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八年级上册数学第十二章全等三角形解答题 专题训练 12916含解析.docx
第十二章《全等三角形》解答题专题训练(12)一、解答题1.如图，点、B , F , C , E在一条直线上，FB = CE, AB = DE, AC = DF,求证：AB//DE.2.如图所示，已知ZDCE=90°, ZDAC=90°,BE±AC于B,且DC=EC,请找出与AB+AD相等的线段，并说明理由.3.如图，RtAABC中，AB=AC, ZBAC=90°,直线AE®是经过点AIS的任一直线，BD丄AE于D, CE±AE 于E,若BD>CE,试解答：(1) AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2) 若BD=5,CE=2,求DE 的长.5.如图，CD是ZACB的平分线，EFXCD于H,交AC于F,交BC于G.16.如图，四边形ABCD 中，BA=BC, DA=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 "筝形"，其对角线AC 、BD 交于点M,请你猜想关于筝形的对角线的一条性质，并加以证 明.猜想：证明：7.如图，在锐角△ABC 中，AB=2cm, AC=3cm.（1） 尺规作图：作BC 边的垂直平分线分别交4C, BC 于点D 、E （保留作图痕迹，不要求 写作法）；（2） 在（1）的条件下，连结BD,求AABD 的周长.&如图，两车从路段AB 的两端同吋出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同吋间后分 别到达C 、D 两地，CEXAB, DFXAB, C 、D 两地到路段AB 的距离相等吗？为什么？ £ d f 9.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，ZA = 90° , AB=AC, D 是斜边BC 的中点，E,F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE 丄DF,若BE=15, CF=8,求ZX/IEF 的面积.求证：®ZCFG=ZCGF ； ®ACFE = -^BAC + Z4BC). 乙 D B10.如图，要测量河流AB的长，因为无法测河流附近的点4,可以在AB线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E,连结ED和B£＞，并且延长BD到点G,使DG = BD ；延长ED到点F,使= 连结FG ,并延长FG到点H,使点H.D, 4在同一直线上•证明：测量出线段HG的长就是河流AB的长.ZA = 60°, ZC= 40°, DE 垂直平分BC,连接BD.（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F.（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D到B/», BC的距离相等.12.如图，BD，CE是ZkABC的高，S.AE = AD，求证：AB = AC.A13.已知：如图，AE〃BF, ZE=ZF, DE=CF,（1）求证：AC=BD；（2）请你探索线段DE与CF的位置关系，并证明你的结论.'B14.如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.(D若固定三根木条AB, BC, AD不动，AB = AD = 2cm, BC = 5cm,如图，量得第四根木条CD= 5cm,判断此时与是否相等，并说明理由.(2)若固定二根木条AB，不动，AB = 2cm, BC = 5cm,量得木条CD = 5cnz,ZB = 90，写出木条4D的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可).⑶若固定一根木条4B不动，AB = 2cm,量得木条CD = 5c〃.如果木条AD,BC的长度不变，当点£>移到B4的延长线上时，点C也在的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点4，C, D 能构成周长为30c加的三角形，求出木条A£>, BC的长度.15.如图，点O在AABC的内部，且在ZBAC的角平分线上，OM丄AB,垂足为M；ON丄AC,垂足为N,并且OB=OC.求证：AB=AC.16.如图，点E在长方形ABCD的边BC上，AE丄EF,点F在边CD上，已知EC=AB=3cm,BC=5cm.求四边形AEFD的面积.17.已知：如图，CD丄AB 于D, BE±AC 于E, Z1=Z2.求证：OB = OC.18.如图，在口ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP〃BC, 交DC的延长线于点P.(1)求证：△ABE9Z\DCF；(2)当ZP满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论.19. (1)如图1,在四边形ABCD 中，AB = AD, ZB=ZD = 90°, E、F 分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=丄ZBAD.求证:EF=BE + FD;2(2) 如图2在四边形ABCD中，AB = AD, ZB+ZD = 180°, E、F分别是边BC、CD ±的点，且ZEAF=fzBAD,⑴中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图3在四边形ABCD中，AB = AD, ZB+ZADC= 180°, E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=丄ZBAD,⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.B, C, D 在同一条直线上，EAXAD, FDXAD, AE=DF, AB=DC.A图1 图2 图3试说明：ZACE=ZDBF. 20.如图，点A,【答案与解析】一、解答题1. 见详解由EB = CE得到BC = FE,利用SSS证明△ ABC^ADEF,得到ZB=ZE,即可得到AB//DE.解:•: FB = CE ,:.FB+FC^CE+CF,即BC = FE,V AB = DE, AC^DF,A AABC^ADEF,.\ZB=ZE,AB//DE-【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS, ASA, AAS, SSS.2. AC和BE,理由见解析.