2014江苏高考数学二轮复习解析几何中动态问题的切入点探究
2014高考二轮复习解析几何专题(理科普通班)
肥东锦弘中学2014届高三数学二轮复习专题（理科普通班）专题五 解析几何 (一) 直线与方程类型一 直线斜率与倾斜角A.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0,πB.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ B. 已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 过点(1,1)且倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍，则直线l 的方程为________类型二 两直线位置关系与点到直线的距离A.已知直线1L ：ax ＋3y －1＝0与直线2L ：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________B.若动点A ，B 分别在直线1L ：x ＋y －7＝0和2L ：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2C.“a ＝0”是“直线1L ：(a ＋1)x ＋2a y －3＝0与直线2L ：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件类型三 直线方程的综合A.已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．B.已知直线1L ：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线1L 关于直线l 的对称直线为2L ，求直线2L 的方程．C.已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________(二) 圆的方程类型一 求圆的方程A. 如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________B.(1)已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________(2)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________C.已知点P (2,1)在圆C ：22x y +＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为_______类型二 直线与圆的位置关系A.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3，]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B.若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________C.已知圆M ：22(2)x y +-＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． (1)若Q (1,0)，求切线QA ，Q B 的方程． (2)求四边形QAMB 面积的最小值． (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．类型三 圆与圆的位置关系A.若圆22xy +＝4与圆22x y +＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝B.当a 为何值时，圆C 1：22x y +－2ax ＋4y ＋2a －5＝0和圆C 2：22x y +＋2x －2ay ＋2a －3＝0.(1) 外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．C.设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：22x y +＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________类型四 综合问题A.已知实数x ，y 满足方程22x y +－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求22x y +的最大值和最小值.B.已知圆C ：22(3)(4)x y -+-＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，则d ＝22PA PB +的最大值为________，最小值为________C.已知平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥04200y x y x 恰好被面积最小的圆C ：222()()x a y b r -+-=及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________(三) 圆锥曲线类型一 概念应用A.已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线B.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数2a (a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于122a .其中，所有正确结论的序号是________类型二 圆锥曲线定义的应用A.如图所示，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅.求动点P 的轨迹C 的方程.B.一动圆与圆22x y +＋6x ＋5＝0外切，同时与圆22x y +－6x －91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线.C . 设圆22(1)x y ++＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.22442125x y -＝1B.22442125x y +＝1C.22442521x y -＝1D.22442521x y +＝1 类型三 求离心率A.(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. 45B. 35C. 25D. 15(2)直线y ＝－3x 与椭圆C ：2222x y a b+＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－12C.3－1 D ．4－2 3 B.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.3＋12 D.5＋12C.双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F 渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2l ⊥1PF ，2l ∥2PF ，则双曲线的离心率是( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2类型四 椭圆的标准方程及其几何性质A.中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点1F ，2F ，且|12F F |＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠12F PF 的值.B.设1F ，2F 分别是椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1PF ⊥2PF ，|1PF |·|2PF |＝2.当a ＝2b 时，求椭圆方程.类型五 抛物线的标准方程及其几何性质A.已知抛物线C ：2y =2px （p >0）的准线l ，过M （1,0）且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p =_________B.已知过抛物线2y =2px 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()()1,12,2,A x y B x y 两点，且9AB =．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．类型六 切线问题A. 如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：2x ＝4y 相切于点A . （1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.B. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,-1)，B 点在直线y =-3上，M 点满足//,MA AB MB BA ⋅=⋅,M 点的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.