第九章单位根与协整
9第九章 多维时间序列分析
DF检验假设了所检验的模型的随机扰动 项不存在自相关。对有自相关的模型， 需用ADF检验。 ADF检验：将DF检验的右边扩展为包含Yt 的滞后变量，其余同于DF检验。
构造统计量 查表、判断。
单位根检验： 单位根检验：ADF检验的方程式 检验的方程式
∆Yt= β0＋β1t＋δYt-1+αΣ ∆Yt-i + µt 其中i从1到m。 这一模型称为扩充的迪基－富勒检验。 因为ADF检验统计量和DF统计量有同样 的渐进分布，所以可以使用同样的临界 值。
模型形式
自回归条件异方差性模型 （Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH） 简单形式
σt2 =α0 +α1εt2 1 −
即，εt的方差依赖于前一期误差的平方， 或者说，εt存在着以εt－1的变化信息为条件的 异方差。记成ARCH(1)
随机游走的比喻
一个醉汉的游走。醉汉离开酒吧后在时 刻t移动一个随机的距离ut，如果他无限 地继续游走下去，他将最终漂移到离酒 吧越来越远的地方。 股票的价格也是这样，今天的股价等于 昨天的股价加上一个随机冲击。
随机游走的表达式 Yt=ρYt-1+ µt (1) 等价于： Yt -Yt-1 =ρYt-1 -Yt-1 + µt 等价于： Yt -Yt-1 =(ρ-1)Yt-1 + µt 等价于： ∆Yt=δ Yt-1+ µt (2) “有单位根”＝“ρ=1”＝“δ=0”
1 Yt＝ 1 +(a11Yt−1 +⋯ 1mY −1) +⋯ (a11Yt−p +⋯ 1p Y −p ) +u1t c a1 mt + p1 a m mt 1 1
5第九章 单位根检验、协整与误差修正模型
（1）实际中，多数经济时间序列都是非平稳的.
（2）某些非平稳经济时间序列的某种线性组合可能是平稳 的，即变量存在长期均衡关系。例如，净收入与消费、政府 支出与税收等。
（3）如果若干个I(1)序列的某种线性组合是平稳的，则称具 有协整性。协整概念是理解经济变量存在长期均衡关系的基 础。
10000 8000 6000 4000 2000
DF检验法是由Dickey-Fuller于1979年提出的。这方法只 适用于AR(1)过程且要求ut同方差性且相互独立。这对序列要求 很严格，许多时间序列难以满足。
yt yt1 ut (t 1,2, , n（) 1） 式中，ut ~ IID(0, 2 ).由B J模型可知， 1, yt为平稳过程； ＝1, yt为随机游走过程，有一个单位根，故yt ~ I (1), 而yt ~ I (0); 1, yt为强非平稳，yt仍为非平稳过程。
二、 单位根检验
平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。 前者使用自相关函数(Autocorrelation function)，后者使用单 位根(Unit roots)。单位根方法是目前最常用的方法。对单位 根的检验就是对随机过程平稳性的检验，也是对随机过程单 整阶数的检验。
1.单位根检验的DF法（只适用于AR(1)）
(a) 对(1)式进行回归，用"ols"法估计参数；
(b)
计算DF统计量，DF
ˆ 1 Se( ˆ )
(c) 设定零假设和备择假设。H 0 : 1, yt非平稳 H1 : 1, yt平稳（左侧假设检验）
(d ) 判断：对于样本，DF 临界值，接受H0，yt为非平稳； DF 临界值，接受H1，yt为平稳。
❖ 协整定义：
单位根与协整.ppt
图3-3 带有截距项的 随机游走过程
200
150
y(t)=2+y(t-1)+e
100
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
RWD的样本自相关函数
单位根检验法
4.1 DF单位根检验法 4.2 ADF单位根检验法
4.1 DF单位根检验法