根据题意通过“角角边”证明厶DAC处CBE,得到AD=BC, AC=BE,贝ljAB+AD=AB+BC=AC=BE.解：与AB+AD相等的线段有AC、BE.理由：V BE±AC,:.ZACE+ZACD=90°,'：ZDAC=90°,.•.ZD+Z4CD=90°,.I ZACE=ZD,在△D4C 与ZiCBE 中，\z.A = ^EBCZD =厶BCEI DC = EC ':.厶DAC竺"BE (AAS),:.AD=BC, AC=BE,:.AB+AD=AB+BC=AC=BE.【点睛】本题考点：全等三角形的判定与性质.3. （1） AD=CE,理由见解析；（2） 3.试题分析：（1）利用角角边证ABD^ACAE；得出BD=AE, AD=CE；（2）证法同上，从而得出BD=DE+CE.试题解析：（8分）（1） AD = CE因为ZBAC = 90°, BD1AE,所以ZABD=ZCAE,又因为AB = AC, ZADB=ZAEC = 90°,根据"AAS"可得Z\ABD竺ACAE,所以AD = CE.（2）因为△ ABD^ACAE,所以BD = AE,所以DE=AE-AD = BD-CE=5 — 2=3.考点：全等三角形的判定.4•证明见解析.先证明AADC竺△AEC,贝IJZACD=ZACE,再由AB〃DC,得至IJZACD=ZBAC,于是ZACB=ZBAC.证明：TAB 〃DC.•.ZACD=ZBACTAE 丄BCAZAEC=90°在RtAACE 和RtAACD 中AC = ACCE = CD:.RtAACE^RtAACD （HL）.・.ZACB=ZACD..•.ZACB=ZBAC,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键.5.见解析（1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定得出ACFH^ACGH,进而得出ZCFG=ZCGF；（2）根据外角的性质以及（1）中结论得出ZBAC+ZABC=ZCFG+ZCGF,即可得出答案. 证明：①TCD是ZACB的平分线，EF±CD于H,:.ZFCH=ZGCH,•.•在ACFH和ACGH 中，Z.FCH =厶GCH CH = CHIzCHF =厶CHG:.ACFH^^CGH(ASA),:.ZCFG=ZCGF；②'：ZE+ZBGE=ZABC,:.Z BAC+ ZABC= Z BAC+ ZE+ZBGE,•: ZCGF=ZBGE,:.Z BAC+ ZABC= ZBAC+ ZE+ZCGF,•: ZBAC+ZE=ZCFG,:.Z BAC+ ZABC= ZCFG+ ZCGF,•: ZCFG=ZCGF,1：.^CFE = -^BAC + Z/1BC).【点睛】考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.6.筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分ZABC且BD平分ZADC；证明见解析利用SSS 定理证明厶ABD^ACBD,可得ZABD=ZCBD, ZADB=ZCDB,从而可写出关于筝形的对角线的一条性质，筝形有一条对角线平分一组对角.解：筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分ZABC且BD平分ZADC证明：•.•在AABD和ACBD中BA=BC, DA=DC, BD=BD.•.AABD^ACBD(SSS).•.ZABD=ZCBD, ZADB=ZCDB即BD平分ZABC,且BD平分ZADC.A【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握SSS定理及全等三角形对应角相等是本题的解题关键.7. （1）作图见解析；（2）ABD的周长为5cm.分析：（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC；（2）利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC,贝闲用等量代换得到AABD的周长=AB+AC,然后把AB=2cm, AC=3cm代入计算计算.详解：（1）如图，DE为所作；（2） VDE垂直平分BC,.・.DB=DC,.'.△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5 （cm）.点睛：本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.8 . CE=DF,理由见解析.根据题意可得ZAEC=ZBFD=90° , AC=BD,再根据平行线的性质可得ZCAE=ZDBF, 然后再利用AAS 判定△ AEC竺△BFD,进而可得CE=DF.解：AC=BD又T AC〃DB.・.ZCAE=ZDBF又TZDFB=ZCEA=90°；在AOBF和Z\CAE中ACEA = ZDFB<ZCAE = ZDBFAC = BDA ADBF^ACAE (AAS)CE=DFAC, D两地到路段AB的距离相等.【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件.9. 60由"ASA"可证△ AED^ACFD,可得AE = CF = 8,可得AF = BE = 15,即可求解.解：I•在RtAABC中，AB = AC, AD为BC边的中线，.•.ZDAC=ZBAD=ZC=45°, AD丄BC, AD = DC,又TDE丄DF, ADXDC,.•.ZEDA+ZADF=ZCDF+ZFDA=90°,.\ZEDA=ZCDF在Z\AED 与ACFD 中，/EDA = ZCDF<AD = CDZEAD = ZCAAAED^ACFD (ASA)..・.AE = CF = 8,/.AB - AE=AC - CF,.•.AF = BE=15,VZEAF = 90°,1:.S AAEF —— xAExAF = 60.2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求AE=CF是本题的关键.10.见解析.利用全等三角形的判定得出△ BED^AGFD (SAS),结合题意，根据全等三角形的性质得到△ ABD 竺△HGD (ASA),根据利用全等三角形的性质对应边相等，进而得出答案. •.•在ABED 和Z:\GFD 中BD = DG< ZBDE = ZGDF ,DE = FD.'.△BED 竺△GFD(SAS),.•.ZE=ZF, ZEBD=ZFGD,.•.ZABD=ZHGD,在ZkABD 和Z\HGD 中ZABD = ZHGD•: <BD = DG ,ZBDA = ZGDH.-.AABD^AHGD(ASA),根据利用全等三角形的性质对应边相等..\HG=AB.【点睛】本题考查全等三角形的判定(ASA、SAS)与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(ASA、SAS)与性质.11. (1)如图所示，DF即为所求，见解析；(2)见解析.