类型七 中点弦问题A.已知点M ⎪⎭⎫⎝⎛1,21在椭圆C ：13422=+y x 内，则以点M 为中点的弦所在直线方程为 B.已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆C:0252422=+--+y x y x 交与A 、B 两点，线段AB 恰是圆C 的直径，且AB 的斜率为21-，求此椭圆的方程. 类型八 对称问题A.已知抛物线C ：x y =2与直线43:+=kx y l ，要使得C 上存在关于l 对称的两点，求实数k 的范围.B.已知椭圆C ：,13422=+y x 直线l ：m x y +=2，若椭圆C 上存在两点P 、Q 关于l 对称，求实数m 的范围.类型九 定值、定点、定直线问题A.椭圆C ：13422=+y x ，过右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，问：x 轴上是否存在一点M ，使得⋅恒为定值.若存在，求出点M 坐标，若不存在，请说明理由.B.抛物线x y 42=上三点A 、B 、C 与焦点F 连线段依次成等差数列，且B （1,2），求证：线段AC 的中垂线过x 轴上一定点.C.已知抛物线()022>=p py x ，过点F 的直线与曲线交与A 、B 两点，过A 、B 作切线PA 、PB ，交点为P ，求证：P 点恒在一条直线上．类型十 最值问题（函数方程思想在解析几何中的应用）A.已知A 、B 是抛物线()022>=p px y 上的两点，且OB OA ⊥,则ABC ∆面积的最小值为 .B.设椭圆中心在坐标原点，A (2,0),B (0,1)是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（1）若6=，求k 的值； （2）求四边形AEBF 面积的最大值．C.设椭圆E ：()012222>>=+b a by a x ，过点()()1,6,2,2N M 两点，O 为坐标原点。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题11 直线与圆
[规律方法] 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线 的距离，再利用弦长公式 AB＝2 r2－d2；求圆的方程问题常见于 找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行 判定．
【训练 3】 如图所示，已知以点 A(－1,2)为圆心 的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切．过点 B(－2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点， Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程； (2)当 MN＝2 19时，求直线 l 的方程； → → (3)BQ· BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请 说明理由．
在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为 x2＋y2＝25，可以验证过该圆上除点(± 4，± 3)的任意一点也均 x2 y2 可作两条相互垂直的直线与椭圆 16＋ 9 ＝1 的交点都各只有 一个；故圆方程 x2＋y2＝25. 答案 x2＋y2＝25
• 热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系 • 【 例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 圆 • C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆 • C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝ • 2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)． • (1) 设 P 为坐标轴上的点，满足：过点 P 分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别 为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满 足条件的点P的坐标； • (2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：
• 3．直线方程的5种形式中只有一般式可以 表示所有的直线．在利用直线方程的其他 形式解题时，一定要注意它们表示直线的 局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截 距相等”这个条件设方程时一定不要忽略 过原点的特殊情况．而题中给出直线方程 的一般式，我们通常先把它转化为斜截式 再进行处理． • 4 ．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、 半径及平面几何知识的应用，如弦心距、 半径、弦长的一半构成直角三角形经常用 到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往
高考数学二轮复习 解答题题型练习6 解析几何中的探索性问题
题型六 解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答 案1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .由已知F 2(c,0)，A (0，b )，∴以AF 2为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －32c ＋22＝a 2. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．。
2014江苏高考二轮复习数列(二)
第7讲 数列二综合题题型分类：题型一：恒等关系或不等关系论证题型二：已知数列构造新数列，讨论通项、前n 项和等例1：(2013江苏)设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d，n S 是其前n 项和．记cn nS b nn +=2，*N n ∈，其中c 为实数．(1)若0=c，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）；(2)若}{n b 是等差数列，证明：0=c ．证：(1)若0=c，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=，22)1(ad n b n +-=．当421b b b ，，成等比数列，4122b b b =，即：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ，得：ad d 22=，又0≠d ，故a d 2=．由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=．故：k nkS n S 2=（*,N n k ∈）． (2)cn a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(， c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n+=型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：022)1(2=++-cn ad n c，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c．经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列．例2：(2014扬州期末)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=*()n ∈N .(1)求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)求证：33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ； (3)是否存在非零整数λ，使不等式1121111(1)(1)(1)cos 21n n n a a a a a πλ+--⋅⋅-<+对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：(1)由(2)4n n na a S +=.