一种基于分裂合并的多边形逼近算法

Polygon Approximation Algorithm Based on the Split and Merge
HAO Yuan，HUANG Xue-mei，ZHANG Lei-an，WANG Jin-chuan
（School of Mechanical Engineering，Shandong University of Technology，Shandong Zibo 255049，China）
Abstract：The outline pixels of sectional medical image goal organization are not appropriate to be directly used in the geometric modeling，for it is with large amount of data after image segmentation，contour following. Polygon approximation is an important method in feature points extration and data reducing. In general，it presents a new polygonal approximation approach based on the fission and fusion，it will segment the outline pixel for line approximation and check collinear successive increase，fission and fusion，until all the approximate error in the designated area and approaching polygonal is no longer changed. The method can reduce the quantity of data effectively without changing the original profile，and greatly increase the computation efficiency. Key Words：Sectional Medical Image；Contour Following；Polygonal Approximation；Collinearity Test
3.3 两像素段共线检查
定义多边形上某顶点 i 相邻 2 条边所构成的夹角 Ai 称为该 顶点的夹角，0<Ai燮π。则两线段共线检查的基本步骤如下：（1）设 定一个角度阈值 α；（2）计算两线段 L1 与 L2 之间的夹角 A；（3）如 果 A>α，则可认为 L1，L2 共线，用连接 L1 起始端点和 L2 末端点之
算法
逼近前轮廓数据点 逼近后轮廓数据点 运行时间 T（s）
传统算法
1378
224
2.56
分段递增算法
1378
215
2.34
L3
从上面的实验图表和数据中可以看出，这种基于分裂、合并
图 5 线段合并 Fig.5 The Merging of Line Segment
3.4 分段递增逼近算法基本步骤
的分段递增多边形逼近算法能够在控制误差内有效地减少数据 点，并保持了原始曲线特征，且较于传统算法效率有所提高。
（1）
设 j，k 分别是作为共线检查点集的第一点和最后一点的下 标，di 是 i 点误差大小，dmax 为最大垂直距离，ε 为容许误差，m 是 出现逼近误差点的下标，L 是线段的长度。则共线检查的基本步 骤如下：（1）置 m=j，d0=0，dmax=0；（2）计算 L，Lsum；（3）如果比值 Lsum/ L<1.1，则返回成功，如果 Lsum/L>1.5，则返回失败；（4）For i=j+1 至 k-1，计算 di，如果 di 大于 dmax，则置 dmax=di 且 m=i；（5）如果 dmax 大 于 ε，则返回失败，否则返回成功。
1 引言
目标物体的轮廓蕴含了目标的重要信息，在三维重构，模式 识别和计算机视觉等领域有着重要的应用。医学图象目标组织轮 廓曲线建模是医学内植物设计和辅助手术匹配计算等应用的基 础。目前描述自由曲线曲面最流行的技术是非均匀有理 B 样条 （NURBS）法[1]。
方法需要从断层序列图象中（CT、MRI）提取出每层目标组 织轮廓的关键点，并在满足控制误差的条件下，对轮廓线像素点 进行 B 样条拟合，用尽可能少的数据量表示出各个断层的轮廓 曲线，然后按照 IGES 标准输出，形成 NURBS 曲线模型，再采用 其他 CAD/CAM 软件读入，进行后续处理[2]。
拆分点
拆分
合并点
合并
ΔP1P2P3 的面积计算公式是：
