ＋2c 取得最大值时，求cos B .解 (1)由已知3(b 2＋c 2－a 2)＝4S ＝2bc sin A ，由余弦定理得23bc cos A ＝2bc sin A ，所以tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.(2)由正弦定理得3sinπ3＝b sin B ＝csin C ，即b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因此b ＋2c ＝2sin B ＋4sin C ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝4sin B ＋23cos B ＝27sin(B ＋φ)，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan φ＝32，则sin φ＝37＝217，故b ＋2c ≤27，当且仅当B ＋φ＝π2，即B ＝π2－φ时取等号，故此时cos B ＝sin φ＝217. 2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB，D 为BB 1的中点．(1)若E 为AB 1上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求EB 1AB 1的值； (2)在(1)的条件下，设异面直线AB 1与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面AB 1C 1所成角的正弦值．解 (1)如图，取AB 的中点M ，连接CM ，MD，有MD ∥AB 1，因为AC ＝BC ，所以CM ⊥AB ，又因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又因为平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1，又因为DE ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥DE ，又因为DE ⊥CD ，CD ∩CM ＝C ，CD ⊂平面CMD ，CM ⊂平面CMD ，所以DE ⊥平面CMD ，又因为MD ⊂平面CMD ，所以DE ⊥MD ，因为MD ∥AB 1，所以DE ⊥AB 1，连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝O ，因为ABB 1A 1为正方形，所以A 1B ⊥AB 1，又因为DE ⊂平面AA 1B 1B ，A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，所以DE ∥A 1B ，又因为D 为BB 1的中点，所以E 为OB 1的中点，所以EB 1AB 1＝14. (2)如图，以M 为坐标原点，分别以MA ，MO ，MC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2a ，由题意可知∠CDM ＝45°，所以AB 1＝22a ，所以DM ＝CM ＝2a ，所以A (a,0,0)，B 1(－a,2a,0)，C 1(0,2a ，2a )，D (－a ，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，0，所以AB 1→＝(－2a,2a,0)，B 1C 1→＝(a,0，2a )， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，0，设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，得平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(2，2，－1)．所以cos 〈DE →，n 〉＝DE →·n |DE →||n |＝222×5＝255.所以直线DE 与平面AB 1C 1所成角的正弦值为255.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线PA 1，PA 2与椭圆E 的另外两个交点分别为M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值．解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1. (2)证明：不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)．P (x 0,4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线PA 1的方程为y ＝2x 0x ＋2，直线PA 2的方程为y ＝6x 0x －2.点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x3＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x27＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x 03＋x 20，2x 20－63＋x 20，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 027＋x 20，－2x 20＋5427＋x 20. 直线MN 的方程为y －2x 20－63＋x 20＝－x 20－96x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6x 03＋x 20，即y ＝－x 20－96x 0x ＋1.故直线MN 恒过定点B (0,1)．又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 的周长＝|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解 (1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去t ，得直线l ：x－y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t 代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 1，22t 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 2，22t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5. 5．已知函数f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |.(1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f (x )≥3|x |＋1的解集； (2)若a >0，b >0，且函数f (x )的最小值为2，求3a ＋b 的值．解 (1)当a ＝1，b ＝0时，由f (x )≥3|x |＋1，得2|x ＋1|≥1，所以|x ＋1|≥12，解得x ≤－32或x ≥－12，所以所求不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)解法一：因为f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －2a ＋b ，x <－a ，－x ＋2a ＋b ，－a ≤x ≤b 3，5x ＋2a －b ，x >b3，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b3上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，＋∞上为增函数，所以当x ＝b3时，函数f (x )取得最小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3＋a ＝2. 