当1n =时，1111(2)4a a a S +==，解得12a =或10a =（舍去）． ……2分当2n ≥时，由111(2)(2)44n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-22112()n n n n a a a a --⇒-=+， ∵0n a >，∴10n n a a -+≠，则12n n a a --=，∴{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故2n a n =． ………………4分(2)证法一：∵332211111(2)88(1)8(1)(1)n a n n n n n n n n ==<=⋅--+ 111[](2)16(1)(1)n n n n n =-≥-+，……4分 ∴当2n ≥时，3333333312311111111246(2)n a a a a n ++++=++++ 311111111[()()]21612232334(1)(1)n n n n <+-+-++-⨯⨯⨯⨯-+ 11111115[]8162(1)816232n n =+-<+⨯=+.… 7分 当1n =时，不等式左边31115832a ==<显然成立. ……………… 8分证法二：∵3224(1)(44)(2)0nn n n n n n n --=-+=-≥，∴34(1)n n n ≥-. ∴3331111111()(2)832(1)321n a n n n n n n==≤=---(2)n ≥.……4分∴当2n ≥时，3333333312311111111246(2)n a a a a n ++++=++++ 31111111111115[(1)()()](1)232223183283232n n n ≤+-+-++-=+-<+=-.……7分 当1n =时，不等式左边31115832a ==<显然成立. ……8分（3）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设121111(1)(1)(1)1nn nb a a a a =--⋅⋅-+，则不等式等价于1(1)n n b λ+-<.111121221(21)(23)11231122n n n n n a b n n b n n n a n a ++++++===⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭224841483n n n n ++=>++，……9分∵0n b >，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增. …………… 10分假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切*n ∈N 都成立，则① 当n 为奇数时，得min 123()3n b b λ<==； ……11分 ② 当n 为偶数时，得min285()15n b b λ-<==，即8515λ>-. ……12分 综上，8523(,)153λ∈-，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件．例3：(2014苏北四市)已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和． (1)若数列{}n a 为等差数列． (ⅰ)求数列的通项n a ；(ⅱ)若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．解析：(1)(ⅰ)因为2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x ==，所以3149a x =-， ………………………………2分 又因为数列{}n a 成等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =， 所以()()()*1111221n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ………………………………4分(ⅱ)因为()*21n a n n =-∈N，所以21220n a n nb-==>，其前n 项和0n B >，又因为()22211641n n n n n c t b tb b t t b ++=--=--，………………………………………………5分 所以其前n 项和()21641n n C t t B =--，所以()22821n n n C B t t B -=--，…………………7分 当14t <-或12t >时，n n C B >；当14t =-或12t =时，n n C B =；当1142t -<<时，n n C B <．……………………………………………………………………9分 (2)由2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥知()2*21312()n n n S S S n n ++++=++∈N ，两式作差，得*2163(2,)n n n a a a n n n ++++=+∈N ≥，…………………………………………10分 所以()*321613()n n n a a a n n +++++=++∈N ,作差得*36(2,)n n a a n n +-=∈N ≥，所以，当1n=时，1n a a x ==；当31n k =-时，()31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-； 当3n k =时，()331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当31n k =+时，()314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；………………14分因为对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<，所以363669869866566563x xk x k x k x k x k x k x<⎧⎪+-<-+⎪⎨-+<+-⎪⎪+-<+⎩，解得，137156x <<，故实数x 的取值范围为137,156⎛⎫ ⎪⎝⎭．例4：(2014常州模拟)各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b =，且()2*632n n n S b b n N =++∈．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()*nnnb c n N a =∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； (3)证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．解：（1）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0na >，∴q =2， ∴12-=n na ……………………………………2分∴b 3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2①当n ≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633nn n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+12b =，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分 由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-．…………………………6分（2）∵31nb n =-，∴n n nb c a =＝1312n n --，∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，578c =<1，…………………………8分 下面证明当n ≥5时，1nc <．事实上，当n ≥5时，11323122n n n n n n c c +-+--=-＝432n n -＜0即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，…………………………10分 故满足条件1nc >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分(3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p <q <r ，p ，q ，R ∈N *)使a p ， a q ， a r 构成等差数列， ∴ 2a q =a p +a r ，即22q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p +1=1+2r —p ．…………………………13分因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分归纳总结：1．数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2．数列求和问题，主要考查利用公式法求数列的前n 项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形．3．数列中a n 或S n 的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列a n 或S n 的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是n 只能取正整数．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列中的参数取值范围问题在处理时，首选还是参数分离，分离后根据新数列的单调性确定最值或范围．。