A=
1 2
x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1
（2）
则点 P2 到线段 P1P3 的垂直距离 d 是：
x1 y1 1
x2 y2 1
d= 2A = x3 y3 1
L
L
（3）
若给定点列 Pj，Pj+1，L，Pk-1，Pk，如图 3 所示。检查此点列是否
Pm
图 2 拆分与合并操作
Fig.2 Splitting and Merging
αmax
3 改进分段递增逼近算法
传统算法在编程调试时比较困难，运算量较大，处理速度较 慢，为进一步提高处理速度，提出一种基于分裂合并的分段递增 多边形逼近算法，该算法实现简单，在误差范围内可得到较好的 逼近效果。
3.1 算法思想
将连续断层医学图象序列置于笛卡尔空间坐标系中，可以 得到每一层医学图象的轮廓像素信息。假设在坐标系（x，y，z）中， 离散化后的轮廓序列为｛C1，C2，L，Ci，L，Cn｝，其中 C（i 1燮i燮n）表示 第 i 层轮廓点集。第 i 层轮廓序列的 z 值相同，在以下的多边形逼 近中，只考虑 x，y 的值。设经轮廓跟踪后获得的有序轮廓像素点 集为（P0，L，Pj，L，Pk），其中 P（j 0燮j燮k）表示一层轮廓上的像素点。 逼近算法总体描述如下：从 P0 开始，将像素点集分段执行线段逼 近操作，每段像素大小通常为（5~10）个象素；检查每段象素点是
多边形逼近问题就是研究如何采用极少量的点作为多边形
的顶点。用这个多边形逼近原始的数字曲线，以减少用于表达曲 线的数据量，同时极大限度地保留原始数字曲线的形状特征。也 就是说，多边形逼近的目的是使用尽量少的多边形的边刻画边界 图形的本质[5]，如图 1 所示。原始数字曲线上任意非多边形点到多 边形的距离越小，多边形与原始曲线的相似程度越大。
前一线段起始端点和后一线段末端点之间的线段代替这两线
段。如此反复迭代执行共线检查、夹角检查，直到逼近多边形不再
改变为止。
3.2 点列共线检查
各个点的垂直距离计算：假设平面上给定三个点 P（1 x1，y1）， P（2 x2，y2）和 P（3 x3，y3），则线段 P1P3 的长度计算公式是：
姨 L= 燮x3 -x1 燮2 + 燮y3 -y1 燮2
Pj
Pk
图 3 点列共线检查 Fig.3 The Collinear Check of Point Range
在奇异情况下共线检查有时会产生错误。奇异情况点列，如
图 4 所示。图中有序的点列是，F、G、H、G 与线段 FH 的垂直距离
小于容许误差 ε，如果采用最大垂直距离计算逼近误差，将得到
共线的结论，点 G 将被合并。但它们是不共线的，G 是反映轮廓形
状的特征点，不应被合并。为了避免这种情况，应首先对区间（Pj，
Pk）内各个线段的长度总和 Lsum 与直线 L 的比值进行判断；其中：
k
Σ Lsum=
Pi -Pi-1
i=j+1
如果 Lsum/L<1.1，不作任何其他的检查就可认为这一点列具 有共线性，如果 Lsum/L>1.5，就不具有共线性。
G
否近似共线，如果共线检查成功，说明这段像素近似共线，那么就 合并它们，用连接段首和段尾像素点的线段作为新的多边形的 边；如果共线检查失败，就将这段像素点集分裂，即以出现最大逼
P0
Pk
Pj
图 1 轮廓的多边形逼近 Fig.1 Polygonal Approximation of the Outline 通常，平面数字曲线的多边形逼近可分为 2 类：（1）给定多 边形的边数 M，寻找一个具有最小近似误差的近似多边形；（2）给 定一个容许误差，寻找一个近似误差不超过容许误差的，边数最 少的近似多边形[6]。提出的基于分裂合并的逼近方法属于第二类 多边形逼近算法[7-8]。
近似共线，最简单的共线检查可通过计算 Pj+1，L，Pk-1 各点到线段
PjPk 的垂直距离 dn 来实现（其中 j+1燮n燮k-1）。找出最大垂直距
离 dmax 作为逼近误差，并记下出现 dmax 的点 Pm，规定容许误差为
ε，若最大垂直距离 dmax>ε，那么就可认为这一点列不是共线的，反
之，则认为共线。
No.6
202
机械设计与制造
June.2013
间的线段 L3 代替 L1，L2，如图 5 所示。这样两条线段就合成了一 条线段，否则，则认为不共线，保持 L1，L2 不变。
L2
L1
A
表 1 多边形逼近实验结果 Tab.1 The Experiment Res ult of P olygonal Approximation
F
H
图 4 奇异情况点列 Fig.4 The Point Range of Singularity Points
近误差的顶点为分裂点，将该段象素分割成两段，再对第一点和
出现最大逼近误差的点之间的点集进行共线检查。共线检查成