因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.解法二：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3，等号在－a ≤x ≤b3时成立，因为当x ＝b3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3的最小值为0，所以f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，等号在x ＝b3时成立，所以f (x )的最小值为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，从而2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＝2.因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.- 31 -。

2020届高考数学大二轮复习专题高难拉分攻坚特训一文

高难拉分攻坚特训(一)2. .^X 2 , - 2 2 2. .1 •已知椭圆 M r + y = 1,圆C ： x + y = 6- a 在第一象限有公共点P ,设圆C 在点Pak i处的切线斜率为k i ，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则厂的取值范围为()k 2A . (1,6)B • (1,5)C • (3,6)D • (3,5) 答案 D2解析由于椭圆 M ：扌+ y 1 2 = 1，圆C ： x 2 + y 2 = 6 - a 2在第一象限有公共点P ,所以x ox ok 12k 1所以k 1一 y-，k 2=-av 肓a，所以艺(3,5)，故选D.2.已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S,若a 1= 1, a 2= 2,勿工0, ( a n +1-2n )S+1= a n + 1S -1 —2nS (n 》2)，设b n =血-1,数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,贝U 「00= ______________答案 9901解析由(a n +1 — 2n ) S+1 = a n + 1S -1 — 2nS ( n 》2)整理得 a n +1 •( S+1 — S-1) = 2n(S +1 — S )?a n +1 + a n = 2n ,a n +1 •(a n +1 + a n ) = 2na n +1,艮卩 a n +1 + a n = 2n (n 》2)，由两式相减得 a n + 2a n +2 + a n +1 = 2n + 2,—a n = 2(n 》2)，故｛b n ｝从第二项起是以 2为公差的等差数列，b 1 = a 1= 1,由于a 3 + a 2= 4，则13 .已知动点P 与两个定点 Q 0,0) , A (3,0)的距离的比为 (1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点耳一2,1)的直线I 与曲线C 交于M N 两点，求线段 Mt 长度的最小值；(3) 已知圆Q 的圆心为Qt , t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆 Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.解(1)由题意，设P (x , y ),22则 |AP = 2|OP ，即 | AP = 4|OP ,所以(x -3)2+ y 2= 4(x 2 + y 2)，整理得(x + 1)2+ y 2 = 4. 所以动点P 的轨迹C 的方程为(x + 1)2 + y 2= 4.a 2>6 - a 2,6-a 2>1,解得3<a 2<5.设椭圆 2M^ + y 2= 1与圆Cx 2+ y 2= 6 — a 2在第一象限的公共点Rx o ,y o )，则椭圆M 在点P 处的切线方程为Xa X +y o y = 1,圆C 在P 处的切线方程为 2x o x + y °y = 6- a ,—99 X 98a3= 2,「. b2= a3= 2,故T i00= 1 + 2X 99+ 2 x2= 9901.(2) 由⑴知轨迹C是以q —1,0)为圆心，以2为半径的圆.2 2又因为(一2+ 1) + 1 <4,所以点B在圆内，所以当线段MN的长度最小时，BCL MN 所以圆心C 到直线MN的距离为| BQ = ；—2 + 1 2+ 1 —0 2= 2,此时，线段MN的长为|MN = 2 ：|CM2-|BC2= 2X 4 —2= 2 .2所以，线段MN长度的最小值为2 2(3) 因为点Q的坐标为(t, t)( t >0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t, 所以圆Q的方程为(x —t)2+ (y —1)2= t2.因为圆Q与圆C有公共点，又圆Q与圆C的两圆心距离为|CQ = ; t + 1 2+ t —0 2= 2t2+ 2t + 1,所以|2 —1| w|CQ w 2+ t ,2 2 2即(2 —t) W2t + 2t + 1W (2 + t),解得—3+ 2 3 w t w 3.所以实数t的取值范围是[—3+ 2 3, 3].4.已知函数f (x) = (x —1)e x—ax2(e是自然对数的底数).(1) 讨论函数f (x)的极值点的个数，并说明理由；x 3(2) 若对任意的x>0, f(x) + e >x + x，求实数a的取值范围.解(1)f'(x) = x e x—2ax= x(e x—2a).当a W0 时，由f'(x)<0 得x<0,由f'( x)>0 得x>0,••• f(x)在(—a, 0)上单调递减，在(0,+^)上单调递增，••• f(x)有1个极值点；1当0<a<2时，由f '(x)>0 得x<ln (2 a)或x>0,由f '(x)<0 得In (2 a)<x<0,•f(x)在(—a, ln (2 a))上单调递增，在(In (2 a), 0)上单调递减，在(0，+)上单1调递增，• f (x)有2个极值点；当a=刁时，f '(x) >0,二f (x)在R上单调递增，•f(x)没有极值点；1当a>2时，由f'(x)>0 得x<0 或x>ln (2 a),由f '(x)<0 得0<x<ln (2 a),••• f(x )在(—8, 0)上单调递增，在(0, In (2 a ))上单调递减，在(In (2 a ) ,+^)上单调递增，• f (x )有2个极值点.综上，当a <0时，f (x )有1个极值点;1当a >0且a z 2时，f (x )有2个极值点；当a = 2时,f (x )没有极值点.(2)由 f (x ) + e x >x 3+ x 得 x e x — x 3— ax 2— x >0.x 2当 x >0 时，e — x — ax — 1 >0,设 h (x ) = e x — x — 1，贝U h '(x ) = e x — 1.•/ x >0,「. h '(x )>0 ,.•• h (x )在(0，+m )上单调递增,• h ( x )> h (0) = 0,即 e x >x + 1,• g (x )在(0,1)上单调递减，在(1 ,+m )上单调递增, • g (x ) >g (1) = e — 2, • a w e — 2, •实数a 的取值范围是(一m, e — 2].即a w•对任意的x >0恒成立.x(x)=xe — x — 1。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(经典版)文档：高难拉分攻坚特训(三) Word版含解析