【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破 专题七 第1讲 函数与方程思想 文
第1讲函数与方程思想【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考．1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，某某数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144.(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)设数列{b n }的通项b n ＝1a n a n ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值．解 (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144， ∴S 10＝145，∴S 10＝10a 1＋a 102，∴a 10＝28，∴公差d ＝3. ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝1a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1，∴S n ＝n 3n ＋1. ∵S n ＋1－S n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝13n ＋43n ＋1>0，∴数列{S n }是递增数列． 当n ≥3时，(S n )min ＝S 3＝310，依题意，得m ≤310，∴m 的最大值为310.类型二 函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值X 围．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． ∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值X 围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f0<0f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值X 围是(－1,1]．研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．当a 为何值时，方程lg(3－x )＋lg(x －1)＝lg(a －x )有两解？一解？无解？解 当⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，即1<x <3时，方程化为(x －1)(3－x )＝a －x ，即－x 2＋5x －3＝a .(*)作出函数y ＝－x 2＋5x －3 (1<x <3)的图象(如图)，该图象与直线y ＝a 的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解． 由图形易看出：当3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解．类型三 函数与方程思想在不等式中的应用 例3 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.证明 (1)方法一 记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．方法二 当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)方法一 记h (x )＝f (x )－9x －1x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54x ＋52＝2＋x 2x －54x ＋52<x ＋54x －54x ＋52＝x ＋53－216x4x x ＋52. 令G (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，G ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此G (x )在(1,3)内是减函数．又由G (1)＝0，得G (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是减函数． 又h (1)＝0，所以h (x )<0. 于是当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.方法二 记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x －1＋x ＋5⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减． 又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9x －1x ＋5.根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．(1)函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值X 围是__________．(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤4916，8125 (2)4解析 (1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4x ＋1，要使满足不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧h 4<0，h5≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125. (2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22. (1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围，若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F (c,0)，直线l ：x －y －c ＝0， 由坐标原点O 到l 的距离为22， 得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1. 又e ＝ca ＝22，故a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0≤m ≤1)满足条件，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形． 因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k x －1，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.显然Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k2. ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， ∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1.即－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2， ∵k 2>0，∴0<m <12.本题主要考查直线方程、直线的斜率与倾斜角的关系、椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想等知识，多知识点、多章节知识的交汇是综合题的出题方向．要熟练数学思想方法的应用．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值X 围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．(1)解 由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解 由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，①∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3，∵0≤k 2<14，∴－873≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134，∴OA →·OB →的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134. (3)证明 ∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)， 直线AE 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0得x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2，又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， ∴x ＝2x 1x 2－4x 1＋x 2x 1＋x 2－8，将①代入上式得x ＝1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值X 围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则下列关系正确的是________．