经济数学基础-微积分课后习题答案_四川人民出版社_龚德恩
经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案 第三章导数与微分
（２） 已知 y ＝ f （３）
a ＋ x
２
x
４ ２
，则 y ′ ＝
f （ θn ） ＝
（５） 设 y ＝f （ x ） ＝x 在点 （１，１ ） 处的切线与 x 轴的交点为 （ θn ，０ ） ， 则 nｌｉｍ
n
１ （４） 曲线 y ＝ ２ 在点 （ － １，１） 的切线方程为 x ；
ｄ （ ａｒｃｓｉｎ x ） ＝ ｄ （ ａｒｃｃｏｓ x ）
１６．求下列各数的近似值 ： （１） ２ 解
１． ００１
（３） ｓｉｎ ２９° ；
； （２） ｌｎ１． ００２； （４）
３
７６ ．
（２ ｌｎ ２） Δ x． （１） 令 f （ x ） ＝ ２ ，ｄ f ＝
x x
取 x０ ＝ １，Δ x－ ０． ００１，则 ２
１． ００ １ １ １
≈ f （１） ＋ ｄf ｜ x ０ ＝１ ， Δ x ＝０ ． ０ ０１ ＝ ２＋ ０． ００２ × ｌｎ２≈２． ００１３８６（ ｌｎ２≈０． ６９３１） ． ｌｎ （１． ００２） ≈ f（１） ＋ ｄf
边际收益为
于是 ，边际利润为
１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为 ： 其中 x 为销售量 ，P 为价格 ． 解 利润函数为
１ １０ ． L′ （ x） ＝ ［ R （ x） － C（ x） ］ ′ ＝ R′ （ x） － C′ （ x） ＝ ２ － （x ＋ ２） x p＝ １０００ － ２ x ，C （ x ） ＝ ５０００ ＋ ２０ x
２ ２
∴y ′ （ x） ＝ ｌｉｍ Δ x ０
→
＝ （x ＋ Δ x） － x ＋ ３Δ x＝ （２ x ＋ ３＋ Δ x） Δ x Δ y ＝ｌｉｍ （２ x ＋ ３＋ Δ x） ＝ ２x ＋ ３． Δ x Δx → ０
经济数学基础 微积分 第二章习题解答
1 ex x0 15.设有函数f ( x) a x x 0
解： e 0 lim
x 0 1 x x 0
问常数a为何值时， f ( x)存在？ lim
x0
lim (a x) a
当a 0时， f ( x)存在. lim
x0
16.求下列极限： tan 2 x 2 arctan 5 x 3x sin 3 x (2) lim (3) lim 5 (1) lim lim 6 x 0 sin 5 x x 0 arcsin x x 0 x 0 x x 5 sin 2 2 1 x2 sin x2 (5) lim 1 lim 4 x 1 x 0 (4) lim x sin lim 2 x x 0 x 2 sin ( ) x ( ) x x 1 2 2 x tan 2 x sin x tan 2 x sin x 2 1 1 (6) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
e 4
x x x 1 2 3 lim (17 ) lim ln(1 x x x ) x 0 x 0 x x
2
3
1
1
1 n 2 n 3 n n n n n n (18) lim(1 2 3 4 ) lim 4 [1 ( ) ( ) ( ) ] 4 x x 4 4 4 17.求下列极限：
x 1 x 1
1 或 lim 2 0 n x
y
解：lim f ( x) lim f ( x) 2 f (1)
x 2是第一类可去间断点
0
x
若f (1) 2, 则为连续 .
(2) x 0第二类无穷间断点 (3) x 0第一类跳跃间断点 (4) x 0第一类可去间断点 x 1第二类无穷间断点 (5) x 0第一类跳跃间断点 (6) x 0第一类可去间断点
《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）
习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ； （2）()3,5； （3）1x； （4）2x e ；2x e ； （5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-； （2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． 实训二 （A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-； （3）2π-，4π； （4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-， 所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-． 由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】 设批次为x ，由题意： 库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=； 订货费：2100C x =． 【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+． 【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价． 由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+； 供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =． 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =； 无盈亏产量：()0L x =，解得400x =． 【供给函数】答案：1052PQ =+⋅． 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈． 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章 极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大． 【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二 （A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++； （2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---； （4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭； （2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】 （1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-； （2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三 （A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =． 实训四 （A ）1．填空题 （1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在； （4）()(),22,-∞--+∞ ； （5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四 （B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积）， 所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ； （2）2313x -； （3）23x ； （4）5232x --；（5）2ln 2x ； （6）1ln10x ； （7）0； （8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-； （2）()222y x +=--，即22y x =-+； （3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-． 实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--． 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二 （A ）1．（1）223146y x x x '=+-； （2）11'ln n n y nx x x --=+； （3）21'41y x x =++； （4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+； （2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+； （3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =； （2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--； （4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--． 【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-， 将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向． 