最新人教版高中数学选修2-3《排列组合的易错问题》课前导引
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合常见错解剖析
排列组合常见错解剖析山东枣庄二中（277400）张夫娥排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文结合实例介绍同学们中存在的普遍错误，以飨读者.1.没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.剖析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.剖析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3=34种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2．判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.剖析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3．重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
高中排列组合知识点 高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结
《高中排列组合知识点高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结》摘要：()()()(+)!()!(规定0!)，()()!!(()!!);()();，()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)排列组合是高二数学选修3教学重要容了助高二学生掌握排列组合容下面编给带高二数学选修3排列组合易错知识希望对你有助高二数学排列组合错知识排列组合问题依据是分类相加分步相乘有序排列无序组合排列组合问题规律是相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排排法;至多至少问题接法二项式系数与展开式某项系数易混r+项二项式系数二项式系数项与展开式系数项易混二项式系数项项或两项;展开式系数项法要用不等式组确定r3你掌握了三种常见概率公式吗?(①等可能事件概率公式;②斥事件有发生概率公式;③相独立事件发生概率公式)分布列答题你能把步骤写全吗?5如何对总体分布进行估计?(用样估计总体是研究统计问题基思想方法般地样容量越这种估计就越精确要能画出频率分布表和频率分布直方图;理频率分布直方图矩形面积几何义)6你还记得般正态总体如何化标准正态总体吗?(对任正态总体说取值x概率其表示标准正态总体取值概率)高二数学选修3知识排列及计算公式从不元素任取()元素按照定顺序排成列叫做从不元素取出元素排列;从不元素取出()元素所有排列数叫做从不元素取出元素排列数用()表示()()()(+)!()!(规定0!)组合及计算公式从不元素任取()元素并成组叫做从不元素取出元素组合;从不元素取出()元素所有组合数叫做从不元素取出元素组合数用()表示()()!!(()!!);()();3其他排列与组合公式从元素取出r元素循环排列数(r)r!r(r)!元素被分成k类每类数分别是k这元素全排列数!(!!k!)k类元素每类数无限从取出元素组合数(+k)排列((下标上标))()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)组合((下标上标));!!()!;(两分别上标和下标);(下标上标);公式是指排列从元素取R进行排列公式是指组合从元素取R不进行排列元素总数R参与选择元素数!阶乘如9!987653从倒数r表达式应该()()(r+);因从到(r+)数(r+)r高二数学学习方法()记数学笔记特别是对概念理不侧面和数学规律教师课堂拓展课外知识记录下你觉得有价值思想方法或例题以及你还存问题以便今将其补上()建立数学纠错把平容易出现错误知识或推理记下以防再犯争取做到错、析错、改错、防错达到能从反面入手深入理正确东西;能由朔因把错误原因弄水落石出、以便对症下药;答问题完整、推理严密(3)熟记些数学规律和数学结论使己平运算技能达到了动化或半动化熟练程()常对知识结构进行梳理形成板块结构实行整体集装如表格化使知识结构目了然;常对习题进行类化由例到类由类到多类由多类到统;使几类问题归纳知识方法(5)数学课外籍与报刊参加数学学科课外活动与讲座多做数学课外题加学力拓展己知识面(6)及复习强化对基概念知识体系理与记忆进行适当反复巩固消灭前学忘(7)学会从多角、多层次地进行总结归类如①从数学思想分类②从题方法归类③从知识应用上分类等使所学知识系统化、条理化、专题化、络化(8)常做题进行定反思思考下题所用基础知识数学思想方法是什么什么要这样想是否还有别想法和法题分析方法与法其它问题是否也用到(9)无论是作业还是测验都应把准确性放位通法放位而不是味地追速或技巧这是学数学重要问题猜你感兴趣高二数学排列与组合知识总结高二数学选修知识总结3高二上学期数学复习知识归纳高二数学排列组合题技巧5高二上数学知识总结607高二数学排列组合公式知识总结。
人教版高中数学选修2-3《排列组合问题的解题策略选讲》教案
(2)创设问题
在这一类问题中，我们以如下几个问题作为典例进行研究。
6．教学反思
一个策略的形成是螺旋式上升的，对策略的理解不仅是对结果的理解，更是对方法和过程的理解。本课题设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真。从四个问题，两个思考探究出发，设问解疑，引导学生进入本课题的中心。
4．教学过程
(1)复习回顾
在前面的几节课，我们已经对选修2-3的第一章《计数原理》进行系统地复习。
说明：打出第1张幻灯片。
图：第1张幻灯片片段
教学内容
说明：由于这些内容前面已经系统地复习了，所以简单扼要地叙述上面幻灯片的内容，主要是帮助学生回忆前几节课的内容。
虽然复习巩固了，但同学们反映还是有很多题目不会做或做错。为什么呢？
下面，我们同样通过一道例题进行融会贯通。
说明：打出第9张幻灯片，先打出例题。
图：第9张幻灯片片段
甲乙丙要相邻，我们可以先把甲乙丙排在一起（捆绑），然后把甲乙丙的排列当成一个
教学内容