(填序号)①x ＋y ≥0 ②x ＋y ≤0 ③x －y ≤0 ④x －y ≥0 答案 ②解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .2．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)． 所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝33＋n 2－n ，∴a n n＝33n＋n －1. 设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上单调递增， 在(0，33)上单调递减． ∵n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴a n n 的最小值为a 66＝212. 4．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案233解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cosα，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )， 即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233. 5．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案 a ≤4解析 由题意，得当x ∈(0，＋∞)时，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x. 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.6．若a 、b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围为________．答案 [9，＋∞)解析 方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1，而b >0，∴a ＋3a －1>0， 即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号． ∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)．方法二 (看成不等式的解集)∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3，∴ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 方法三 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝[－t －3]2－4t ≥0a ＋b ＝t －3>0ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤1或t ≥9t >3t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 7．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭圆 G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点．(1)求t ＝|PM →|的取值X 围；(2)把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20a 2－1＝1(a >1)， ∴y 20＝(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a . ∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos∠EPF＝|PE →|2(2cos 2∠EPM －1)＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2|PM →|2－1|PM |2－1 ＝(t 2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2－1t 2－1 ＝t 2＋2t2－3，∴f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)．对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(t>0)，显然在t∈(0，42]时，f(t)单调递减，在t∈[42，＋∞)时，f(t)单调递增．因此，对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)，当a>42＋1，即a－1>42时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12；当1＋2≤a≤42＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3；当1<a<1＋2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3.。
巧破解，妙拓展——一道抛物线中两条切线交点问题的探究
课程篇巧破解，妙拓展———一道抛物线中两条切线交点问题的探究张新村（江苏省张家港市乐余高级中学，江苏张家港）一、问题呈现问题：已知抛物线C ：x 2=4y 。
过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两条切线交点，O 为坐标原点。
PA ·PB 则直线OA ，OB 斜率之积为（）A.-14B.-3C.-18D.-4分析：本题主要考查抛物线标准方程及性质，直线与抛物线相切，考查学生的运算能力和抽象概括能力，也考查学生的核心素养数学，其中涉及的运算工具是导数和向量。
二、问题破解解法一：（特殊位置定结论）本题是选择题，并且是圆锥曲线动态中求定值问题，可以利用特殊位置或特殊值来得出结论。
满足PA ·PB =0的点P 有无数个，其中特殊位置是点P 在y 轴上，则一切点A ，B 关于y 轴对称，又与PB 垂直，则切线PA ，PB 斜率分别为-1，1，由y ′=12x ，可得12x 1=-1，12x 2=1，即x 1=-2，x 2=2，得出A （-2，1），B （2，1），显然直线OA ，OB 斜率之积为-14。
解法二：（几何关系代数化）分析：巧设点A ，B 坐标，利用导数求切线斜率，将PA ·PB =0转化两直线垂直，再将垂直的几何关系转化为斜率之积为-1，整体代入直线OA ，OB 斜率乘积表达式中得出结论。
设A （x 1，x 124），B （x 2，x 224），则直线OA ，OB 斜率之K OA ·K OB =x 1x 216①由抛物线C ：x 2=4y ，得y =x 24则y ′=12x ，∴K AP =12x 1，K BP =12x 2由PA ·PB =0，可得K AP ·K BP =-1，即x 1·x 2=-4②将②代入①得：K OA ·K OB =-14.点评：解法一由特殊得到一般结论，对于动态下求定值或定点问题，往往可以由特殊位置或特殊值锁定结论，然后再对一般情况进行论证；解法二则是通过解析法论证解法一的结论。
江苏省2014年高考数学二轮专题复习素材：训练8
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。
高考数学理二轮复习课件：1-5-3-2圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
(2)已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)上点 N(x0，y0)处切线方程为xa02x＋yb02y＝1，若与椭圆 E 相切于 C(x1， →→
y1)，D(x2，y2)两点的切线相交于 P 点，且PC·PD＝0.求证：点 P 到原点距离为定值． [解] (2)证明：依题意，切线 PC，PD 的方程分别为x21x＋y1y＝1，x22x＋y2y＝1. 即 x1x＋2y1y＝2，x2x＋2y2y＝2. 由xx12xx＋ ＋22yy12yy＝ ＝22， . 得 Px21yy22－－xy21y1，x1xy12－ －xx22y1. →→ ∵PC·PD＝0，∴PC⊥PD. ∴－2yx11－2yx22＝－1.即 x1x2＝－4y1y2. ∵C，D 在椭圆 E 上，∴x21＋2y21＝2，x22＋2y22＝2. ∴x21＝2－2y21，x22＝2－2y22.