实训二 （B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++； （2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1） 将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=． 对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂； （2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂． 实训三 （A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞． （2）6a =-．（3）驻点． （4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =． 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三 （B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． （2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=； 库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点， 所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =． （2）1x dy edx ==． （3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （4）cos(21)x +，2cos(21)x +． （5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+； （2）221dy dx x =+； （3）222(22)x x dy xe x e dx --=-； （4）322(1)dy x x dx -=-+； （5）23(1)1dy dx x =-+； （6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭； （3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈； （4）0.0510.05 1.05e ≈+=． 【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==； （2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈． 实训二 （A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==． （2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==． （2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩， 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点） 所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点） 所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三 （A ）1．填空题 （1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=； （2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张． （2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三 （B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%． （5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +； （2）3x ，3x C +； （3）cos x -，cos x C -+；（4C ； （5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ； （2）C ； （3）D ； （4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++； （4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++． 【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++． 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++． 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ； （2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++； （2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰； （4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二 （A ）1．填空题 （1）212x ； （2）x e --； （3）ln x ； （4）arctan x ； （5）23x x +； （6）arcsin x ． 2．（1）B ； （2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰； （2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰； （2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++． 【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二 （B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++． 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-， 分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-， 所以ln2()2080t T t e -⋅=+， 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三 （A ）1．填空题 （1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰； （2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三 （B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑； （4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四 （A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰； （2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰； （4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰； （6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质） （7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】 （1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四 （B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰， 所以应该分两种情况： （1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =； （2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（ ）。
经济数学基础 微积分 第三章习题解答
尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1
《微积分》课程教学大纲
《微积分》课程教学大纲适用专业:广告专业执笔人：陈美霞审定人：鲍远圣系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《微积分》课程教学大纲课程代码：120019/120020英文名：Calculus课程类别：文化技能课适用专业：广告专业前置课：初等数学后置课：线性代数、概率论与数理统计、数学建模学分：7学分课时：129课时主讲教师：王小灵等选定教材：[1]龚德恩等.《经济数学基础（第一分册微积分）》[M]，成都:四川人民出版社，2004.（04级使用）；[2]张从军、王育全、李辉、刘玉华. 微积分[M].上海:复旦大学出版社，2005.（05级使用）.课程概述：微积分是研究变量及其变化规律的科学，它具有丰富的内容和深刻的思想。
它为研究事物的发展变化提供了基本的数学基础和框架。
微积分在各种实际问题中有着广泛的应用。
《微积分》课程是高等财经院校中广告专业的一门重要的公共基础课，是后继专业基础课和专业课程的基础。