元素再与其它的元素进行排列。
说明：引导学生进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。
解答完例题后，对捆绑策略进行总结：几个元素必须相邻时，先按照要求把它们捆绑成一个元素，再与其它的元素进行排列。
教学内容
策略1．插空策略
插空策略可以解决元素不相邻的问题。
说明：打出第5张幻灯片，先打出插空策略的说明。
最新整理高中数学人教A版选修2-3课前导引：1.2.2排列(二) Word版含解析.doc
1.2.2 排列（二）
课前导引
问题导入
若A={a,b,c}，B={-1,0,1}.
f是集合A到集合B的映射，且满足f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射f共有( )
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
思路分析：把各种情况列出来，用表格表示为：
f(a)-1-100011 f(b)0101-10-1 f(c)100-11-10
映射共7个.
枚举法是解排列问题的典型方法.
知识预览
1.解答排列应用题时，要注意以下几点：
(1)仔细审题，明确题目中的事件是什么，可以通过什么样的程序来完成这个事件，进而选相应的模型计算，不能乱套公式，盲目计算；
(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出树形图来解；
(3)注意间接法的使用.
2.结合两个原理解题是处理排列问题必不可少的方式.。
最新人教版高中数学选修2-3《排列组合的综合应用》课堂指导
课堂指导三点剖析一、排列数组合数的运算【例1】 已知61-m n C =14mn C =211-m n C .解析：已知条件可化为)1()!1(6!+--∙m n m n=)!(!14!m n m n -∙=)!1()!1(21!--+∙m n m n ，又n!,（m-1）!（n-m-1）!都是正整数，故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-,)1(211)(141,141)1(61m m n m m n 即 ⎩⎨⎧=--=+-.0352,03103m n m n 解得⎩⎨⎧==.3,9m n 所以m n C 1-=38C =56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算，组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用. 二、排列与组合的差别【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 解析：把六门课程看成六个元素，把顺序看成位置（1）位置分析法：依第一节课的情况进行分类，有以下情况排法： ①第一节课排数学，第六节课排体育，共有44A 种排法. ②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有14A 44A 种排法. ③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有14A 44A 种排法. ④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种.（2）元素分析法：依数学课的排法进行分类，有以下情况的排法：①数学课排在第一节，体育课排在第六节，共有44A 种排法. ②数学课排在第一节，体育课不排在第六节，共有14A 44A 种排法. ③数学课不排在第一节，体育课排在第六节，共有14A 44A 种排法. ④数学课不排在第一节，体育课不排在第六节，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种. 温馨提示排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思路是“先选之，再排队”. 三、排列、组合的综合应用【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学.思路分析：若设共有n 名同学，则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来，从而得到一个关于n 的方程，解方程可求出n 的值.解：设共有n 名同学，首先从这n 名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：第一类，不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有41-n A 种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有12A 种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有31-n A 种方法，共有12A ·3n A 种参赛方式，由分类计数原理共有41-n A +12A ·31-n A 种方法，根据题意，得 41-n A +12A ·31-n A =72解得n=5. 温馨提示对于这类较为复杂的问题，往往会感到无从下手，如果从竞赛学科角度来思考，则需分很多情况，容易出错，而我们可以采取“先取后排”的原则，即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答条理性强，有利于问题的解决.各个击破类题演练 1化简11A +222A +333A +…+nn nA . 解析：由于-n n A =n n n A ,则11A +222A +333A +…+n n n A=（22A -11A ）+（33A -22A ）+（44A -33A ）+…+11+-n n A -n n A=11++n n A -1=（n+1）!-1.变式提升 1求n n C 313++1312-+n n C +2311-+n n C +…+n n C -172的值. 解析：由n n C 313+知n 满足3n≤13+n ① 由n n C -112知n 满足17-n≤2n.②联立①②得317≤n≤213,而n ∈N *,所以n=6所以原式=1819C + 1718C +…+1112C =119C +118C +…+112C=19+18+…+12=124. 