(2)直线 l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆交于 A、B 两点，若线段 AB 的中点 C 在直线 y＝12x 上，O 为坐标原
点，求△OAB 面积 S 的最大值．
[解] (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(xc，yc)， y＝kx＋m 代入方程x42＋y22＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0(*)，
点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (2)当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C，D 两点． 如果存在定点 Q 满足条件，则有||QQDC||＝||PPDC||＝1，即|QC|＝|QD|.
所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为(0，y0)． 当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点，
已知点 Q－12，2，点 F 为抛物线 Γ：y2＝2px(p>0)的焦点，线段 FQ 恰好被抛物线 Γ 平分． (1)求抛物线 Γ 的方程；
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江苏省木渎高级中学数学组 1 2014江苏高考数学二轮复习解析几何中动态问题的切入点探究 江苏省木渎高级中学 吴亭 【本节重点】 解析几何中常见的动态问题：位置关系的证明，定点定值的探究，取值范围、最值等，如何找寻上述问题的切入点．
【本节难点】 利用题设中量与量之间的联系，合理选择问题的切入点． 【基础训练】
1．已知椭圆C：22143xy的左右焦点分别为1F、2F，设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，1MF为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线 l 有公共点时，则12MFF面积的最大值为 ．
2．已知圆M：22(1)(3)4xy，过x轴上的点(,0)Pa存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=AB，则点P的横坐标a的取值范围为 ．
xy1FMO2F
M y O x P A B
． 江苏省木渎高级中学数学组
2 【样题剖析】
例1．已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk＞
的直线与椭圆C相交于AB、两点．若3AFFB，则k ．
变式：已知椭圆C的方程为224xy=1，直线l与x轴交于点P（m，0），与椭圆C交于相异两点A、B，且3APPB，则实数m的取值范围是 ．
例2．已知椭圆C：2222xyab=10ab的离心率为22，P为椭圆C上一点，点P横坐标为2．过点P作互相垂直的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，其中直线PA过原点O，证明：直线AB过定点．
x y O B F
A
x y O B P
A
x y O B P
A 江苏省木渎高级中学数学组
3 变式：如图，已知椭圆C：2282xy=1，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．求PMN面积S的取值范围．
小结： 【巩固练习】
1．已知椭圆C：22143xy的左焦点为F，设P为椭圆右准线上任意一点，线段PF交椭圆C于点M，则PMMF的取值范围是 ．
xy
FMO
P
y x N A B
M P O 江苏省木渎高级中学数学组
4 2．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点为A，左右焦点分别为12,FF： 且椭圆过C点4(,)33bP，以AP为直径的圆恰好过右焦点2F （1）求椭圆C的方程： （2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标，若不存在，说明理由.