本课程以函数为主要研究对象，以极限分析为基本方法，系统地介绍了微积分的基本理论与基本方法，同时着重介绍了微积分在实际问题尤其在经济问题中的应用。
教学目的：通过本课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本理论和基本方法。
培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力，为进一步学习其它数学课程和专业课程打好基础。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本大纲中少数内容在现行中学教学中已有要求，对此应本着复习、深化、提高的要求组织教学。
本课程应配备习题册等教学辅助用书。
本课程可根据需要安排课堂讨论与数学实验上机操作。
各章教学要求及教学要点第一章函数课时分配：5课时教学要求：本章要求掌握函数的概念；了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征；了解反函数的概念并会求反函数；理解复合函数的概念并掌握将复合函数分解为简单函数的方法；理解基本初等函数的概念并熟练掌握基本初等函数的定义域、值域和基本性质；理解初等函数的概念；了解分段函数的概念；掌握常见的经济函数。
经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分
1经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题 1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（1->x 且0≠x）． ．2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(xf 的定义域是(]0,(-∞ )．3．下列各函数对中，（ x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g ）中的两个函数相等．4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（11++xx）．5．下列函数中为奇函数的是（ 11ln+-=x x y）．6．下列函数中，（)1ln(-=x y ）不是基本初等函数．7．下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对 ）是正确的． 8. 当x →0时，下列变量中（xx 21+ ）是无穷大量． 9. 已知1tan )(-=xxx f ，当（ x →0 ）时，)(x f 为无穷小量.10．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( 1)．11. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（右连续 ）．12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）．13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（y =x ）．14．若函数x x f =)1(，则)(x f '=（-21x ）．15．若xx x f c o s )(=，则='')(x f （ x x x cos s i n 2-- ）．16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（e x）．17．下列结论正确的有（ x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 ）．18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（--pp32 ）．二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f 43-．5．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴对称．6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ． 8. =+∞→xx x x sin lim1 .9．已知x x x f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量．10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是0x =.12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞),2(∞+．)1处的切线斜率是(1)0.5y '=14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15．已知x x f 2ln )(=，则[f =0 ．16．函数y x =-312()的驻点是x =1.17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p-．18．已知需求函数为pq 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10-p p.三、计算题（答案在后面）1．423lim222-+-→x x x x 2．231lim21+--→x x x x 3．x → 4．2343limsin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ． 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ． 9．已知x y cos 25=，求)2π(y '；10．已知y =32ln x ，求y d ． 11．设x y x5sin cos e +=，求y d ．12．设xx y -+=2tan 3，求y d ．13．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．14．已知xx y 53e ln -+=，求)(x y ' ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．16．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x xy．18．由方程x y x y =++e )cos(确定y是x 的隐函数，求y d ．四、应用题（答案在后面） 1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6．已知某厂生产q件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 三、极限与微分计算题（答案） 1．解423lim222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim2+---→x x x x x =)2(1lim2+-→x x x = 412．解：231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3．解l ix →0x → =xx x x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 44．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25．解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯= 6．解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→=2323)2(65-=⨯-7．解：2y '(x )=)cos 2('-xx x =2cos sin 2ln 2x xx x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x ++8．解xx x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(++⋅=' 9．解 因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y10．解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==- 所以x xx y d ln 32d 3=11．解 因为)(cos cos 5)(sin e4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e4sin -=所以x x x x y xd )sin cos 5cos e(d 4sin -=12．解 因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx--=所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y x y y +++++-='16．解 对方程两边同时求导，得0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e)e (cos -='+)(x y '=yyx y e cos e +-.17．解：方程两边对x 求导，得 y x y yy '+='e eyy x y e1e-='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e 01e 11=⨯-=18．