蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第3章 成本最小化)

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1．某厂商具有Leontief 生产函数：{}1122min ,y x x ββ=，120ββ>、。

（1）求条件要素需求函数和成本函数； （2）画出成本函数曲线。

解：（1）在Leontief 生产函数中，产量仅是11x β／和12/x β中较小的一个值，所以，无论是利润最大化或者是成本最小化问题，厂商的最优投入必然满足1122=x x ββ。

在此约束下，生产函数可以简单地写为11y x β=（当然也可以写为22y x β=）。

从而，对于预先给定的产量0y ≥，条件要素需求是：11 x y β=，22x y β=成本函数：()()1122c y w w y ββ=+。

（2）厂商的成本函数如图3-1所示。

图3-12．某厂商具有线性生产函数：12y ax bx =+，,0a b >。

（1）求条件要素需求函数和成本函数； （2）画出成本函数曲线。

解：（1）成本最小化问题是：11220min X w x w x ≥+..s t 12ax bx y +=①若12w w a b <，条件要素为()()12, ,0x x y a **=，成本函数是()1c y w y a =；②若12w w a b >，条件要素为()()120, ,x x y **=，成本函数是()2c y w y b =；③若12w w a b =，最优解可取线段12ax bx y +=上任一点，在此不妨取()()12, ,0x x y a **=，所得的成本函数形式上与①中一致，取另一端点可得②中的成本函数形式。

但是在这里的条件下，这二者是等价的。

（2）图略。

3．某厂商具有Cobb-Douglas 生产函数：112y Ax x αα-=，0A >，01α≤≤。

证明其成本函数形式为()112,c w y Bw w y αα-=，其中B 是依赖于A 和α的常数。

证明：成本最小化问题是：()1122min w x w x +..s t 112Ax x y αα-=构造拉格朗日函数()()1112212L w x w x Ax x y ααλ-=+-- 成本最小化的一阶必要条件为：1111210L w Ax x x ααλα--∂=-=∂ ()212210L w Ax x x ααλα-∂=--=∂ 变形为：()()()11112w A x x ααααααλα--=()()()11112121w A x x ααααααλα----=-⎡⎤⎣⎦两式相乘得：()11121w w A ααααλαα--=-从而：()11121211w w Bw w A ααααααλαα---=-其中B 是依赖于A 和α的常数。

代入一阶条件，并利用约束等式，得到：11y w x λα=()221yw x λα-=从而，()1112212,c w y w x w x y Bw w y ααλ-=+==。

4．证明成本函数的性质：（1）(),c w y 是w 和y 的单增函数； （2）(),c w y 是w 的一次齐次函数。

证明：（1）任取0y ≥，记必要投入集()(){}V y y x f x =≥，按定义：()(),min x V y c w y wx ≤=只要生产函数是单调的，对任何12y y <，必然有()()12V y V y ⊇，所以()()()()1212,min min ,x V y x V y c w y wx wx c w y ≤≤=≤=。

（2）记要素价格为w 时的条件要素需求函数为(),x w y ，它满足一阶必要条件：()()i ijj f x w w f x **=(), 1....,i j n = 等式右边分式的分子分母同乘以正数t 等式仍然成立，说明在价格tw 下，条件要素需求仍然是(),x w y 。

所以，()()(), , , c tw y twx w y tc w y ==。

5．证明：如果生产函数是凹函数，则成本函数(),c w y 是y 的凸函数。

证明：对任何产量1y 和2y ，记相应成本最小化问题的解（也就是条件要素需求）分别是1x *和2x *，按定义：()()1122f x y f x y **==，，()11c y wx *=，()22c y wx *=对任何[]0,1t ∈，记()3121y ty t y =+-。

由生产函数的凹性得，()()()()3121211y tf x t f x f tx t x ****⎡⎤=+-≤+-⎣⎦，这意味着()121tx t x **+-足以生产产量3y ，所以：()()()()()()3121212111c y w tx t x twx t wx tc y t c y ****⎡⎤≤+-=+-=+-⎣⎦即()c y 是产量y 的凸函数。

6．证明：对于位似生产函数，规模收益弹性与成本的产量弹性存在关系：()()[], 1cy e x w y E r =／。

证明：考虑位似生产函数：()()y f x F g x ==⎡⎤⎣⎦这里()0F '⋅>，()g x 是一次齐次函数。

根据1.4节的推导，规模收益函数为：()()()()()d d g x F g g x F e x g y F g x '=⋅=⎡⎤⎣⎦如果(),x x w y *=为产出为y 时的条件要素需求，它必需满足一阶条件：()()()() 'i i i w f x c y F g g x λ***'==其中第二个等式用到了拉格朗日系数的意义：()'c y λ*=。

