高中数北师大必修五案：第三章 章末复习课

学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．

知识点一 “三个二次”之间的关系 所谓三个二次，指的是①二次________图像及与x轴的交点；②相应的一元二次________的实根；③一元二次________的解集端点． 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化． 知识点二 规划问题 1．规划问题的求解步骤 (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解． 2．关注非线性 (1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域．

(2)常见的非线性目标函数有①y－bx－a，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；②x－a2＋y－b2，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离．

知识点三 基本不等式 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别． 利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件． 利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等． 类型一 “三个二次”之间的关系 例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1

用求根公式来解就相当麻烦，用 f1≥0且f4≥0，1＜a＜4且Δ>0则可化归为简单的一元一次不等式组． (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想． 跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 类型二 规划问题

例2 已知变量x，y满足约束条件 x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z＝2x＋y的最大值和最小值． 反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小． 跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小． 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度1 无附加条件型的最值问题

例3 设f(x)＝50xx2＋1. (1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值； (2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值． 反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

跟踪训练3 已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________． 命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，

则1m＋1n的最小值为________． 反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．

跟踪训练4 设x，y都是正数，且1x＋2y＝3，求2x＋y的最小值．

1．设变量x，y满足约束条件 x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( ) A．12 B．10 C．8 D．2

2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2A．－18 B．8 C．－13 D．1

3．设a>b>0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1．不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质． 2．一元二次不等式的求解方法 对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．

3．二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点． 4．求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解． 5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． ★答案★精析 知识梳理 知识点一 函数 方程 不等式 题型探究 例1 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况求a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2， 对方程x2－2ax＋a＋2＝0， 有Δ＝(－2a)2－4(a＋2) ＝4(a2－a－2)， ①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]，不满足题意； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1

⇔ f1≥0且f4≥0，1＜a＜4且Δ>0，

即 a≤3，a≤187，1＜a＜4，a＜－1或a>2， 解得2综上可知，M⊆[1,4]时，a的取值范围是(－1，187]． 跟踪训练1 2 解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1， ⇒ m>1，1＋m＝6a，1·m＝a⇒ m＝2，a＝2. 例2 解

如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域． 设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小． 上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3. 跟踪训练2 解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个， 由题意可得  2x＋y≥5，x＋2y≥4，x≥0，y≥0，x，y∈N.

所用原料的总面积为z＝3x＋2y， 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示． 在一组平行直线3x＋2y＝z中， 经过可行域内的点A时，z取得最小值， 直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)， 即最优解为(2,1)． 所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

例3 解 (1)当x>0时，有x＋1x≥2， ∴f(x)＝50xx2＋1＝50x＋1x≤25.

当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立， ∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. (2)∵函数y＝x＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正， ∴f(x)＝50x＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20.

∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 跟踪训练3 1

解析 因为x<54，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立． 故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1. 例4 4 解析 方法一 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A(1,1)， ∵点A在直线mx＋ny－1＝0上， ∴m＋n＝1， ∴1m＋1n＝m＋nmn＝1mn≥1m＋n22＝4，当且仅当m＝n＝12时，取等号．

方法二 1m＋1n＝(m＋n)(1m＋1n) ＝2＋nm＋mn≥2＋2 nm·mn＝4，

当且仅当 m＋n＝1，nm＝mn，即m＝n＝12时，取等号． ∴1m＋1nmin＝4. 跟踪训练4 解 ∵1x＋2y＝3， ∴131x＋2y＝1. ∴2x＋y＝(2x＋y)×1 ＝(2x＋y)×131x＋2y ＝134＋yx＋4xy ≥134＋2 yx·4xy ＝43＋43＝83. 当且仅当yx＝4xy，即y＝2x时，取等号． 又∵1x＋2y＝3，∴x＝23，y＝43. ∴2x＋y的最小值为83. 当堂训练 1．B 2.C 3. D