解 在方程等号两边对x 求导，得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin (1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题（答案）1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令25.0100)(2=+-='xx ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 qp =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102qq --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40-0.2q令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.（2）最大利润1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）．4．解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++（q >0）'C q ()=(.)05369800q q++'=0598002.-q令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2=-140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=05140369800140.⨯++=176 （元/件） 6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=2501100q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。
经济数学微积分1、2章 习题答案 最新版
习题一答案(A)1.1. 求下列函数的定义域：(1) 22-+=x x y ; (2) )sin(x y =;(3) 2)1lg(--=x x y ; (4) 22114xx y -+-=; (5) x xx y -++-=11lg21)1arcsin(; (6) ⎩⎨⎧><+=)0(ln )0(12x xx x y . (1)解：022≥-+x x21-≤≥x x 或∴定义域为),1[]2,(+∞--∞ .(2)解：⎩⎨⎧≥≥00)sin(x xπππ+≤≤k x k 22∴定义域为{},1,0,)12(42222=+≤≤k k x k x ππ.(3) 解：⎩⎨⎧≠->-0201x x21≠>x x 且∴定义域为),2()2,1(+∞ .(4)解： ⎩⎨⎧≠-≥-010422x x ⎩⎨⎧±≠≤≤-122x x ∴定义域为]2,1()1,1()1,2[ ---.(5) 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->-+≤-≤-01011111x xxx ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-≤≤11120x x x ∴定义域为)1,0[.(6) 解：定义域为),0()0,(+∞-∞ .2已知23)(2-+=x x x f ,求)1(,1),(),1(),1(),0(+⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f x f f f f . 解：2200)0(2-=-+=f2231)1(2=-+=f 423)1()1(2-=---=-f232)(3)()(22--=--+-=-x x x x x f231)1(2-+=xx x f 252)1(3)1()1(22++=-+++=+x x x x x f3. 已知⎩⎨⎧≥<+=1ln 113)(x x x x x f ,求)2(),1(),0(f f f .解：1103)0(=+⨯=f01ln )1(==f 2ln )2(=f4. 讨论下列函数的单调性（指出其单调增加区间和单调减少区间） (1) x x y ln +=; (2) xe y =; (3) 24x x -. 解：（1）定义域为),0(+∞，设210x x <<，0)ln (ln ln ln 1212112212>-+-=--+=-x x x x x x x x y y故在定义域内为单调增函数，单调增加区间为),0(+∞. (2) 定义域为实数R,当021<<x x 时，21x x >，021>-x x e e ，函数为减函数； 当210x x <<时，21x x <，021<-x x ee，函数为增函数.故单调减少区间为)0,(-∞,单调增加区间为),0(+∞. (3) 定义域为[]4,0，4)2(422+--=-=x x x y当20≤≤x 时，2)2(--x 为增函数，4)2(2+--x 也为增函数，当42≤≤x 时，2)2(--x 为减函数，4)2(2+--x 也为减函数.故单调增加区间为]2,0[,单调减少区间为]4,2[.5. 判别下列函数中哪些是奇函数,哪些是偶函数,哪些是非奇非偶函数. （1）2x ey -=; (2）x x y sin 2=;（3）242x x y -=; （4）2x x y -=;（5）x x y cos sin -=; （6）x xy +-=11lg; （7）)1ln(2x x y -+=; （8）x xx y cos sin +=;（9）x x xx e e e e y ---+=; （10）⎩⎨⎧≥+<-=0101x xx x y .解：（1）定义域为实数R,)()(22)(x y e e x y x x ===----，故函数为偶函数.(2）定义域为实数R,)(sin )sin()()(22x y x x x x x y -=-=--=-，故为奇函数.（3）定义域为实数R,)(2)(2)()(2424x y x x x x x y =-=---=-，故函数为偶函数.（4）定义域为实数R,函数2x x y -=为非奇非偶函数. （5）非奇非偶函数 （6）定义域为011>+-xx，0)1)(1(>+-x x ，即11<<-x ， 0111lg 11lg )()(==+-+-+=+-lg xxx x x y x y ，即)()(x y x -=-y ，故函数为奇函数. （7）定义域为实数R,01ln )1ln()1ln()()(22==-+++=+-x x x x x y x y ，)()(x y x -=-y ，故函数为奇函数.（8）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)(cos sin )cos()sin()(x y x xx x x x x y =+=-+--=-，故函数为偶函数. （9）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)()(x y ee e e e e e e x y xx xx x x x x -=-+-=-+=-----，故函数为奇函数. （10）)(01010101)(x y x xx x x x x x x y =⎩⎨⎧>+≤-=⎩⎨⎧≥--<-+=-，故函数为偶函数.6. 设)(x f 在),(+∞-∞内有定义,证明：)()(x f x f -+为偶函数,而)()(x f x f --为奇函数.证明：令)()()(x f x f x g -+=，)()()(x f x f x h --=，)()()()(x g x f x f x g =+-=-，)(x g 为偶函数， )()()()(x h x f x f x h -=--=-，)(x h 为奇函数.7. 判断下列函数是否为周期函数,如果是周期函数,求其周期： （1）x x y cos sin +=; （2）x x y cos =; （3）)32sin(+=x y ; （4）x y 2sin =; （5）x y 2sin 1+=; （6）xy 1cos =. 解：（1）)4sin(2)cos 22sin 22(2π+=+=x x x y故函数周期为π2.（2）无周期 （3）周期为ππ==22T（4）22cos 1sin 2xx y -==，周期为ππ==22T（5）设)22sin(1)(2sin 12sin 1T x T x x y ++=++=+= , 解得π=T 2 ，2/π=T .（6）无周期8. 讨论下列函数是否有界：（1）221xx y +=; （2）2x e y -=; （3）x y 1sin=; （4）x y -=11; （5）xx y 1cos =.解：（1）1122≤+=xx y ，故函数有界.（2）02≥x ,02≤-x ,102≤<-x e ,故函数有界.（3）11sin≤x，函数有界. （4）xy -=11无界. （5）xx y 1cos =无界.9. 设21)(x x x f -=,求)(cos x f .解：x x x x x f cos sin cos 1cos )(cos 2=-=10. 已知⎩⎨⎧>-≤+=0102)(2x x x x x f ,求)1(+x f 及)()(x f x f -+.解：⎩⎨⎧->-≤++=⎩⎨⎧>+-+≤+++=+1132011)1(012)1()1(22x xx x x x x x x x f⎩⎨⎧<--≥+=-0102)(2x x x x x f ⎩⎨⎧>-≤+=0102)(2x x x x x f⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+-=-+01041)()(22x x x x x x x x f x f 11. 已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ. 解：x x x f 2sin )2(sin )]([3-=ϕ，)(2sin )]([3x x x f -=ϕ 12. (1) 已知 2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求)(x f .