高中数学必修1综合测试题

刘老师辅导·高中数学必修1综合测试题姓

名

令狐采学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分

150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x|x ＝n2，n∈A}，则A∩B ＝( )

A ．{1,4}

B ．{2,3}

C ．{9,16}

D ．{1,2}

2. 已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，－1

2)

C ．(－1,0)

D ．(12

，1)

3．在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( ) A ．f(x)＝x －1，g(x)＝

x －1x －1

B ．f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝

?????

x ＋1，x≥－1－x －1，x<－1

C ．f(x)＝x ＋2，x∈R，g(x)＝x ＋2，x∈ZD．f(x)＝x2，g(x)＝x|x|

4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2-x

D ．y ＝log0.5(x ＋1)

5．函数y ＝lnx ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( )

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(4,5)

6．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x 的取值范围是( )

A ．x>1

B ．x<1

C ．0

D ．1

7．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(1

2)-1.5，则( )

A ．y3>y1>y2

B ．y2>y1>y3

C ．y1>y2>y3

D ．y1>y3>y2

8．设0

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

令狐采学创作

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C ．(－∞，loga3)

D ．(loga3，＋∞)

9．若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex ，则有( )

A ．f(2)

B ．g(0)

C ．f(2)

D ．g(0)

10．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，1

2

)中，“好点”的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.

12．函数f(x)＝?????

log 12x ，x≥1

2x ，x<1的值域为________．

13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

14．已知f(x6)＝log2x ，则f(8)＝________.

15．已知函数f(x)＝x2＋a

x (x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在

x∈[2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________． 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x|x2＋px ＋12＝0}，B ＝{x|x2－5x ＋q ＝0}，若(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，求A∪B.

17．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log327＋lg25＋lg4＋7log72＋(－9.8)0

(2)如果f(x －1x )＝(x ＋1

x

)2，求f(x ＋1)．

18．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a 的取值范围．

(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x.

(1)求f(log21

3)的值；

(2)求f(x)的解析式．

20．(本小题满分13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)

令狐采学创作

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和一次函数g(x)＝－bx(b≠0)，其中a ，b ，c 满足a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c∈R)．

(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；

(2)求证：方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.

21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2

2

，

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？

刘老师辅导·高中数学必修1综合测试题解析 1.A

[解析] 先求集合B ，再进行交集运算． ∵A＝{1,2,3,4}，B ＝{x|x ＝n2，n∈A}， ∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}． 2．B

[解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f(x)的定义域为(－1,0)

∴－1<2x ＋1<0，∴－1

2

.

3．B

[解析] 若两个函数表示同一函数，则它们的解析式、定义域必须相同，A 中g(x)要求x≠1.C 选项定义域不同，D 选项对应法则不同．故选B.

4．A

[解析] ∵y＝x ＋1在[－1，＋∞)上是增函数， ∴y＝x ＋1在(0，＋∞)上为增函数． 5．B

[解析] 令f(x)＝lnx ＋2x －6，设f(x0)＝0， ∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0， 又f(2)＝ln2－2<0，f(2)·f(3)<0， ∴x0∈(2,3)． 6．D

[解析]

由已知得??? x>0

2－x>0

x>2－x

????

x>0

x<2x>1

，

∴x∈(1,2)，故选D. 7．D

[解析] ∵y1＝40.9＝21.8，

y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5， 又∵函数y ＝2x 是增函数，且1.8>1.5>1.44.

令狐采学创作

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∴y1>y3>y2. 8．C

[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式．

由a2x －2ax －2>1得ax>3，∴x

[解析] 考查函数的奇偶性、单调性和方程的思想． ∵f(x)－g(x)＝ex ，(x∈R)① f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)－g(－x)＝e －x. 即－f(x)－g(x)＝e －x ，② 由①、②得f(x)＝1

2(ex －e －x)，

g(x)＝－1

2(ex ＋e －x)，∴g(0)＝－1.