x y
O2
F
1F
A P 江苏省木渎高级中学数学组
5 关于解析几何中动态问题切入点探究的几点说明 圆锥曲线的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系是高中数学重要内容之一，尤其是一些“动态”问题，如：位置关系的证明，定点定值的探究，取值范围、最值的研究等等。困难之处主要在于对几何图形的分析和复杂的代数运算，而计算量过大往往跟不恰当的切入点选择有关系。寻找到合适的切入点是解决问题的关键，与以下两方面密切相关： 一、分析动源 对复杂的解析几何问题，在审题时应注意发掘动态问题中运动的根源。一般分为如下题型： 题型一：动点问题。基础训练1是点在曲线（椭圆）上运动，巩固练习1是点在定直线上运动； 题型二：动直线问题。基础训练2、例1变式和例2变式都是动直线的范围问题，巩固练习2是定值问题； 题型三：动曲线问题。例1是动椭圆中的定值问题，例2是动椭圆中的定点问题。 每个人看待问题的角度不同，问题也不是一成不变的。比如动直线、动曲线问题也可以理解为动点问题。找到动源之后，我们也不能片面地理解成：动点问题就利用点的坐标满足曲线方程来解决，动直线问题就利用直线方程与曲线方程联立方程组来处理。对几何图形详细分析，找到量与量之间的联系，有利于找到合适的切入点。 二、合理联系 解析几何动态问题中有一些形似神不似的“姊妹题”，注意比较题目中各种量的变化和联系，有利于总结切入点选择的一般思路。比如： 基础训练2中的条件“PA=AB”通常处理方法有：①利用三点坐标的关系及A、B的坐标满足圆的方程；②利用圆中半弦、半径和弦心距之间的关系。例1中的条件
“3AFFB”通常处理方法有：①利用向量寻找坐标关系；②利用圆锥曲线的第二定义 江苏省木渎高级中学数学组 6 化斜为直。例1变式中的条件 “3AFFB” 通常处理方法有：①利用向量寻找坐标关系；利用直线方程与韦达定理。三个如此形似的问题，各自合适的切入点却大相径庭，究其原因是题目中各种关系量发生了变化，需要合理地与题目中其他条件建立联系，切不可抱残守缺，不作变通。 另外，在我们所研究的动态问题中，部分问题是动中有定的。如果我们对一些常见规律有所了解，对于我们分析动源、合理联系有事半功倍的作用。比如：例2变式中“倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B”，直线AB的斜率是定值，此定值即为点
P关于x轴对称点处的切线斜率；例2中也有两直线斜率之积为定值，即22PBABbkka。这些隐含信息的发掘，都需要我们注重分析图形和条件间的联系，找准问题的切入点。 参考答案： 【基础训练】
1．已知椭圆C：22143xy的左右焦点分别为1F、2F，设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，1MF为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线 l 有公共点时，则12MFF面积的最大值为 ．
解：设00(,)Mxy，则00143xy，又1(1,0)F， :4lx，当圆M与椭圆的右准线 l 有公共点时，
04xr，2222100(1)rMFxy，
222000(4)(1)xxy，又22003(1)4xy
得0423x，则当043x时，0153y． 所以12115152233MFFS．
x
y1FMO2F 江苏省木渎高级中学数学组
7 2．已知圆M：22(1)(3)4xy，过x轴上的点(,0)Pa存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标a的取值范围为 ．
解：取AB中点C，连接MC、MP，设2ABm则2222223MCmrMCmMP 相减得2222884MPmrm，0mr ∴228436MPm，即22(1)336a
∴133133a
【样题剖析】 例1．（1）（2010全国卷）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F
且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB，则k ． 解：设直线l为椭圆的准线，e为离心率，过AB、两点分别作
1AA、1BB垂直于l，1A、1B为垂足，过B作BE垂直1AA于E，
则1AFAAe，1BFBBe,又3AFFB，得13BFAAe
∴213cos423AEBFBAEABeBFe，从而tan2kBAE．
Myox
P
A
B．
x y O B F
A 江苏省木渎高级中学数学组
8 （2）已知椭圆C的方程为224xy=1，直线l与y轴交于点P（m，0），与椭圆C交于相异两点A、B，且3APPB，则实数m的取值范围是 ． 解：设11(,)Axy、22(,)Bxy，由 3APPB， 得1122,3(,)mxyxmy
即1212433xmxyy，代入2244xy， 得2222(43)494mxy 所以22222216249(4)4mmxxy，得222163224243mmxmm， 由22x得2320mm，则12m． 2m时，A、B、P三点重合，∴12m，即21m或12m．
例2如图，已知椭圆C：2222xyab=10ab的离心率为22，P为椭圆C上一点，点P横坐标为2．过点P作互相垂直的两条直线，分别与椭圆交于两点A、B两点，其中直线PA过原点O，证明：直线AB过定点．
解：设02,Py，则02,Ay，02APyk，
又PAPB，∴02PBky． 2222
22
112PBABbackkeaa
∴04AByk，从而AB方程为0024yyyx，即0002424yyyyxx
x y O B P
A
x y O B P
A