(2)已知2ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ,求)(x ϕ.解：(1) 2)1(12-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ,2)(2-=∴x x f (2)令12-=x t ，11ln)(-+=t t t f ，xx x x f ln 1)(1)(ln ))((=-+=ϕϕϕ，x x x x =-+=-+1)(211)(1)(ϕϕϕ11112)(-+=+-=x x x x ϕ13. 在下列各题中,求由给定函数复合而成的复合函数,并确定定义域： （1）21,x u u y +==； （2）2,ln ,4xv v u u y ===； （3）x v v u u y 21,sin ,3+===;（4）222,tan ,arctan x a v v u u y +===. 解：（1）21x y +=，),(+∞-∞∈x （2）2ln4x y =,由02>x，),0(+∞∈x（3）)21(sin 3x y +=，),(+∞-∞∈x（4）)](arctan[tan 222x a y +=，由2/)(22ππ+≠+k x a ，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-+≠∈Z R k a k x x x ,2,22ππ14. 指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）x y alog =; （2）x e y -=arctan ;（3）x y 2sin ln =; （4）⎪⎭⎫⎝⎛-=2212arcsin x xy .解： （1）x y alog =，x u = （2）u y arctan =，v e u =，x v -=（3）u y ln =，2v u =，x v sin = （4）2u y =，v u arcsin =，212x x v -= 15. 求下列反函数及反函数的定义域：（1）)31ln(x y -=,)0,(-∞=f D ； （2）29x y -=,]3,0[=f D ;（3）22-+=x x y ,),2()2,(+∞-∞= f D ; （4）2xx e e y --=,),(+∞-∞=f D ;（5）⎩⎨⎧≤<--≤<-=21)2(210122x x x x y . 解：（1）由)31ln(x y -=解得3/)1(ye x -=,故)1(31x e y -=,),0(1+∞=-f D （2）由29x y -=解得29y x -=，故29x y -=,]3,0[1=-f D（3）由22-+=x x y 解得1)1(2-+=y y x ,故1)1(2-+=x x y ,),1()1,(1+∞-∞=- f D （4）由2x x e e y --=同乘解得x e 解得12++=y y e x ,故)1ln(2++=x x y ,),(1+∞-∞=-f D（5）可解得⎩⎨⎧≤<--≤<-+=2122112/)1(y yy y x故⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<-+=212211)1(21x x x x y ,]2,1(1-=-f D16. 某玩具厂每天生产60个玩具的成本为300元,每天生产80个玩具的成本为340元,求其线性成本函数,并求每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本.解：设玩具的线性成本函数为bx a x C +=)(，则有⎩⎨⎧+=+=b a b a 8034060300 解得⎩⎨⎧==2180b a ，所以x x C 2180)(+= 故固定成本为180(元/每天),可变成本为2(元/每个).17. 某公司全年需购某商品2000台,每台购进价为5000元,分若干批进货.每批进货台数相同,一批商品售完后马上进下一批.每进货一次需消耗费用1000元,商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半）,该商品每年每台库存费为进货价格的%4.试将公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数.解：设批量为x ，投资总额为y ，则x xy 1001021067+⨯+= 18. 某饲料厂日产量最多为m 吨,已知固定成本为a 元,每多生产1吨饲料,成本增加k 元.若每吨化肥的售价为p 元,试写出利润与产量x 的函数关系式.解：设利润为)(x L ，则a x k p x L --=)()( (元) ,],0[m x ∈19. 生产某种产品,固定成本为3万元,每多生产1百台,成本增加1万元,已知需求函数为p Q 210-=（其中p 表示产品的价格,Q 表示需求量）,假设产销平衡,试写出：（1）成本函数；（2）收入函数；（3）利润函数.解：(1) 3)(+=Q Q C (万元)(2) 2215)10(21)(Q Q Q Q P Q Q R -=⋅--=⋅= (万元) (3) 3421)()()(2-+--=Q Q Q C Q R Q L (万元) 20. 某酒店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来,试问租金定为多少时,酒店房租收入最大？收入多少元？这时酒店将空出多少套高级客房？解：设每套资金为x 元，酒店房租总收入为y 元，则有16000)400(101)1020060(2+--=--=x x x y ，故400=x 元/套,收入最大，为16000元, 这时酒店将空出20套高级客房.（B ）1. 设x x f x x f =-⎪⎭⎫⎝⎛-+)(212212,求)(x f . 解：令2212-+=x x t ，得2212-+=t t x ，有2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-t t t t f t f ,即2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x f x f 又()x x f x x f =--+21)2212(，可解得()11322-++=x x x x f 2. 设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l -上的,证明：（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明：设)(1x f 和)(2x f 为偶函数，)(1x g 和)(2x g 为奇函数， （1）设)()()(21x f x f x f +=)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-故)(x f 为偶函数，得证. 设)()()(21x g x g x g +=)()()()()()(2121x g x g x g x g x g x g -=--=-+-=-故)(x g 为奇函数，得证.（2）设)()()(21x f x f x h ⋅=)()()()()()(2121x h x f x f x f x f x h =⋅=-⋅-=-故)(x h 为偶函数，得证. 设)()()(21x g x g x I ⋅=[][])()()()()()(2121x I x g x g x g x g x I =-⋅-=-⋅-=-故)(x I 为偶函数，得证. 设)()()(11x g x f x J ⋅=[])()()()()()(1111x J x g x f x g x f x J -=-⋅=-⋅-=-故)(x J 为奇函数，得证.3. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上单调增加,试证函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.证明：设D x x ∈<21,[][][][]0)()()()()()()()(12121122>+-+=+-+x g x g x f x f x g x f x g x f∴函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.4. 设函数)(x f 在区间],[b a 和],[c b 上单调增加,试证)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.证明: 设[]c a x x ,21∈<,若c x x ≤<21，由题意有)()(12x f x f >， 若21x x b <≤，由题意有)()(12x f x f >， 若21x b x <≤，则)()()(12x f b f x f ≥>，若21x b x ≤<，则)()()(12x f b f x f >≥， 综上，)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.5. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上有界,试证函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上也有界.证明：由题)(x f 和)(x g 在D 上有界，即对D x ∈∀，0,021>>∃M M ，有1)(M x f ≤,2)(M x g ≤,则21)()(M M x g x f +≤+,21)()(M M x g x f ⋅≤⋅ 即函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上有界. 6. 证明函数x x y sin =在),0(+∞上无界.