类题演练 2用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数. （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的四位偶数？解析：（1）直接法：15A 35A =300；间接法：46A -35A =300； （2）由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理，另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待.方法一：（直接法）0在个位的四位偶数有35A 个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在首位，应有12A ·14A ·24A 个.综上所述，共有35A +12A ·14A ·24A =156个.方法二：（间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有13A ·35A ，其中第一位是0的有12A ·24A 个，故适合题意的数有13A ·35A ·24A =156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. （1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ 解析：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种放法.（2）为全排列问题，共有44A =24种方法.（3）方法一：先将四个小球分为三组，有22111224A C C C 种， 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有34A 种投放方法，故共有22112224A C C C 34A =144（种）. 方法二:先取4个球中的两个“捆”在一起，有24C 种选法，把它与其他两个球，共3个元素分别放入4个盒子中的3个中，有34A 种， 所以共有24C 34A =144（种）. 类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）A.140种B.84种C.70种D.35种解析：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有25C ·14C 种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有24C ·15C +14C ·25C =70（种）.答案：C 变式提升 34个不同的小球，全部放入3个不同的盒子中，要求不能有空盒，则有多少种不同的放法？解析：从4个小球中取出2个看成一个“大球”，有24C 种取法，再把这“3个球”全部放入3个盒子中，有33A 种方法，共有24C ·33A =36种放法.。
最新人教版高中数学选修2-3《排列》教学设计
最新人教版高中数学选修2-3《排列》教学设计教学设计1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29. 2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)．解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！，也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0，。
最新人教版高中数学选修2-3《排列组合的综合问题》课后导练
课后导练基础达标1.小于50 000且含有两个5而其他数字不重复的五位数有（ ）A.14A 24A 28A 个B.14C 24C 28A 个C.14C 24C 28C 个D.14C ·28C ·14A 个 解析：首位有14C 种排法，其余4个位置上排两个5，有24C 种排法，剩下的两个位置排法有28A 种，由分步计数原理得14C 24C 28A ，故选B.答案：B2.（2005福建高考，理9）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A.300种B.240种C.144种D.96种解析：能去巴黎的有4人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的人分别有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有4×5×4×3=240种，故选B.3.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个.（用数字作答）解析：合条件四位数的个位必须是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排.按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类： ①0排在个位能被5整除的四位数有11A ·（14C 24C ）33A =144个； ②0排在十、百位，但5必须排在个位有12A ·11A （14C 13C ）22A =48个； ③不含0，但5必须排在个位有11A ·（13C 24C ）33A =108个. 由分类计数原理得所求四位数共有300个.4.把10人平均分为两组，再从每组选正、副组长各一人.共有_________选法. 解析：分两步，先分组，再分别在每一组选正副组长，分组有51021C 种方法，每组选正副组长都有25A 种方法，总的选法种数为51021C 25A 25A =50 400种. 答案：50 4005.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一个空盒的放法有________种. 分析:本题是排列组合混合应用题，放在同一个盒中的两个球没有顺序问题，属于组合.而哪一个盒子中放两个球，则有顺序属于排列.四个盒子中的球数的模式为2，1，1，0，先从4个球中选两个球，有24C 种选法，由于4个盒子有编号，因此将2，1，1，0放入四个盒中时应有44A 种放法，故共有24C ·14A =144种放法. 综合运用6.