(1) 直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；(2) 根据角平分线的性质解答即可.(2) '.•△ABC 中，Z4 = 60°, ZC=40°,ZABC=80°,T DE垂直平分BC,:.BD = DC,.•.ZDBC=ZC= 40°,Z4BD=ZDBC=40°,即BD是ZABC的平分线，"：DF±AB, DE±BC,:.DF=DE,即点D到BA, BC的距离相等.【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键.12. 详见解析直接利用已知得出ZADB=ZAEC,进而利用全等三角形的判定与性质得出答案.BD, CE是AABC 的咼，ZADB = ZAEC = 90°，在AABD和AACE中，= ZA< AD = AEZADB = ZAEC:.ABD^ ACE (ASA).AB=AC.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.13. (1)见解析⑵见解析试题分析:⑴先根据两直线平行，内错角相等证得ZA=ZB,再根据,A=,B,ZE=ZF,DE=CF可证得△4ED竺ZXBFC,再根据全等三角形的性质可得AD=BC,根据线段和差关系得:AC=BD,⑵因为(1)中厶AED竺“BFC,所以ZEDA=ZFCB,根据内错角相等,两直线平行，可证DE//CF.(1)TAE〃BF, .I ZA=ZB,，ZA=ZB在AADE 和ZkBCF 中，< AE=BF ，ZE=ZFLA A ADE^A BCF, .・.AD=BC,...AD - DC=BC - CD,即：AC=BD .(2)DE/7CF.V AADE^ABCF,.•.ZADE=ZBCF,.・.DE〃CF.14. (1)相等，理由见解析；(2) A/29-5<AD<A/29+5;(3) AD = 13, BC^IO或AD=8, BC=15试题分析：（1）相等.连接AC,根据SSS 证明两个三角形全等即可.（2） 由勾股定理求出AC,再根据三角形三边的关系求出AD 的取值范围.（3） 分两种情形①当点C 在点D 右侧时，②当点C 在点D 左侧时，分别列出方程组即可 解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意.试题解析：⑴解：相等.理由如下：连结AC,如图所示：AD^AB,BC = CD,AC^AC.-.AABC = AA£>C:.ZB = ZD(2)解：连结AC,ZB = 90:.AC = 7AB 2+BC 2 = V29.•.A /29-5< AD<>/29 + 5（只要直接写出一个符合要求的值即可，如：1, 2等）⑶设= BC = y,AD = 13,BC = 10. ①当点C 在点D 右侧时，＜ x+2=y+5 2 + y + 5 + x = 30 解得: x = 13 y = io②当点C 在点D 左侧时，＜解得：V 卜=15AD = &BC = 15.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、二元一次方程组、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面.15•证明见解析试题分析：利用斜边直角边定理证明ABOM和ACON全等，根据全等三角形对应角相等得到ZMBO=ZNCO,再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；试题解析：证明：•.•点0在ZBAC的角平分线上，0M丄AB, ON±AC.•.OM=ON,又VOB=OC,在RtABOM 与RtACON 中OM = ONOB = OCRtABOM ^RtACON,.•.ZMBO=ZNCO,又VOB=OC,.•.ZOBC=ZOCB,/.ZABC=ZACB,.・.AB=AC.16. ｛解析｝根据ASA可证明A ABE= AECF,利用S HWAEFD=S长方形ABCD-2S AABE即可得答案.•.•ZCEF+ZAEB=90°, ZAEB+ZBAE=90°,.•.ZBAE=ZCEF,又TAB=CE, ZABE=ZECF=90°, .'.AABE^AECF,•'•S H边JKAEFD=S出方）BABCD-2S AABE=3X5-2X——x （5-3 ） x3=9.2【点睛】本题考查全等三角形的判定及长方形、三角形面积公式，利用ASA证明AABE^AECF是解题关键.17. 证明见解析试题分析：又CD丄AB, BE丄AC, Z1=Z2,可得OE=OD, ZBDO=ZCEO=90°,再由Z BOD=ZCOE,可得△ BOD竺△COE,从而0B = OC.试题解析：TCD丄AB, BE丄AC, Z1=Z2, .•.OE=OD, ZBDO=ZCEO=90°,又VZBOD=ZCOE, .'.△BOD 竺△COE, /.OB = OC.考点：1.角平分线的性质；2.三角形全等的判定与性质.18. （1）证明详见解析；（2） ZP=90。
八年级数学上册第12章全等三角形证明经典50题(含答案)
3. 已知：∠ 1=∠2，CD=DE，EF//AB ，求证： EF=AC
A 12
F
C D E B
过 C 作 CG∥EF 交 AD 的延长线于点 G
CG∥EF，可得，∠ EFD＝CGD
DE＝ DC
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∠FDE＝∠ GDC（对顶角） ∴△EFD≌△ CGD EF＝CG ∠CGD＝∠ EFD 又， EF∥AB ∴，∠ EFD＝∠ 1 ∠1= ∠2 ∴∠ CGD＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC＝ CG 又 EF＝CG ∴EF＝ AC
∵∠ EAB= ∠ BDE，
∴∠ AED= ∠ABD ，
∴四边形 ABDE 是平行四边形。
∴得： AE=BD ，
∵AF=CD,EF=BC ，
∴三角形 AEF 全等于三角形 DBC，
∴∠ F=∠C。
14.已知： AB=CD ，∠ A= ∠D，求证：∠ B=∠C
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A
D
B
C
证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E，（当 AD<BC 时，E 点是射 线 BA,CD 的交点， 当 AD>BC 时，E 点是射线 AB,DC 的交点） 。则： △AED 是等腰三角形。 ∴ AE=DE 而 AB=CD ∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△ BEC 是等腰三角形 ∴∠ B=∠C.