证明：对任意0>M ，都存在02[,]x M M π∈+使得1sin 0=x ，则M x x x >=000sin ，即函数x x y sin =在),0(+∞上无界.7. 设)(x f 为定义在),(l l -的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.证明：设)0,(21l x x -∈<，则),0(12l x x ∈-<-，)()()()()()(211212x f x f x f x f x f x f ---=-+--=-)(x f 在),0(l 内单调增加,∴0)()(12>-x f x f ，∴)(x f 在)0,(l -内也单调增加.8. 已知函数)(x f 满足如下方程：0,)1()(≠=+x xcx bf x af其中c b a ,,为常数,且b a ≠,求)(x f ,并讨论)(x f 的奇偶性.解：由已知，xc x bf x af =+)1()(， 令xt 1=，则有ct t bf t af =+)()1(，即cx x bf x af =+)()1(可解得)()(22xabx a b c x f --= ， 而)()(x f x f -=-,故)(x f 是奇函数.习题二答案(A)1. 观察判别下列数列的敛散性；若收敛,求其极限值：(1) nn u 31=; (2) 11ln +=n u n; (3) 212nu n +=; (4) 11+-=n n u n ;(5) nn u n πsin 1=; (6) n u n n )1(-=;(7) nn u )1(3-=; (8) πn nu n cos 1=. 解：(1) 收敛于0; (2) 发散; (3) 收敛于2; (4) 收敛于1; (5) 收敛于0; (6) 收敛于0; (7) 发散; (8) 收敛于0.2. 利用数列极限的分析定义证明下列极限： (1) 011lim=++∞→n n ; (2) 1311lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n ;(3) 532513lim =+++∞→n n n ; (4) 071lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn .（1）证明：0>∀ε，不妨设1<ε，要使ε<+=-110n u n 成立，只需112->εn 成立，因此取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21εN ，则当N n >时，有ε=<+=-N n u n 1110，所以011lim=++∞→n n .（2）证明：0>∀ε，要使ε<=-n u n 311成立，只需ε31>n 成立，因此取131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当N n >时，有ε<<=-N n u n 31311，即1)311(lim =-+∞→nn . （3）证明：0>∀ε，不妨设101<ε，取152251+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=εN ，则当N n >时，有ε<+<+=-)25(51)25(5153N n u n ，所以532513lim =+++∞→n n n .（4）证明：0>∀ε，不妨设1<ε，取11log 7+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当N n >时，有ε<<=-N n n u 71710，所以071lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn .3. 求下列数列的极限：(1) 98124lim 22++-+∞→n n n n ; (2) 529lim 2+++∞→n n n n ; (3) nn n n n -+-++∞→32lim; (4) )5(lim 2n n n n -++∞→;(5) )11()311)(211(lim 222nn ---+∞→ ; (6) nnn 5151131311lim+++++++∞→ ; (7) )1sin (sin lim --+∞→n n n ; (8) nnn n n 1)4321(lim ++++∞→;(9) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅+∞→)1(1321211lim n n n ; (10) 11)1(6)1(6lim +++∞→-+-+n n nn n . （1）＝98124lim22++-+∞→n n n n 21/98/1/24lim 222=++-+∞→n n n n n （2）＝529lim2+++∞→n n n n 235219lim =+++∞→nn n （3）nn n n n -+-++∞→32lim32)2(3)3(2lim)2)(3)(3()3)(2)(2(lim =++++=++++-+++++-+=+∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n（4） )5(lim 2n n n n -++∞→2555lim 5)5)(5(lim2222=++=++++-++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n ＝ （5）因为 n n n n n n n 11)11)(11(112+⋅-=+-=-， 所以)11()311)(211(lim 222nn ---+∞→2121lim 11454334322321lim=+=+-⨯⨯⨯⨯⨯+∞→+∞→n n nn n n n n ＝（6）＝nnn 5151131311lim +++++++∞→ 565/1113/111lim =-÷-+∞→n（7）)1sin (sin lim --+∞→n n n21cos )1(21sin 2lim 21cos21sin2lim =-+-+=-+--+∞→+∞→n n n n n n n n n n ＝ （8）＝nnn n n 1)4321(lim ++++∞→4)43()42()41(1lim 41=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→nn n n n （9） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅+∞→)1(1321211lim n n n 1)111(lim )111()3121()211(lim 4=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=+∞→+∞→n n n n n（10）=-+-++++∞→11)1(6)1(6lim n n n n n 61)6)1(1()6)1(61(lim 111=-+-+++++∞→n n n nn4. 判断下列结论是否正确,为什么？(1) 设数列}{n u ,当n 越来越大时,A u n -越来越小,则A u n n =+∞→lim ;(2) 设数列}{n u ,当n 越来越大时,A u n -越来越接近于零,则A u n n =+∞→lim ;(3) 设数列}{n u ,若对+∈∃>∀Z N ,0ε,当N n >时,有无穷多个n u 满足ε<-A u n ,则A u n n =+∞→lim ;(4) 设数列}{n u ,若对0>∀ε,}{n u 中仅有有限个n u 不满足ε<-A u n ,则A u n n =+∞→lim ;(5) 若}{n u 收敛,则k n n n n u u ++∞→+∞→=lim lim (k 为正整数);(6) 有界数列}{n u 必收敛； (7) 无界数列}{n u 必发散； (8) 发散数列}{n u 必无界.解： (1) 错; (2) 错; (3) 错; (4) 正确; (5)正确; (6) 错; (7) 正确; (8) 错.5. 利用函数极限的分析定义证明下列极限：(1) 539lim22=--→x x x ; (2) 0)21(lim =+∞→x x ; (3) 1)32(lim 2=-→x x ; (4) 02lim 2=-+→x x .证明：（1）0>∀ε，取εδ=，当δ<-<20x 时，有εδ=<-=--2392x x x ，故 539lim 22=--→x x x .（2）0>∀ε，不妨设1<ε，取ε1log 2=M ，则当M x >时，有ε=<M x )21()21(，故0)21(lim =+∞→x x .（3）0>∀ε，取2/εδ=，当δ<-<20x 时，有εδ=<-=--222132x x ，故 1)32(lim 2=-→x x .（4）0>∀ε，取2εδ=，当δ<-<20x 时，有εδ=<-=-22x x ，故 02lim 2=-+→x x .6. 下列函数什么过程中是无穷小量,什么过程中是无穷大量？(1) 21xy =; (2) )2ln()1(+-=x x y ; (3) xe y -=; (4) 2tan x y =;(5) xy -=112; (6) 12322-+-=x x x y . 解：(1) ∞→x 无穷小量,0→x 无穷大量;(2) 1→x 无穷小量,1-→x 无穷小量,+-→2x 无穷大量,+∞→x 无穷大量;(3) +∞→x 无穷小量 ,-∞→x 无穷大量;(4) πk x 2→(k 为整数)无穷小量 ,ππ+→k x 2(k 为整数)无穷大; (5) +→1x 无穷小量,-→1x 无穷大量; (6) 2→x 无穷小量,1-→x 无穷大量. 7. 