高难拉分攻坚特训(三)1．若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x ，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，选C.2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233解析如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，即λOA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2，3μ2，∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3(λ＋μ)2，又∵C 是劣弧AB ︵(包含端点)上一动点，设点C 坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，32≤y ≤1，∵OC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3(λ＋μ)2＝(x ，y )，∴32≤y ＝3(λ＋μ)2≤1，解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，233.3．已知函数f (x )＝x (a ＋ln x )有极小值－e －2. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意的x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，令f ′(x )>0⇒x >e －a －1，令f ′(x )<0⇒0<x <e －a －1，故f (x )的极小值为f (e －a －1)＝－e －a －1＝－e －2，得a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln xx －1，则g ′(x )＝x －2－ln x(x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，故h (x )在(1，＋∞)上是增函数．由于h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，故存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0. 则当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数．∵h (x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2， ∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0，∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，∴k max ＝3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－mk2为定值？若存在，求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)，半径r ＝1.设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，由题意可得⎩⎨⎧R ＝x ，R ＋1＝|PC |，所以|PC |＝x ＋1，即(x －1)2＋y 2＝x ＋1，整理得y 2＝4x .所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1k ，则直线l 的方程为y ＝1t (x －2)，即x ＝ty ＋2.联立，得⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋2，消去x ，得y 2－4ty －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－8.因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)，故k 1＝y 1x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4y 1，同理，得1k 2＝t ＋4y 2，所以1k 21＋1k 22－m k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4y 22－m k 2＝2t 2＋8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－mt 2＝2t 2＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(y 1y 2)2－mt 2 ＝2t 2＋8t ×4t－8＋16×(4t )2－2×(－8)(－8)2－mt 2＝2t2＋4－mt2＝(2－m)t2＋4，要使该式为定值，则需2－m＝0，即m＝2，此时定值为4.所以存在常数m＝2，使得1k21＋1k22－mk2为定值，且定值为4.。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(经典版)文档：中难提分突破特训(五) Word版含解析

中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，b n ＝a nn . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1， ∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n2n －1，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n ， ② ①－②，得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n2n＝1－12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n ， ∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.2．如图，在直角梯形ABED 中，AB ∥DE ，AB ⊥BE ，且AB ＝2DE ＝2BE ，点C 是AB 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置．(1)求证：平面PBC ⊥平面PEB ；(2)若PE 与平面PBC 所成的角为45°，求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．