AE=AD+BE
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在 AE 上取 F，使 EF＝EB，连接 CF ∵ CE⊥AB ∴∠ CEB＝∠CEF＝90° ∵ EB＝EF， CE＝CE， ∴△ CEB≌△CEF ∴∠ B＝∠ CFE ∵∠ B＋∠ D＝180°，∠ CFE＋∠ CFA＝180° ∴∠ D＝∠ CFA ∵AC 平分∠ BAD ∴∠ DAC ＝∠ FAC 又∵ AC＝AC ∴△ ADC ≌△ AFC（SAS） ∴AD ＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD ＋BE
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典题(含答案解析)
一、选择题1．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能 2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．34．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．ACB DBC ∠=∠5．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )A．a＋c B．b＋cC．a＋b－c D．a－b＋c6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y轴的正半轴于A点，B点，分别以点A，点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点，若点P的坐标为(m，n)，则下列结论正确的是（）A．m＝2n B．2m＝n C．m＝n D．m＝－n7．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA8．下列各命题中，假命题是（）A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等9．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD10．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF 11．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 12．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠213．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°14．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 15．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b二、填空题16．如图，∠ABC=∠DCB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需要补充一个条件：___．（一个即可）17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．19．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，AB=10cm,则S △ABD =______．20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．21．如图，ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是10、15、20，三条角平分线交于O 点，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．22．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD AC =，DE AB ⊥，交BC 于点E ．若26B ∠=︒，则AEC ∠=______︒．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．24．如图，在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，AD BD ⊥于点D ，CE BD ⊥于点E ，若7CE =，5AD =，则DE 的长是______．25．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．26．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．三、解答题27．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．28．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．求证：CD 平分ACE ∠．29．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．30．已知：如图，AB ＝ AD ．请添加一个条件使得△ABC ≌△ADC ，然后再加以证明．。
八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)
八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2AD B C1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)AB C D EF 2 1 DAB C∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DCB ACDF21 E∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC4.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2AD B C7. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2DA B C8. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒D解析：D【分析】 先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB 即可得出∠BAD 的度数．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠D=28°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，∵∠EAB=20°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．3．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > A解析：A【分析】 当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合， 所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，故选为：A ．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．4．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【详解】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DE ，∴添加∠A=∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；添加BC=EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；添加∠ACB=∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；添加AC DF =，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC ≌△DEF ；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 和HL 是解题的关键．5．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4B解析：B【分析】 先延长AD 到E ，且AD DE =，并连接BE ，由于ADC BDE ∠=∠，BD DC =，利用SAS 易证ADC EDB ≌，从而可得AC BE =，在ABE △中，再利用三角形三边的关系，可得28AE <<，从而易求14AD <<．【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，则AE=2AD ，∵AD DE =，ADC BDE ∠=∠，BD DC =，∴ADC EDB ≌()SAS ，3BE AC ∴==，在AEB △中，AB BE AE AB BE -<<+，即53253AD -<<+，∴14AD <<．故选：B ．