又f(x)为增函数，∴0

[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点，

∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q(2,2)是指数函数y ＝(2)x

和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G(2，12)在指数函数y ＝(2

2)x

上，且在对数函数y ＝log4x 上．故选C.

11．{6,8}

[解析] 本题考查的是集合的运算．

由条件知?UA ＝{6,8}，B ＝{2,6,8}，∴(?UA)∩B＝{6,8}． 12．(－∞，2)

[解析] 可利用指数函数、对数函数的性质求解． 当x≥1时，log 12 x≤log 1

2 1＝0.

∴当x≥1时，f(x)≤0

当x<1时，0<2x<21，即0

2

，1)

[解析] 设f(x)＝x3－6x2＋4， 显然f(0)>0，f(1)<0，

又f(12)＝(12)3－6×(1

2

)2＋4>0，

∴下一步可断定方程的根所在的区间为(1

2，1)．

14．12

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[解析] ∵f(x6)＝log2x ＝1

6log2x6，

∴f(x)＝1

6

log2x ，

∴f(8)＝16log28＝16log223＝1

2.

15．(－∞，16]

[解析] 任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

x2

＝

x1－x2

x1x2

[x1x2(x1＋x2)－a]，

要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，需使f(x1)－f(x2)<0恒成立．

∵x1－x2<0，x1x2>4>0， ∴a

又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a≤16， 即a 的取值范围是(－∞，16]．

16.[解析] ∵(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}， ∴2∈B,2?A,4∈A,4?B ，根据元素与集合的关系，

可得???

??

42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0

，解得?????

p ＝－7，

q ＝6.

∴A＝{x|x2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x|x2－5x ＋6＝0}＝

{2,3}，经检验符合题意．

∴A∪B＝{2,3,4}．

17．[解析] (1)原式＝log333

2 ＋lg(25×4)＋2＋1 ＝32＋2＋3＝132. (2)∵f(x－1x )＝(x ＋1x )2

＝x2＋1x2＋2＝(x2＋1

x2－2)＋4

＝(x －1

x )2＋4

∴f(x)＝x2＋4

∴f(x＋1)＝(x ＋1)2＋4 ＝x2＋2x ＋5.

18．[解析] (1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0， ∴f(1－a)>－f(1－a2)． ∵f(x)是奇函数， ∴f(1－a)>f(a2－1)．

又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，

∴???

1－a

解得1

令狐采学创作

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(2)因为函数g(x)在[－2,2]上是偶函数， 则由g(1－m)

???

|1－m|≤2，

|m|≤2，

|1－m|>|m|，

即???

－1≤m≤3，

－2≤m≤2，1－m 2>m2，

解之得－1≤m<1

2

.

19．[解析] (1)因为f(x)为奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x ，

所以f(log21

3)＝f(－log23)＝－f(log23)

＝－2log23＝－3.

(2)设任意的x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，

因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x ，所以f(－x)＝2－x ， 又因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，

即当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－2－x ； 又因为f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，

综上可知，f(x)＝???

2x ，x>0

0，x ＝0

－2－x ，x<0

.

20．[解析] (1)若f(x)－g(x)＝0，则ax2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b2－4ac ＝4(－a －c)2－4ac ＝4[(a －c 2)2＋3

4

c2]>0，

故两函数的图像交于不同的两点．

(2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋2bx ＋c ，令h(x)＝0可得ax2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.

∵a>b>c，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c∈R)，∴a>0，c<0， ∴h(2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c)＋4b ＋c ＝－3c>0， －2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋c

a

<2， 即有?????

Δ>0

a>0

h 2>0

－2b 2a

<2，结合二次函数的图像可知，

方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.

21．[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x(0

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则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝1

2，

解得x ＝1－(12

)1

10 .

(2)设经过m 年剩余面积为原来的2

2，

则a(1－x)m ＝2

2a ，

即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12

，

解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为2

2a(1－x)n ，

令22a(1－x)n≥14a ，即(1－x)n≥24，

(12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤3

2，解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年．