经典编排-2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第二篇 第6讲 幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1*(·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )*A *y ＝1x (x ∈R ，且x ≠0)B *y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ∈R )C * y ＝x (x ∈R )D *y ＝－x 3(x ∈R )解析 对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数*答案 D2*(·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )*A *①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B *①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C *①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D *①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②*同理可得出选项B 正确*答案 B3*已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )*A *[2－2，2＋2] B *(2－2，2＋2) C *[1,3]D *(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋2*答案 B4*已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )*A * －3B * －1C * 1D *3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3*答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5*若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3*则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________*解析 设f (x )＝x α，由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13*答案 136*若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________*解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎨⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4 三、解答题(共25分)7*(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数*当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18*求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式*解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3*令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3*又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3*即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )*8*(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)*(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围*解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数*又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2*(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2*又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2*∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3*B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1*(·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的 ( )*A *充分而不必要条件B *必要而不充分条件 C * 充分必要条件D *既不充分也不必要条件解析 若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1，－a2≥1，得a ≤－2*故选C *答案 C2*二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )*A *3B * 4C * 5D *6解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1*当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1*a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5*答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3*已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________*解析 函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性*由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g (2)≥0，a 2≤2，∴1<a ≤3*答案 (1,3]4*(·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2*若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________*解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎨⎧m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎨⎧m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)*答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5*(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)*(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由*解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数*故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2*又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1*当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2*(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]*∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q处取得*而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4*解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意*6*(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)*(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值； (2)设a >2，求函数f (x )的最小值*解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0*(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a 2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1*由于a 24－(a －1)＝(a －2)24>0，故f (x )的最小值为a －1*。