【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 6．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙B解析：B【分析】 甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS 判定与△ABC 全等；丙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等；则与△ABC 全等的有乙和丙，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．7．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒C解析：C【分析】 先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠B=∠C ，∵∠C=35︒，∴∠B=35︒，∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．8．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA C解析：C【分析】 根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．9．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD C解析：C【分析】 利用全等三角形的判断方法进行求解即可．【详解】A 、因为 BM ∥CN ，所以∠ABM=∠DCN ，又因为∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(AAS)，故A 选项不符合题意；B 、因为∠M=∠N ，∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(ASA)，故B 选项不符合题意；C 、BM=CN ，不能判定△ABN ≅△DCN ，故C 选项符合题意；D 、因为AB=CD ，∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(SAS)，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B【分析】 由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中 OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．二、填空题11．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角 解析：212cm【分析】如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE SS =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．【详解】 解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，AE 平分DAB ∠，BAE DAE ∴∠=∠，//AD BC ，//AD BM ∴，BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，又 BE 平分CBA ∠，ABE MBE ∴∠=∠，BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，()ABE MBE AAS ∴≅，90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，DAE CME AE ME ∠=∠=，，AED MEC ∠=∠，()ADE MCE ASA ∴≅，ADE MCE S S ∴=，3cm AE =，4cm BE =，21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形， 故答案为：212cm ．【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．12．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析：15【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．由作图可知，AD 平分∠CAB ，∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15， 故答案为15．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D＝20°，则∠A＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC∠ACE＝2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE∠A＝∠ACE﹣∠ABC即得出∠A＝2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∠A＝∠ACE﹣∠ABC．即得出∠A＝2∠D，即得出答案．【详解】∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），∴∠A＝2∠D＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若14．如图，ABC ADE∠=________︒．∠=︒，10B∠=︒，30EAB120CAD∠=︒，则CFD95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定解析：95【分析】根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵ABC ADE ≅，∴()12010255BAC DAE ∠=∠=-÷=，∴85ACF BAC B ∠=∠+∠=，∴18085CFA ACF CAD ∠=-∠-∠=，∴1808595CFD ∠=-=．故答案为：95．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．15．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．3【分析】过点D 作于点H 先证明BD 是的角平分线然后根据角平分线的性质得到当点P 运动到点H 的位置时DP 的长最小即DH 的长【详解】解：如图过点D 作于点H ∵∴∵∴∴BD 是的角平分线∵∴∵点D 是直线BC 外一解析：3【分析】过点D 作DH BC ⊥于点H ，先证明BD 是ABC ∠的角平分线，然后根据角平分线的性质得到3AD DH ==，当点P 运动到点H 的位置时，DP 的长最小，即DH 的长．【详解】解：如图，过点D 作DH BC ⊥于点H ，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒，180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒，ADB C ∠=∠，90A ∠=︒，∴ABD CBD ∠=∠，∴BD 是ABC ∠的角平分线，∵AD AB ⊥，DH BC ⊥，∴3AD DH ==，∵点D 是直线BC 外一点，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长，即DP 长的最小值是3．故答案是：3．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质定理．17．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1＝∠2AC ＝AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1＝∠2AC ＝AC ∴若添加条件AB ＝A解析：AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC ＝AC ，然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件，本题得以解决．【详解】由已知可得，∠1＝∠2，AC ＝AC ，∴若添加条件AB ＝AD ，则△ABC ≌△ADC （SAS ）；若添加条件∠ACB＝∠ACD，则△ABC≌△ADC（ASA）；若添加条件∠ABC＝∠ADC，则△ABC≌△ADC（AAS）；故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B 运动，同时，点Q以x cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动，则△ACP与△BPQ全等时，x的值为_____________2或【分析】由∠A＝∠B可知△ACP与△BPQ全等时CP和PQ是对应边则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t秒则AP＝2tBP＝AB－AP＝8－2tBQ＝xt∵∠解析：2或5 2【分析】由∠A＝∠B，可知△ACP与△BPQ全等时，CP和PQ是对应边，则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可．