上式两边同乘以i x *并对i 加总，得到()()()11nni i i i i i w x c y F g g x x ***==''=∑∑。

由于()g x 是一次齐次函数，由欧拉定理有：()()1ni ii g x xg x ***==∑代入()()()11nni i i i i i w x c y F g g x x ***==''=∑∑的右端，等式左端即为产出y 的成本()c y ，这就得到：()()()() ''*c y c y F g g x =根据成本的产量弹性定义，有：()()()()()()1c y c y y y E y c y F g g x e x **'==='7．考虑一个两工厂厂商，其工厂的成本函数分别为()2111 2c y y =和()()22221c y y =+ （1）什么条件下厂商只使用一个工厂？什么条件下厂商需要两个工厂同时生产？（2）推导厂商的成本函数。

解：()1114c y y '=，()22222c y y '=+。

（1）如果厂商同时使用两个工厂，应当满足()()1122c y c y ''=； 但是，注意到()()22202c y c ''≥=，而当112y ≤／时，()112c y '≤。

所以，当112y ≤／时，厂商只会选择在工厂1生产； 当且仅当112y >／时，厂商才会同时使用两个工厂。

（2）在同时使用两个工厂的情况下，厂商的产量分配满足()()1122c y c y ''=，由此解得：()113y y =+／，()2 213y y =-／此时总成本为：()()()()22211221212211333y y c y c y c y y +-⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成本函数为：()()222213y c y y ⎧⎪=⎨+⎪⎩1212y y ≤>8．假设一个竞争厂商的成本函数是()2211,,c w w y w y w αβγ=。

（1）参数α、β和γ需要满足什么条件，()12c w w y ,,才是一个典型的成本函数？ （2）求条件要素需求函数。

解：（1）根据成本函数的性质，典型的成本函数()c w y ,应当是w 和y 的单增函数，是w 的一次齐次函数，同时还是w 的凹函数。

据此，必然要求,,0αβγ≥，1αβγ++=。

在这两个条件下，()12c w w y ,,=12w w y αβγ为w 凹函数的条件自动成立（可检查海赛矩阵主子式的符号确为正负相间）。

（2）在成本函数已知的条件下，根据Shephard 引理可以求出条件要素需求：()()11121,,c w y x w y w w y w αβγα-∂==∂，()()12122,,c w y x w y w w y w αβγβ-∂==∂9．一个厂商有两个工厂，这两个工厂的成本函数是相同的()() 0;0,0 i y F k c y F ky α>>=>+1,2i =但如果厂商只在一个工厂生产，另一个工厂的固定成本F 是可以避免的，即是说()00i c =。

（1）成本最小条件（3.28）是否一定成立？为什么？（2）在1α=和3α=两种情况下，厂商如何决定是在一个工厂生产还是同时在两个工厂生产？（3）在3α=条件下，什么产量范围内存在规模经济？ 解：（1）由于这里存在厂商只使用一个工厂的可能性，而这意味着成本最小化问题中需要考虑角点解，所以第3章中成本最小化条件（3.28）不一定成立。

（2）1α=时，两工厂的成本函数变为：()i i i c y F ky =+。

由于两个工厂的边际成本都是常数k ，无论厂商需要生产多少产量y ，它总可以将所有产品安排在一个工厂生产，维持边际成本k ，同时节约另一工厂的固定成本F 。

据此，厂商的成本函数即为一个工厂的成本函数()c y F ky =+。

3α=时，()3i i i c y F ky =+，()23i i i c y ky ='。

在产量为y 时，如果厂商同时使用两个工厂，成本最小化要求：()()1122122y c y c y y y ''⇒===。

这种情况下，厂商成本函数为：()()()()31222222c y c y c y F k y =+=+如果厂商只使用一个工厂，它的成本函数为：()3I c y F ky =+所以，厂商的产量配置取决于两个成本的大小。

厂商只使用一个工厂的条件是：()33222F ky F k y +≤+／，即()134/3y F k ≤因此，厂商的成本函数是：()()3322/2F kyc y F k y ⎧+⎪=⎨+⎪⎩334/34/3y F k y F k ≤>（3）根据刚才建立的成本函数，计算成本对产量的弹性系数：34/3y F k ≤时，()()()33311333c y c y y F ky Fc y E y kyky +===+'； 34/3y F k >时，()()()333/1818333c y c y y F ky Fc y E y ky ky +===+'。