2018年秋高中数学 课时分层作业23 基本不等式 新人教A版必修5

课时分层作业(二十三) 基本不等式：ab ≤a ＋b2(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列结论正确的是( )【导学号：91432353】A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值B [A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性， 知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.]2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2C [对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立，故选C.] 3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( )【导学号：91432354】A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2B [因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1.] 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bcA [因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .]5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )【导学号：91432355】A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64D [由题意xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8yxy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.] 二、填空题6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．42 [∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.]7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________.【导学号：91432356】12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－ 3x ，即x ＝12时等号成立．]8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.]三、解答题9．(1)已知x <3 ，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值.【导学号：91432357】[解] (1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？[解] 设使用x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x 2x 万元．设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3. 当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．[冲A 挑战练]1．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )【导学号：91432358】A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1 D [f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋1x －1，又∵－4<x <1， ∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. 故f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －＋1－x －≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时 等号成立．]2．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当 且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.] 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值为________.【导学号：91432359】4 [由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得2x·8y＝2， 即2x ＋3y＝21，∴x ＋3y ＝1，∴1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y ) ＝x ＋3y x ＋x ＋3y3y＝1＋3y x ＋x3y＋1≥2＋23y x ·x 3y ＝2＋2＝4.当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y＝16时等号成立．] 4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 233[∵x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(x ＋y )2＝1＋xy . ∵xy ≤x ＋y24，∴(x ＋y )2－1≤x ＋y24，整理求得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.]5．某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2017年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ， 解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3 时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2017年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21万元．。