【详解】设动点的运动时间为t秒，则AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是对应边，当△ACP与△BPQ全等时，①AP＝BQ，即：2t＝ xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此时，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝5 2故填：2或52．【点睛】本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．19．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为___．cm2【分析】如图延长AP 交BC 于T 利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题【详解】解：如图延长AP 交BC 于T ∵BP ⊥AT ∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP ∠PBA=∠PBT ∴△BPA ≌ 解析：12 cm 2 【分析】如图，延长AP 交BC 于T ．利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP 交BC 于T ．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==，1122PBC ABC S S ∴==， 故答案为12cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或7 2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC∆与QFC∆全等，PC QC，683∴-=-t t，解得:1t=；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或72．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm，点C在射线AM上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC 的长约为 cm （精确到0.lcm ）．（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．解析：（1）见解析，1.2；（2）x=d 或x≥a【分析】（1）可以取BC ＝1.2cm （1cm ＜BC ＜2cm ），画出图形即可； （2）当x ＝d 或x≥a 时，三角形是唯一确定的．【详解】（1）如图，选取的BC 的长约为1.2cm ，故答案是：1.2；（2）若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是x ＝d 或x≥a ，故答案为：x=d 或x≥a ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，属于中考常考题型．22．如图，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P ，AB DB =，C E ∠=∠，CDE ABD ∠=∠．（1）求证：ABC DBE ≌；（2）已知162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CDE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）66°【分析】（1）根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE ，再证明∠ABC=∠DBE ，根据AAS 可证明△ABC ≌△DBE ；（2）根据∠ABE 和∠DBC 的度数可以算出∠CBE 和∠ABD 的度数，从而得到∠CDE ．【详解】解：（1）∵∠C=∠E ，∠CPD=∠EPB ，∴∠CDE=∠CBE ，∵∠CDE=∠ABD ，∴∠CBE=∠ABD ，∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD ，即∠ABC=∠DBE ，又∠C=∠E ，AB=DB ，∴△ABC ≌△DBE （AAS ）；（2）∵162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，∴∠ABD=∠CBE=（162°-30°）÷2=66°，∴∠CDE=∠CBE=66°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，寻找三角形全等的条件是解题的关键．23．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．解析：见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．【详解】证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．24．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：（1）如图1，∠AOB ＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB 内部任意画一条射线OC ；画∠AOC 的平分线OM ，画∠BOC 的平分线ON ；用量角器量得∠MON ＝______． （2）如图2，∠AOB ＝90°，将OC 向下旋转，使∠BOC ＝30°，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．解析：（1）作图见解析，45；（2）能，45【分析】（1）以点O 为圆心，任意长为半径，画圆弧，并分别交OA 、OC 于点H 、点G ；再分别以点H 、点G 为圆心，以大于12HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ，过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线；同理得∠BOC 的平分线ON ；通过量角器测量即可得到∠MON ；（2）根据题意，得114522COM AOC BOC ∠=∠=+∠，12CON BOC ∠=∠，结合MON COM CON ∠=∠-∠，经计算即可得到答案．【详解】（1）作图如下用量角器量得：∠MON ＝45故答案为：45；（2）∵∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，且∠AOB ＝90°∴()11145222COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12CON BOC ∠=∠ ∴11454522MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+∠-∠=． 【点睛】本题考查了角平分线、射线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质，从而完成求解．25．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，D 是BC 的中点，证明：∠B =∠C ．解析：见解析【分析】通过角平分线上点的性质、D 为BC 中点、DE ⊥AB 、DF ⊥AC 证明出BDE CDF ≌，从而证明∠B =∠C ．【详解】∵AD 是AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∵D 是BC 的中点，∴BD =CD∵△BDE 与△CDF 是直角三角形∴BDE CDF ≌∴∠B =∠C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质，正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键．26．如图，E 、A 、C 三点共线，//AB CD ，B E ∠=∠，AC CD =．求证：BC ED =．解析：证明见解析【分析】利用AAS 证明△ABC ≌△CED 即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴BAC ECD ∠=∠，在ABC 和CED 中BAC ECD B EAC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC CED AAS △≌△，∴BC ED =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 28．已知：如图，AOB ∠．求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ；②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ；④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；A OB '''∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C D ''．由作法可知OC O C ''=,，，∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）．∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角．解析：（1）补全图形见解析；（2）OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．【分析】（1）根据题意要求作图即可；（2）根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可．【详解】(1)作图：(2)连接C D ''，∵OC O C ''=，OD O D ''= ，CD C D ''=，∴COD C O D '''≅（SSS ），∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角故答案为：OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．．【点睛】此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．。