解 (1)证明：∵AB ∥DE ，AB ＝2DE ，点C 是AB 的中点， ∴CB ∥ED ，CB ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴CD ∥EB ，又EB ⊥AB ，∴CD ⊥AB ，∴CD ⊥PC ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面PBC ， ∴EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面PEB ，∴平面PBC ⊥平面PEB . (2)由(1)知EB ⊥平面PBC ，∴∠EPB 即为PE 与平面PBC 所成的角， ∴∠EPB ＝45°，∵EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ， ∴△PBE 为等腰直角三角形， ∴EB ＝PB ＝BC ＝PC ，故△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥BC ， ∵EB ⊥平面PBC ，又EB ⊂平面EBCD ， ∴平面EBCD ⊥平面PBC ，又PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，设BC ＝2，则B (0,1,0)，E (2,1,0)，D (2，－1,0)，P (0,0，3)，从而DE→＝(0,2,0)，PE →＝(2,1，－3)，设平面PDE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝0，m ·PE →＝0，得⎩⎨⎧2y ＝0，2x ＋y －3z ＝0，令z ＝2得m ＝(3，0,2)，又平面PBC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝37＝217，所以，平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为217.3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y 元，求Y 的分布列和数学期望．附：若ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.解 (1)x －＝1100×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，由正态分布知，P (5.5<X <9.5)＝P (μ<ξ<μ＋2σ)＝12P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝12×0.9544＝0.4772. 该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为47.72%.(2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4， Y 的取值为6,8,10,12.则P (Y ＝6)＝C 11C 13C 28＝328；P (Y ＝8)＝C 23＋C 11C 14C 28＝728＝14；P (Y ＝10)＝C 13C 14C 28＝1228＝37；P (Y ＝12)＝C 24C 28＝628＝314.所以Y 的分布列为E (Y )＝6×328＋8×14＋10×37＋12×314＝192＝9.5.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得⎩⎨⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝sin βcos 2β， ∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β， ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]．5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， ∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1 ①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32，综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4， ∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|，∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4，解得a ≥3或a ≤－5，故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．。

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中难提分突破特训(三)
1 •绿水青山就是金山银山•某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目•为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额.分组如下：[0,20) , [20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”. 填写下面列联表, 并根据列联表判断是否有95%勺把握认为“水果达人”与性别有关系？
参考公式和数据：K> n ad-bc 2
= a+ b c + d a+ c b+ d ，
n= a + b+ c+ d.
临界值表：
解(1) x = (10 X 0.005 + 30X 0.00 75 + 50X 0.010 + 70X 0.0125 + 90X 0.010 + 110X 0.005) X 20= 62.
估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元.
(2)列联表如下：
=A 是函数f (x )图象的一条对称轴， AD= 2BD= 2，求边a .
» n
解 (1) T f (x ) = 2sin x sin x + —,
r
1 \[3
f (x ) = 2sin x sin x • + 2sin x cos x •三 1 — cos2 x 3 3 1 1
= 2 ---- +~2sin2 x = 〒sin2 x — ^cos2x +
n 1
=sin 2x - 6 + 2
人
n n n
十
令-◎+ 2k n<2x -訂 T +2k n ，k € z ,得
n
n
即函数f (x )的单调递增区间为一—+ k n, — + k n , k €乙
⑵•/ x = A 是函数f (x )图象的一条对称轴，
n n
n k n
• 2A -〒= ：+ k n, k € 乙 • A ==+〒， k € 乙
6 2
3 2
在^ ABD 中, Z BAD=nn -, BD= ,2 , AD= 2, 由正弦定理，得 —2 =—三， sin
B =¥. • B =n .
1
sin B 2 4
2
K 2=
水果达人
非水果达人
合计男 10 40 50 女 20 30 50 合计
30
70
100
2
100X 10X 30-20X 40
50X 50X 30X 70~
4.762>3.841 ,
因此有95%勺把握认为“水果达人”与性别有关系.
n
2.已知函数 f (x ) = 2sin x sin x + 3 .
(1)求函数f (x )的单调递增区间;
⑵锐角△ ABO 的角A , B, C 所对的边分别是
a , b, c ，角A 的平分线交 BC 于
直线x
• C =n-
n 5 n 4 = 12
n n
Z
CD =G + 石=
5 n 12 .
n
x < — + k n, k €乙
又厶ABC 是锐角三角形,
••• AC= AD= 2.在厶ABC中，由正弦定理,
口BC 2 厂
得= ，…BC= a= 76.
sin 60 sin45
3.如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD^菱形，/ BAD= 60°, PA= PD= AD= 2,点
M在线段PC上,且PM= 3MC O N, Q分别为BD AD PA的中点.