某车队有车7辆，现要调出4辆按一定的顺序执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要在乙车前开出，则不同的调度方法种数是（ ）A.30B.60C.120D.240解析：因为甲、乙两车必须参加，所以从剩下5辆车中选出2辆车有25C 种选法，与甲、乙两车一起执行任务有14A 种选法.又甲车在乙车前与乙车在甲车前执行任务选法相同，所以符合要求的选法有2521C ×14A =120. 答案：C7.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A.90种B.180种C.270种D.540种解析：分两步完成：先分医生.3名医生分配到3所学校，每校1名，有13C 12C 11C ，即33A 种分法；6名护士分配到3所学校，每一校2名，有26C 24C 22C 种分法.由分步计数原理，分法共有33A 26C 24C 22C =540（种）答案：D8.从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子展览，如果甲、乙两种种子不许放入第一号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A.210C 48AB.19C 59AC.18C 59AD.219C 59A 解析：分两步完成，将除甲、乙两种种子外的其余8种种子选1种放在1号瓶内，有18C 种放法；再把包括甲、乙在内的剩下的9种不同的种子选5种放入从2号瓶到6号瓶共5个不同的瓶子，有59A 种放法，依分步计数原理可得不同的放法共有18C 59A 种，故选C. 答案：C9.设A={a,b,c,d},B={e,f,g},映射f:A→B,满足条件；B 中任何元素都有原像，则这样的映射有_________个.解析：该映射特点为A 中两个元素对应B 中某一个元素，其余两元素与B 中另外2个元素对应，故有24C ·33A =36个.答案：36个 拓展探究10.集合A ，B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3},当A≠B 时，（A ，B ）与（B ，A ）视为不同的对，则这样的（A ，B ）对的个数有多少.分析：这是已知A ∪B ，解A ，B 的逆向问题，一般来讲逆向问题往往不能保证唯一性，应根据题目的特征正确分类. 解析：（1）若A={a 1,a 2,a 3},则满足题设的B 可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的B 有03C +13C +23C +33C =23（个），这时（A ，B ）有33C ·23对.（2）若A 为二元素集合，则A 有23C 种取法，其对应的B 有02C +12C +22C =22（个），这时（A ，B ）有23C ·22对.（3）若A 为单元素的集合，则A 有13C 种取法，其对应的B 有2个，这时（A ，B ）有13C ·2对.（4）若A 为空集，则A 有03C 种取法，其对应的B 有1个，这时（A ，B ）有03C ·20，综上，共有N=33C ·23+23C ·22+13C ·2+03C ·20=27对.备选习题11.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法种数是（ ）A.9B.12C.15D.18 解析：如图所示：使1号盒分别装5、4、3、2、1个球时，共有N=1+2+3+4+5=15种. 答案：C12.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有（ ）A.45种B.36种C.28种D.25种 解析：因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6次，一步二个台阶的有2次，那么六个1和二个2，不同的组合方案就构成了不同的走法，我们分类进行讨论.①两个2的位置不相邻，先把六个1排成一列那么有7个空挡可供两个2选择，这样有27C 种插法.②两个2相邻，这时把两个2当作一个，有7个空挡可供选择即有7种插法.故一共有27C +7种即28种不同的走法. 答案：C13.(2006辽宁高考，理15)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有___________种.（以数作答）解析：分两类：两老一新时，有13C ×12C 22A =12种排法；两新一老时，有12C 23C ×33A =36种排法，故一共有12+36=48（种）排法. 答案：4814.用红、绿、黄、蓝、白五种颜色涂在“田”字形的小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格不同色.如果颜色可以重复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解析：可分三类一类是四格均不同色，有45A =120种涂色方法；一类是有且仅有两格同色，则必定是相对两格，有15C ·2·24A =120种涂色方法；第三类是两组对角方格分别涂同色，有25A 种涂法.所以共有120+120+20=260种涂色方法.15.如图1所示，某人沿着网格线前进，他走最短路线：（1）这人从原点O （0，0）走到点P （5，4）可有多少条不同的行走路线？（2）若擦去从点A （2，1）到点B （2，2）这一段，也就是假设这一段禁止通行，这个人又有多少条不同的行走路线？ 解析：（1）这人从原点O （0，0）走到点P （5，4），必须向右行走5个单位，向上行走4个单位，这样任何一条行走路线都一一对应于从5+4个单位中选取4个位置向上走，无论向上走的4个位置排在9个单位中哪个位置上，共有49C =126条路线.（2）由（1）知，这人从原点O （0，0）走到A （2，1）的最短路线有13C 条，从点A （2，1）到点B （2，2）的最短路线则是唯一的，又从点B （2，2）到点P （5，4）的最短路线有25C 条.所以，这人不走AB 这一段，从原点O （0，0）走到点P （5，4）的最短路线有： 49C -13C 25C =96（条）。
人教版数学高二A版选修2-3课前引导排列(一)
高中数学打印版
精心校对版本 1.2 排列与组合
1.2.1 排列(一)
课前导引
问题导入
五个人站成一排，顺序不同认为是不同的排法.一共有多少种不同的排法?此类问题就是本节课要学习的内容.