(完整版)八年级数学全等三角形练习题含答案.docx
全等三角形复习练习题一、选择题1．如图，给出下列四组条件：① AB DE ，BC EF ，AC DF ；② ABDE ， BE ， BC③ BE ， BC EF ， C F ；④ AB DE ，AC DF ， B其中，能使 △ ABC ≌△ DEF 的条件共有（）A ． 1 组B ．2 组C ．3 组D ．4 组2. 如图， D ，E 分别为 △ ABC 的 AC ， BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 P 处．若 CDE48°，则 APD 等于（）A ． 42° B． 48° C． 52° D ． 58°3. 如图（四），点 P 是 AB 上任意一点， ABCABD ，还应补充一个条件，才能推出 △ APC ≌△ APD ．从下列条件中补充一个条件，不一定能 推出 △ APC ≌△ APD 的是（ ）．．．．A ． BC BDB. AC ADC. ACB ADBD. CAB DAB4. 如图，在△ ABC 与△ DEF 中，已有条件 AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ ABC ≌△ DEF ，不能添加的一组条件是 ( )(A) ∠B=∠ E,BC=EF （B ）BC=EF ， AC=DF(C) ∠A=∠ D ，∠ B=∠E （D ）∠ A=∠D ，BC=EF5．如图，△ ABC 中，∠ C = 90 °， AC= BC ，AD 是∠ BAC 的平分线，DE ⊥AB 于 E ，若 AC= 10cm ，则△ DBE 的周长约等于 ( )A ．14cmB ．10cmC ．6cmD ． 9cm6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（Ａ． 1 处 Ｂ． 2 处 Ｃ． 3 处Ｄ． 4 处EF ；E ．CBPD图（四）CDAE②）③①AB④7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去 B ．带②去C．带③去D．带①②③去8．如图，在Rt△ABC中，B90， ED 是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知BAE10 ，则C的度数为（）AD A．30B． 40C．50D．609．如图，△ ACB≌△ A C B ， BCB =30°，则ACA 的度数为（B E ）A．20°B．30°C．35°D．40°A A CBA BB C D10．如图， AC＝ AD，BC＝BD，则有（）A． AB垂直平分CD B．CD垂直平分 ABC． AB与 CD互相垂直平分D． CD平分∠ ACB11.如图 , ∠ C=90°,AD 平分∠ BAC交 BC于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 AB的距离为（）A. 5cmB. 3cmC. 2cmD.不能确定AAPC BO BD12．如图， OP平分AOB ， PA OA ， PB OB ，垂足分别为 A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． PA PB B． PO 平分APBD C． OA OB D ． AB 垂直平分 OP13. 如图，已知 AB AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定（）A． CB CD B ．∠BAC ∠DACA C．∠ BCA∠DCA D．∠B∠D 90C CB14. 观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（）⋯⋯第 1 个第2个第3个A． 2n 2B． 4n 4C． 4n 4D． 4n二、填空题1. 如图，已知 AB AD ， BAE DAC ，要使△ ABC ≌ △ ADE ，可补充的条件是（写出一个即可）．ABEE C DA DCB2.如图 , 在△ ABC中, ∠C=90°,AC=BC,AD平分∠ BAC交 BC 于 D,DE⊥AB 于 E,且AB=5cm,则△ DEB的周长为 ________3. 如图，BAC ABD ，请你添加一个条件：，使OC OD （只添一个即可）．CDOA B4.如图，在 ABC中，∠ C=90°∠ ABC的平分线 BD交 AC于点 D, 若 BD=10厘米，BC=8厘米， DC=6厘米，则点 D 到直线 AB的距离是 __________厘米。
八年级数学全等三角形复习题及答案
八年级数学全等三角形复习题及答案初二数学第十一章全等三角形综合复切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图，A,F,E,B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。
求证：△ACF≅△BDE。
证明：因为AC⊥CE，BD⊥DF，所以AC∥BD。
又AE=BF，AC=BD，所以△ACF≅△BDE（ASA）。
例2.如图，在△ABC中，BE是∠XXX的平分线，AD⊥BE，垂足为D。
求证：∠2=∠1+∠C。
证明：因为BE是∠ABC的平分线，所以∠ABE=∠XXX。
又AD⊥BE，垂足为D，所以∠ADE=∠XXX。
因此，∠2=∠ADE+∠XXX∠BDE+∠XXX∠1+∠C。
例3.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90.F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF和CF。
求证：AE=CF。
证明：连接AC。
因为AB=BC，∠ABC=90，所以AC是△ABC的中线，即AC=BC。
又因为BE=BF，所以△ABE≅△CBF（SAS），从而AE=CF。
例4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD。
证明：连接AC。
因为AB//CD，AD//BC，所以△ABC∥△ADC。
又因为AB=AC+BC，CD=AC+AD，所以AB=CD。
例5.如图，AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P。
求证：BP为∠MBN的平分线。
证明：连接BP。
因为AP是∠MAC的平分线，所以∠BAP=∠CAM。
又因为CP是∠XXX的平分线，所以∠BCP=∠XXX。
因此，∠BAP+∠BCP=∠CAM+∠XXX∠MAN=∠XXX。
又因为AP⊥BP，CP⊥BP，所以BP是∠MBN的平分线。
例6.如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线。
求证：AC=2AE。
证明：连接DE。
因为CD=AB，∠ADB=∠BAD，所以△ADB≅△CDB（AAS）。
八年级数学上册 第12章 全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2AD B CDA B C证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGAB C D EF 2 1 B ACDF21 E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=28. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=29. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2DA B C证明：连接BF 和EF 。
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第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例 1. 如图，A, F ,E, B 四点共线，AC CE， BD DF，AE BF，AC BD 。
求证：ACF BDE 。
例 2.如图，在ABC 中， BE 是∠ABC的平分线，AD BE ，垂足为 D 。
求证：21 C 。
例BE 3. 如图，在BF ，连接ABC 中， AB BC ，AE, EF 和CF。
求证：ABCAE90o。
FCF 。
为 AB 延长线上一点，点E在 BC上，例 4. 如图，AB // CD，AD // BC，求证：AB CD 。
例 5. 如图， AP, CP 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的平分线，它们交于点P 。