4.1.1 DF检验的基本概念 yt c yt 1 t H0 : 1 HA : 1
进一步考察随机过程的均值和方差：
t
yt yo i i 1 t
E( yt ) E( yo i ) y0 i1
t
var( yt ) var( yo i ) t 2 i1
s
var( ys ) var( yo i ) s 2 i1
根据自协方差的定义，有：
j E[ yt y0][ yt j y0]
更一般地，
yt c t (L)ut yt E( yt ) (L)ut 其中:(L) 1L 2L2 L mLm是一个平稳的
滞后算子多项式。
3.2 随机性趋势模型
3.2.1 随机趋势模型的基本定义
考虑AR(1)模型：yt yt1 t 其中 t 代表方差为 2的白噪音过程。
将模型写成：yt t 。
2）情况II
yt c yt1 t H0 : 0 HA : 0
原假设是模型为随机游走过程。 如果待检验序列的均值不为0，并 且不随时间变化，则可以考虑使用情况 III来进行DF检验。
3)情况I
情况I是情况II的一种特殊情况， 即截距项为0。在这种情况下，原假设 和备择假设与情况II的完全相同。
在原假设条件下, 情况I:随机游走过程； 情况II:带有截距项的随机游走过程； 情况III:既带有截距项又带有时间趋 势的随机游走过程。
浅析单位根与协整的原理与检验
浅析单位根与协整的原理与检验作者：何川来源：《消费导刊·理论版》2008年第13期[摘要]单位根的随机性趋势与协整关系对实证分析中时间序列的影响是不容小觑的。
检验的目的在于更好的分辨数据特性、甄选模型，以达到或能预测或能证实因果关系或否定以上两者的结果。
本文将以二者的计量统计检验为对象，按“是什么、“为什么”和“怎么办”的思路分析检验的由来、如何通过检验对实证模型进行修正以解决不平稳带来的估计不一致问题。
[关键词]单位根协整检验 DF ECM一、什么是单位根与协整开篇即给出数理的定义稍显突兀，因此引入对此问题的一个经典比喻来形象化说明问题。
“醉汉和他的狗”行进的路径被视为两个序列（Michael P. Murray，2006），其中醉汉走路的每一步都视为随机游动（random walk），狗也是同样，两个序列都存在随机性趋势。
从酒吧门口算起，上次见到他们的位置也许是预测现在位置的最佳猜测，因为根本无法估计东倒西歪的行进规律。
但特别的是，狗是属于醉汉的，这里的主从关系使两个变量之间存在了某种联系。
所以一旦知道其中之一的位置，另一个应该也在不远处。
醉汉和狗各自的行径就是随机性趋势即单位根存在的一种体现，而两者之间存在关系因而会对距离进行调整就是一种协整关系的模拟。
确切的来说，单位根即特征方程解出的模为1的特征根。
滞后算子可以直接进行运算，而由此可以推导出方程的自回归多项式。
通过求解令多项式为零的特征方程，对其在复数范围内进行彻底的因式分解，得到所称的特征根。
在二元条件下，假设x1t和x2t是一阶单整的I(1)（即水平值方程存在单位根，进行一阶差分后平稳）。
如果对于某些系数β2，x1t β2x2t是零阶单整的I(0)（即平稳的），那么就说x1t和x2t是协整的。
β2被称为协整系数,向量β’=（1，β2）即协整向量。
扩展到多元也是同样道理，不过维度会扩展为多维，且n个变量只可能存在（n-1）个协整关系。
面板数据分析面板数据分析的理论进展单位根检验与协整检验.pptx
• Strauss（2000）使用三种方法（Abuaf和 Jorion(1990)，LL方法，IPS方法），对从1929年到 1995年美国48州带趋势人均收入的数据进行单位根检 验，结论是拒绝有单位根的存在，并说明收敛的速率取 决于截距差异的假设、一阶自相关系数、滞后期和对 1973年石油危机造成趋势中断的适应性。
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目前，已有一些专家正在探讨这些问题：
• Maddala和Wu（1999）自助法允许截面相关 • Pedroni(1997b)在他的PPP研究中，提出用基