思路分析：这个问题相当于5个人站5个位置.第一个人可以站5个位置中的任何一个位置，有5种站法；第二个人可以站剩下的4个位置中的任何一个位置，有4种站法.依次类推，最后一个人只有1个站法.因此，五个人站成一排一共有5×4×3×2×1=120种不同的排法. 知识预览
1.排列定义
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.定义的理解
(1)排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序”.“一定顺序”表示与位置有密切关系，这里的位置应该视其具体问题的性质和条件来决定.如，从1，2，3三个数中每次取出两个不同的数相乘，问有多少个不同的积；如果相除，问有多少个不同的商.在这里，前者就不需要考虑“顺序”，这是由乘法的交换律所得，而后者必须考虑谁作分子，谁作分母的“顺序”问题.
(2)排列定义中指出的是一个排列，而不是所有的排列.对于两个排列来讲，只有当元素完全相同且元素顺序也完全相同时，才是相同的一个排列.元素不完全相同或元素完全相同而排列顺序不完全相同的排列，都不是同一个排列.
(3)在排列定义中，如果m ＜n(每次只取出一部分元素)，这样的一个排列叫选排列.如果m=n(每次取出全部元素)，这样的一个排列叫全排列.
3.排列数公式:
m n A =n(n-1)(n-2) …(n-m+1) =
)!
(!m n n。
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1.2.6 排列组合的易错问题
课前导引
问题导入
将4个不同的球放入4个不同的盒子内，恰有一个盒子未放球，共有几种放法？
思路分析：此事件可分两步完成.第一步先从4个盒子中抽出一个不放球，有14C =4种方法；
第二步再把4个球放入剩下的3个盒子里，并且每个盒子都不空，有22
221314A C C C ×33A =36种方法.因此，共有144种不同的放法.
解法一：分三步：第一步选出3个球共有34C 种方法；第二步选出3个盒子并放入刚才的三
个球有3
4C ·33A 种方法；第三步，从刚才选出的3个盒子中选出1个盒子，放入剩下的一个
球，有13C 种放法，由分步计数原理，共有：34C ·34C ·33A ·13
C =288种放法. 解法二：分三步：第一步，选空盒，有14C 种方法；第二步，将4个小球中选2个小球看成一个整体有2
4C 种方法；第三步，将3个不同“小球”放入3个不同的盒子中，有33A 种方法.
由分步计数原理有14C ·24C ·33A =144（种） 以上两种解法看似都有道理，但结果为什么不同呢？
事实上，解法二是正确的，解法一是错误的，因为在解法一中出现了重复放法：如设这4个小球分别为a,b,c,d,盒子号分别为1，2，3，4.如图所示
.
在1，2，3号盒子中先分别放a,b,c 然后把d 放入2号盒子和先分别放a,d,c ，再往2号盒子中放入b 是同一种放法，解法一是把这同一种放法视作不同的放法，从而造成了重复. 知识预览
1.运用两个计数原理要正确地分类或分步；
2.排列和组合的区别在于有无顺序；
3.在分类或分步时，要特别当心有没有重复或遗漏情况发生.。