求证：BP 为MBN 的平分线。
例 6. 如图，D是ABC 的边 BC 上的点，且 CD AB ， ADB BAD，AE是ABD 的中线。
求证： AC2AE 。
例7.如图，在ABC中， AB AC，12， P为 AD上任意一点。
求证：AB AC PB PC。
同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC 的是()3， A 30oA.AB3， BC4， CA8B.AB4， BCC.C60o， B45o，AB4D.C90o，AB63.如图，已知12， AC AD ，增加下列条件：① AB AE ；② BC ED ；③C D ；④B E 。
其中能使ABC AED 的条件有()A.4 个B.3个C.2个D.1个4. 如图，1 2 ， C D ，AC , BD交于 E 点，下列不正确的是()A.DAE CBEB.CE DEC.DEA 不全等于CBED.EAB 是等腰三角形5. 如图，已知AB CD，BC AD，B23o，则 D 等于()A. 67oB.46oC. 23oD. 无法确定二、填空题：6.如图，在ABC 中， C 90o，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，且CD : AD 2:3 ， AC10cm ，则点 D 到 AB 的距离等于__________cm；7. 如图，已知AB DC，AD BC ，E,F是 BD 上的两点，且 BE DF ，若AEB 100o， ADB 30o，则BCF ____________；8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD 的大小为_________；9.如图，在等腰 Rt ABC 中， C 90 o，AC BC，AD平分BAC交 BC于 D ，DE AB 于 E ，若 AB 10，则BDE 的周长等于____________；10.如图，点D, E, F , B 在同一条直线上，AB//CD， AE//CF ，且 AE CF ，若BD10， BF 2 ，则 EF ___________；三、解答题：11. 如图，ABC 为等边三角形，点M , N分别在BC,AC上，且 BM CN ，AM与 BN 交于Q 点。
求AQN的度数。
12. 如图，ACB90o，AC BC，D为AB上一点，AE CD ，BF CD ，交 CD 延长线于 F 点。
求证：BF CE。
答案两边例 1.思路分析：从结论ACF BDE 入手，全等条件只有AC BD；由AE BF同时减去EF 得到 AF BE ，又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件，可以是CF DE ，也可以是 A B 。
BDF 90o，再加上AE BF，AC 由条件 AC CE ，BD DF 可得ACE BD ，可以证明ACE BDF ，从而得到A B 。
解答过程：Q AC CE， BD DFACE BDF90o在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AE BFQAC BD∴Rt ACE Rt BDF (HL)A BQ AE BFAE EF BF EF ，即 AF BE在 ACF与 BDE中AF BEQ A BAC BDACF BDE (SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。
例 2. 思路分析：直接证明21 C 比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1 C 。
也可以看成将 2 “转移”到。
那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交 BC 于 F ，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2= ∠ DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB= ∠1+∠ C。
解答过程：延长 AD 交 BC 于 F在 ABD与 FBD 中ABDFBDQ BD BD ABD FBD (ASA2DFBADB FDB90o又 Q DFB1C2 1 C 。
解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例 3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。
以线段 AE 为边的 ABE 绕点 B 顺时针旋转90o到CBF 的位置，而线段CF 正好是CBF 的边，故只要证明它们全等即可。
解答过程： Q ABC 90o，F为AB延长线上一点ABC CBF90o在ABE与CBF 中AB BCQ ABC CBFBE BFABE CBF (SAS)AE CF 。
解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。
小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。
这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例 4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。
解答过程：连接 ACQ AB//CD ， AD// BC12，34在 ABC与 CDA中12Q AC CA43ABC CDA (ASA)AB CD 。
解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
例 5. 思路分析：要证明“BP为等来证明，故应过点P向BM,BNMBN 的平分线”，可以利用点P 到BM , BN的距离相作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP 分别是MAC 和NCA 的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。
解答过程：过P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于FQ AP平分MAC ， PD BM于D，PE AC于 EPD PEQ CP平分NCA， PE AC于 E， PF BN于FPE PFQ PD PE， PE PFPD PFQ PD PF，且 PD BM于D，PF BN于FBP 为MBN 的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例 6. 思路分析：要证明“AC2AE ”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。
因此，延长AE 至 F ，使 EF解答过程：延长 AE 至点 F ，使在ABE与FDE 中AE 。
EF AE ，连接DFAE FEQ AEB FEDBE DEABE FDE (SAS)B EDFQ ADF又Q ADBADBBADEDF，ADC BAD BADF ADCQ AB DF，AB CDDF DC在 ADF 与 ADC中AD ADQ ADF ADCDF DCADF ADC (SAS)AF AC又Q AF 2AEAC 2AE 。
解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
例 7. 思路分析：欲证AB AC PB PC ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。
由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC 。
而构造 AB AC 可以采用“截长”和“补短”两种方法。
解答过程：法一：在 AB 上截取 AN AC ，连接 PN在 APN与 APC中AN ACQ12AP APAPN APC (SAS)PN PCQ 在BPN 中，PB PN BNPB PC AB AC ，即AB － AC>PB －PC。
法二：AB ，连接PM延长 AC至M，使 AM在ABP与AMP中AB AMQ12AP APABP AMP (SAS)PB PMQ 在PCM中，CM PM PCAB AC PB PC 。
解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。
具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。
小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。
我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。
同步练习的答案一、选择题：1.A2. C3. B4.C5. C二、填空题：6.47. 70o8. 90o9.1010. 6三、解答题：11.解： Q ABC为等边三角形AB BC ，ABC C60o在 ABM与 BCN中AB BCQ ABC CBM CNABM BCN (SAS)NBC BAMABQNBC 60o。
AQN ABQBAM12. 证明：Q AE CD，BF CDF AEC90oACE CAE90oQ ACB 90oACEBCF 90oCAEBCF在 ACE与 CBF 中FAECQ CAE BCFAC BCACE CBF (AAS)BF CE 。