411_圆的标准方程-数学必修2

解：设所求圆的方程为：(x a)2 (y b)2 r2
因为A(4,0),B (0,3),O(0,0)都在圆上，所以它们的坐标都
满足方程，于是
(4 a)2 (0 b)2 r2
(0
a)2
(3 b)2
r2
(0 a)2 (0 b)2 r2
a 2
b
3 2
r 2
25 4
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
x2 y2 r2
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判 断点 M1(5, 7) , M2( 5, 1)是否在这个圆上.
解: 所求的圆的标准方程是 (x 2)2 ( y 3)2 25 把点 M1(5, 7) 的坐标代入方程 (x 2)2 ( y 3)2 25 左右两边相等，点的坐标适合方程 所以点 M1(5, 7) 在这个圆上.
的距离．
则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
y M
r
C
O
x
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
(x a)2 (y b)2 r
把上式两边平方得：
(x a)2 (y b)2 r2
注意：1.圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2
2.若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
24
例3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C 在直线l：x －y +1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标
( 3 , 1), 22
直线AB的斜率:
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2
(2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2 b 3
r2 25
所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25
练习：已知 AOB 的顶点坐标分别为 A(4,0), B(0,3),O(0,0) ， 求 AOB 外接圆的方程
k AB
2 1 2 1
3
因此线段AB的垂直平分线
l ' 的方程是
y 1 1(x 3) 23 2
即 x 3y 3 0
y
A(1,1)
l
l : x y 1 0
O
x

C
B(2,-2)
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3, 2)
圆心为C的圆的半径长 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
练习2：指出下列方程表示的圆心坐标和半径： (1)x2+(y-2)2=9 (2)(x+1)2+(y+2)2=8 答案： (1)(0, 2)，r 3
(2) (1, 2), r 2 2
练习3：写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (2)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3)
y M2
o
A
x
M3
练习1： 已知圆O的方程为 (x 1)2 (y 1)2 4, 判断下面的
点 A1,1, B0,1, C 0,3. 在圆内、圆上、还是圆外？
解：因为 (11)2 (11)2 4, 所以点 A 在圆上；
因为 (0 1)2 (11)2 1 4 所以点 B 在圆内；
因为 (0 1)2 (3 1)2 5 4 所以点 C 在圆外。
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
r
C·
圆的定义： 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
定点就是圆心，定长就是半径.
1.思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
分析： 显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了。 因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径。
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C (a,b)
答案： (1)(x 3)2 ( y 4)2 5 (2)(x 8)2 ( y 3)2 25
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程为： (x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它们 的坐标都满足方程，于是
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
思考： 比较例2和例3，你能归纳求任意 ABC 外接圆的方程的 两种方法吗？
两种方法：待定系数法； 几何方法
求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
∵圆O和直线3x-4y-7=0相切， ∴半径ｒ等于圆心O到这条直线的距离.则：
r | 31 4 3 7 | 16
32 (4)2
5
因此，所求的圆的方程是：(x 1)2 (y 3)2 256 25
❖1.以（3，-4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程
❖ 是 (x-3) 2+(y+4)2=25
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
练习：求以O(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的
圆的方程.
解：已知圆心O是(1，3)，
设圆的方程为：(x-1)2+(y-3)2=r2
.
❖2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切，则b= 4或-4 .
❖3.求以点A (1, 5)与B（3，-1）为直径两端点的圆的方程。
(x 2)2 ( y 2)2 10
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
把点 M2( 5,1) 的坐标代入方程 (x 2)2 ( y 3)2 25 左右两边不相等，点的坐标不适合方程 所以点 M2( 5,1) 不在这个圆上.
y
O
x
M2
A
M1
点评： 点与圆的位置关系
如果设点M到圆心的距离为d,则可以看到：
点在圆上 d =r ； 点在圆外 d > r ；
点在圆内 d <r ．