求下列函数的极限：(1) 852)3)(sin 6(lim 32+--+∞→x x x x x x ; (2) 732523lim 42+--+∞→x x x x x ; (3) 12102)12()31(lim +-∞→x x x x ; (4) )2(lim 22++-∞→x x x x ; (5) 125lim 3++∞→x x x ; (6) 2)2sin(lim --∞→x x x ;(7) )1(lim 33x x x -+∞→; (8) xx x 1lim2++∞→; (9) xx x 1lim2+-∞→;(10) )49(lim +-++∞→x x x a a (0>a 且1≠a )解：（1）0852)3)(sin 6(lim 32＝+--+∞→x x x x x x （2）=+--+∞→732523lim 42x x x x x 23732523lim 432=+--+∞→xx x x x （3）=+-∞→12102)12()31(limx x x x 1210121012121210223)21()31(lim )12()31(lim =+-=+-∞→∞→x x x x x x x x x（4）)2(lim 22++-∞→x x x x122lim2)2)(2(lim 222222222-=+--=+-+-++=-∞→-∞→x x x xx x x x x x x x x x x（5）∞=++∞→125lim3x x x （6）02)2sin(lim=--∞→x x x（7）)1(lim 33x x x -+∞→)1(11lim)1(1))1(1)(1(lim32333232333232333233=-+-⋅-=-+-⋅--+-⋅--+=∞→∞→x x x x x x x x x x x x x x x x（8）11lim2=++∞→xx x （9）11lim2-=+-∞→xx x （10）当10<<a 时，=+-++∞→)49(lim x x x a a 149=-当1>a 时，)49(lim +-++∞→x x x a a049)49)(49(lim=+++++++-+=+∞→xxx x x x x a a a a a a8. 求下列函数的极限：(1) )153(lim 22--→x x x ; (2) 11lim 1--→n m x x x (n m ,为正整数);(3) 11lim31--→x x x ; (4) ⎪⎭⎫⎝⎛---→121lim 21x x xx ;(5) 22lim 2-→x xx ; (6) 3152lim 23--+→x x x x ;(7) 2211limx x x +-→; (8) ⎪⎭⎫⎝⎛+-++--→x x x x x x 212112lim ;(9) x x xx -----→111lim 1; (10) 1lim 21--+++→x nx x x n x .解：（1）1)153(lim 22＝--→x x x（2）＝11lim 1--→nm x x x nm x x x x x x n m x =+++-+++---→)1)(1()1)(1(lim 111（3）=--→11lim31x x x 32)1)(1)(1()1)(1)(1(lim33233231=+++-+++-→x x x x x x x x x （4）=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→121lim 21x x xx 2312lim 12)1(lim 22121=--+=--+→→x x x x x x x x （5）由022lim2=-→xx x ，有∞=-→22lim 2x xx（6）=--+→3152lim 23x x x x 83)3)(5(lim 3=--+→x x x x（7）=+-→2211limx x x 2)1(1)11(lim 2220-=+-++→x x x x （8）=⎪⎭⎫⎝⎛+-++--→x x x x x x 212112lim 4)1(2lim 22lim 1221=-=+-+--→-→x x x x x x x x x （9）=-----→xx x x 111lim 11111lim 1-=---→x x（10）1lim 21--+++→x nx x x n x2)1(21)1()1(1[lim 1)1()1()1(lim 1121+=+++=+++++++=--++-+-=-→→n n n x x x x x x x n x n x9. 求下列各题中的常数a 和b :(1) 1112lim 23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+∞→x x b ax x ; (2) 51lim 21=-++→x abx x x ;(3) k b ax x x x =--+++∞→)1(lim 2(k 为已知常数).解：(1)因为11)2(11222323+-+++-=++-+x b ax bx x a x x b ax 若1)112(lim 23=++-+→∝x x b ax x ，则02=-a ，1=b ，即2=a ，1=b . （2）因为01lim )1(lim 1)1(lim )(lim 2112121=-++-=-++⋅-=++→→→→xa bx x x x a bx x x a bx x x x x x所以01=++b a ，即a b --=1511))(1(lim 1)1(lim 1lim 12121=-=---=-++-=-++→→→a xa x x x a x a x x a bx x x x x 故6=a ，7-=b . （3）因为kbax x x b x ab x a b ax x x x x =++++-+-+-=--++∝+→∝+→11)21()1(lim)1(lim 22222因此012=-a ，0>a ，k a ab =+-121，求得1=a ，k b -=21.10. 求下列函数极限： (1) x x x 3arcsin 4arctan lim0→; (2) xxx 3sin 2tan lim 0→;(3) x x x 1sin lim ∞→; (4) 2)4sin(lim 22--→x x x ;(5) 2220)cos 1(tan lim x x x x -→; (6) )1cos 1(lim 2xx x -∞→;(7) 30sin 1tan 1limxx x x +-+→; (8) x x xx x sin 3sin 2lim 0+-→;(9) x x x x 2sin 5tan lim0-→; (10) hxh x h sin )sin(lim 0-+→.解：（1）3434lim 3arcsin 4arctan lim 00＝＝x x x x x x →→（2）3232lim 3sin 2tan lim 00==→→x x x x x x（3）=∞→x x x 1sin lim 1/1)/1sin(lim =∞→xx x（4）=--→2)4sin(lim22x x x 424lim 22=--→x x x （5）=-→2220)cos 1(tan limx xx x 4)2/(lim 2240=→x x x （6）=-∞→)1cos1(lim 2x x x 2121lim 22=⋅∞→xx x（7）=+-+→30sin 1tan 1limx xx x 4121lim 212)cos 1(tan lim 32030=⋅=-→→xxx xx x x x （8）=+-→x x xx x sin 3sin 2lim041/)(sin 3/)(sin 2lim0=+-→x x x x x （9）=-→x xx x 2sin 5tan lim03252sin lim 5tan lim 00=-=-→→xx x x x x（10）=-+→h x h x h sin )sin(lim 0x hh x h h cos ]2/)2cos[()2/sin(2lim 0=+→11. 求下列函数极限： (1) xx x)11(lim -∞→; (2) x x x 2cot 20)(sec lim →;(3) 121011lim +→⎪⎭⎫⎝⎛+xx x ; (4) xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→22lim ;(5) 311lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ; (6) xx x-→111lim .解：（1）=-∞→x x x )11(lim 1)1()11(lim ---∞→=-e xx x（2）=→xx x 2cot20)(sec lim e x xx =+→2tan120)tan 1(lim（3）121011lim +→⎪⎭⎫⎝⎛+xx x21)1(21100210)11(lim 11lim )11(lim -+⋅+→→→=+-=+⋅+=exxx x x x x x x x x（4）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→22lim42)4(422)4(42)241(lim )241(lim )241(lim --∞→-⋅+-∞→--⋅+-∞→=+-⋅+-=+-=e x x x x x x x x （5）=⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→311lim x x x x 212213)121(lim )11(lim )11(lim e x x x x x x x x x x =-+=-+⋅-++⋅-∞→∞→∞→（6）=-→xx x111lim 1)1(111)11(lim --⋅-→=-+e x x x12. 求下列函数极限： (1) )6sin(sin 21lim6ππ--→x x x ; (2) xxx 251ln lim0+→;(3) )21ln()31ln(lim x x x ++-∞→; (4) 1arcsin lim 20--→x x e xx ;(5) )1ln(121lim2x x x x ---→; (6) x e x x 21lim3sin 0-→;(7) xx x 1)tan 21(lim ++→; (8) xxx e x 10)(lim +→;(9) x x x x 3)421ln(lim 20+-→; (10) )4tan()2tan(lim 4x x x -⋅→ππ;(11) xx x 1)sin 1(lim -→; (12) x x x 2cot 10)(cos lim +→.