(1) 求证：OQ/平面PBC
(2) 若平面PADL平面ABCD求三棱锥P- NBM勺体积.
解(1)证明：如图，连接AC
则AC与BD交于点Q易知OQ%A APC勺中位线，
所以OQ PC又OQ平面PBC PQ平面PBC所以OQ/平面PBC
(2)因为平面PADL平面ABCD平面PADn平面ABC= AD PA= PD
N为AD的中点，所以PNL AD所以PN丄平面ABCD所以PN丄NB
又四边形ABCD^菱形，/ BAD= 60° , PA= PD= AD= 2,所以PN= NB= 3 ,
- 1 厂厂3
所以S A PNE= 2X 3x 3 = 2 ,
又BNL AD PN L AD BNH PN= N,所以ADL平面PNB AD// BC
所以BC丄平面PNB
又PM= 3MC所以V三棱锥P-NBM= V 三棱锥M- PBN=
3-V4 三棱锥C- PBN=
即三棱锥P- NBM勺体积为扌.
4
x = 2cos 0 ,
4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(0为参数)，以坐
y = 2sin 0 + 2
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求C的极坐标方程；
n 2 n
(2) 若直线l 1, l 2的极坐标方程分别为0 = —( p € R), 0 =〒(p € R)，设直线I 1, I 2
与曲线C的交点为O, M N,求厶OM的面积.
x= 2cos 0 ,
(0为参数),
解⑴由参数方程y= 2sin 0+ 2
得普通方程为X2+ (y —2)2= 4,
2 2 2 2
所以C的极坐标方程为p cos 0 + p sin 0 —4p sin 0 = 0,
即p = 4sin 0 .
n (
(2)不妨设直线11: 0 ="6(p € R)与曲线C的交点为O, M
n
则p M= | OM = 4sin 6 = 2,
2 n
又直线1 2: 0 =-—( p € R)与曲线C的交点为O N,
3
2 n n
贝V p N= | ON = 4sin —= 2』3.又/ MOW-—, 3 2
1 1 所以S^OM= OM •丨ON = 2X 2X2; 3= 2“j3.
5. 已知函数f(x) =|3X+ 2|.
(1) 解不等式：f(x)<4 —| x—1| ;
1 1
(2) 已知m>0, n>0, n=1,若对任意的x €
R, m>0, n>0,不等式|x —a| —f(x) < +
m n (a>0)恒成立，求正数a的取值范围.
解⑴由题意得不等式为|3x+ 2| + |x —1|<4.
3
①当x>1时，原不等式化为4x+ 1<4,解得x<4,不符合题意；
2
②当—3<x<1时，原不等式化为2x + 3<4,
1
解得x<2,
2 1
/•—<x<—；
3 2'
2
③当x w —3时，原不等式化为—4x —1<4,
5 5 2
解得x>—；,•••—-<x w —7.
4 4 3
5 1
综上可得—4<x<2,
5 1
•原不等式的解集为一4,—.
(2) v m>0, n>0, m+ n= 1,
当且仅当m =丄且n = 1, n >0, n >0, 即卩m= n = 1时等号成立， n m 2
1 1
二一 + 一 min = 4・
m n
由题意得| x — a | — |3x +2| w 4( a >0)恒成立，
① 当x >a 时，可得x — a -3x — 2W4恒成立，即—a <2x + 6恒成立,
— a w (2 x + 6) min = 2a + 6,
由a >0,可得上式显然成立；
2
② 当—3<x <a 时，可得a — x — 3x —2<4恒成立，即a <4x + 6恒成立,
3 10 10
T 4x + 6>§，二 a w 3;
2
③ 当x w — 3时，可得a — x + 3x + 2W4恒成立，
3 即a w 2— 2x 恒成立, ••• a w (2 — 2x )min = 10.
10 ，亠 10
综上可得0<a w —,•.正数a 的取值范围是
0,—.
• _+ _= m n
m + n (m n)。