解：（1）令6π-=x t ，6π→x 时0→t ，原式化为)6sin(sin 21lim6ππ--→x x x3)sin 3(lim cos 1lim ]2/)(cos 2/)(sin 3[21limsin )6/sin(21lim0000-=-+-=+-=+-→→→→tt t t tt t tt t t t t π＝（2）＝x x x 251ln lim0+→45252122/)51ln(lim 0=⋅=+→x x x（3）＝)21ln()31ln(limx x x ++-∞→0)23(lim 23lim ==-∞→-∞→xx x x x （4）＝1arcsin lim2--→xx e x x 1lim220-=-→x x x （5）=---→)1ln(121lim 20x x x x 12/)2(lim 220=--→xx x（6）＝xe x x 21lim3sin 0-→6123/)(sin lim 0-=-→x x x（7）xx x 1)tan 21(lim ++→ 2tan 2limtan 210tan 22tan 2100)tan 21(lim )tan 21(lim e x x xxx x x x x x x =+=+=+→++⋅→⋅→（8）=+→xxx e x 1)(lim 2111)11(lim e e x x e x e x x x x x =-++-+⋅-+→（9）=+-→x x x x 3)421ln(lim2032324lim 20-=-→x x x x （10）令x t -=4π，4π→x 时0→t ，)4tan()2tan(lim 4x x x -⋅→ππ21tan 2tan 1lim 2cot lim )22/tan(lim 2000=-⋅==⋅-=→→→t t t t t tt t t t π（11）=-→xx x 10)sin 1(lim 1sin sin 10)sin 1(lim --⋅-→=-e x xx x x（12）xx x 2cot 10)(cos lim +→21tan 1cos 1cos 10cot 022)1cos 1(lim cos lim cos lim --⋅-→→→=-+=⋅=ex xx xx x x xx x13. 证明：0)2(1)1(11lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++∞→n n n n . 证明：222221)2(1)1(11)2(1n n n n n n n +≤++++≤+ 又由01lim )2(1lim22=+=++∞→+∞→n n n n n n所以0])2(1)1(11[lim 222=+++++∞→n n n n 14．求下列函数的间断点,并判断类型.)1( 1212)(11+-=xxx f ; (2) ()x x x x f 21)1ln()(2--=;(3) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=10111)(2x x xx x f ; +++++++++++++++++++++++ (4) ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤+<=23212416)(2x x x x x x f 解：（1）11212lim/1/10-=+--→x x x 12/112/11lim 1212lim /1/10/1/10=+-=+-++→→xxx x x x即0=x 为跳跃间断点.（2）0)21()1ln(lim20=--→x x x x ，即0=x 为可去间断点. 0)21()1ln(lim 20=--→x x x x ，即21=x 为无穷间断点. （3）211lim 21=+--→xx x ，即1-=x 为可去间断点.（4）10)(lim 2=-→x f x ，7)(lim 2=+→x f x ，即2=x 为跳跃间断点. 15. 讨论下列函数的连续性:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=)0(0)0(1sin)(2x x xx x f ;(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(1)0(sin )(x x xx x f ;(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=003)(1x x x f x. 解：(1) 0<x 时，xx x f 1sin)(2=连续， 0>x 时，0)(=x f 连续，0=x 时，)(lim 0)(lim 0_x f x f x x +→→==连续， 所以)(x f 在),(+∞-∞连续.（2） 0<x 时，x xx f sin )(-=连续， 0>x 时，xxx f sin )(=连续，0=x 时，1)sin (lim )(lim 00-=-=--→→xxx f x x ，1sin lim )(lim 00==++→→xxx f x x ， 所以)(x f 在0=x 处不连续.（3）0≠x 时，xx f 13)(=连续，03lim )(lim 10==--→→x x x x f ，∞==++→→xx x x f 103lim )(lim ， 所以)(x f 在0=x 处不连续. 16. 确定常数b a ,使下列函数连续：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧+<<--=其他53541)(2bxa x x x f ; (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=-<=01sin 010sin 1)(x b x x x a x xx x f .解：(1)若)(x f 在54-=x ，53=x 处连续，则有2)54()54(1lim)(lim x bx a x x -=++--→-→，)(lim 1lim)53(2)53(bx a x x x +=-+-→→，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-54535354b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==7175b a （2）)(x f 在0=x 处连续，1sin 1lim 0-=-→a x x x ，1)sin 1(lim 0-=++→a b x xx ， 有11=-a ，1-=a b ，解得2=a ，1=b . 17. 试证方程0133=--x x 在区间)2,1(内至少有一个实根. 证明：令13)(3--=x x x f ，)(x f 在)2,1(连续，03)1(<-=f ，01)2(>=f ，由零点定理知，至少存在一点)2,1(0∈x ，使得0)(0=x f 成立，即 方程0133=--x x 在区间)2,1(内至少有一个实根. 18. 试证方程2-=xe x 在区间)2,0(内至少有一个实根. 证明：令2)(+-=xe x xf ，)(x f 在)2,0(连续，01)0(>=f ，04)2(2<-=e f ，由零点定理知，至少存在一点)2,0(0∈x ，使得0)(0=x f 成立，即 方程2-=xe x 在区间)2,0(内至少有一个实根.(B)1. 求极限)31ln()21ln(lim x x x +++∞→.解：)31ln()21ln(lim x x x +++∞→3ln 2ln )3/11ln(3ln )2/11ln(2ln lim)3/11ln(3ln )2/11ln(2ln lim=++++=+++++∞→+∞→x xx x x x x x x x ＝2. 设nn n n n u n ++++++=2222211 ,求n n u +∞→lim . 解：因为1212122++++≤≤++++n n u n n n n ， 212/)1(lim 21lim 22=++=++++∝+→∝+→nn n n n n n n n ， 2112/)1(lim 121lim 22=++=++++∝+→∝+→n n n n n n n ， 由极限存在定理可知，21lim =∝+→n n u . 3. 设数列}{n u ：,2,,222,22,21-++++n u ,证明：n n u +∞→lim 存在,并求此极限值.证明：首先证}{n u 单调增加。
龚德恩 经济数学基础 第一分册 微积分课件chapter 8.7
例
D
D {( x, y) | 0 x 1, x y 1}
xdxdy , D由y轴y x , y 1所围. y 1
1 1 x 0
解 原式 dx
xdy
1 x
1
( x x )dx
3 2
0 1 0
x y | dx
1 x
2 x 2 x ) |1 4 ( 0 3 5 15
2
2y
2
f ( x , y )dx
0
4
dx x f ( x , y )dy
2
x
o
x
( 3)
1 dx2 x
2
2 x x2
f ( x , y )dy
解 积分区域为 D : 1 x 2,2 x y 2 x x 2
或 1 x 2,2 x y ,
x 2 y 2 2 x 0 1 x 2, x y 2, ( x 1)2 y 2 1
1 dx2 x
2 x x2
( 4)
1 dx 0
e
ln x
f ( x , y )dy .
交换下列二次积分的积分次序
（1） dy f ( x , y )dx
0 0 1 y
0 y 1, 解 二重积分的积分区域为D 0 x y 如下图所示： y
故
0 dy0
第二步 : 近似 在第i个小区域上任取一点 i , i ),用以 ( f ( i , i )为高的小平顶柱体代替 小曲顶柱体
Vi f ( i ,i ) i
n n i 1 i 1
(i 1,n)