于GLS修正来考虑在Panel个体之间存在的反馈 情况 • Hall等人（1999）提供了另一个同Pesaran和 Smith(1995)分析相反的例子，他们集中在 Panel协整的回归结构上 • Larsson、Lyhagen和 Lothgren（1998）按
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Pedroni 协积检验：以 Engle-Granger 协积检验方法为基础构造检验统计量，标 准化以后渐近服从标准正态分布。（1999, 2004）
Kao 协积检验：以 Engle-Granger 协积检验方法为基础构造检验统计量，标准化 以后渐近服从标准正态分布。（1999）
Fisher 个体联合协积检验（combined individual test）：由 Johansen 迹统计量推广 而成的检验方法。用个体的协积检验值构造一个服从 2 分布的累加统计量 检验面板数据的协积性。(Maddala and Wu 1999)
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Pedroni协整检验：
• 以协整方程的回归残差为基础通过构造7个统计 量来检验面板变量间的协整关系。原假设：面板
检验。随后，Quah（1990）、Levin和Lin（1992）、 Im、Pesaran和Shin（1995）、Flôres等（Flôres et al.，1995）、O' Connell（1998）、Taylor和 Sarno（1998）、Maddala和吴（1999）、Groen （2000）、Chang（2000）和崔仁（In Choi， 2001）、白聚山和Ng（Jushan Bai ane Serena Ng， 2001）、Moon和Perron（2002）、Smith（2004） 和白仲林（2005）也相继提出了各种面板单位根检验 方法。通过蒙特卡罗模拟试验发现，与单变量时间序列 单位根检验相比较，各种面板数据单位根检验都不同程 度地提高了单位根检验的检验功效。
第九章单位根与协整
9.7
其中， －1。则原假设与备择假设变为
H0：＝0 vs H1： <0
对方程 9.7 使用OLS可得估计量ˆ及相应的t统计量
此t统计量称为ADF统计量（简记为ADF）。ADF统 计量的分布有没有解析解，其临界值也要通过蒙特 卡罗模拟得到。与DF检验一样，ADF检验也是左边 单侧检验，其拒绝域只在分布的最左边。
简记为DF统计量。 可以证明，DF统计量的渐近分布为布朗运动的函
数，并不服从渐近正态分布。由于其分布没有解
析解，故临界值须通过蒙特卡罗模拟来获得。
显然，DF统计量越小（绝对值很大的负数），则 越倾向于拒绝原假设。因此，DF检验是左边单侧 检验，即其拒绝域只在分布的最左边。比如，5％ 的临界值为－2.886，如果DF<－2.886，则拒绝原 假设；反之，则接受原假设 2、Augmented Dickey-Fuller单位根检验（ADF检验）
中心极限定理不再适用。虽然p
lim
n
ˆ1＝（1 仍为一
致估计），但在有限样本下可能存在较大偏差。
使用蒙特卡罗法可以得到ˆ1的大样本分布
2 传统的t检验失效：由于ˆ1不是渐近正态分布
t统计量也不服从渐近标准正态分布，传统的区间
估计与假设检验是无效的。更一般地，建立于平
稳性假设基础之上的大样本理论不再适用。
然而实际结果并非如此，因为扰动项
t＝yt－－
x
也是非平稳的（为什么？）
t
（因为 t＝yt－）
这一结论最初由Granger通过蒙特卡罗模拟而发现。
t 之非平稳部分会进入到OLS模型中去，从而 造成ˆ 0。
如何避免伪回归？方法之一，先对变量作一阶差 分，然后再回归。（差分后平稳了）
单位根检验、协整检验
产业结构变动与石油消费的平稳性分析进行回归分析要求时间序列数据具有平稳性。
所谓序列的平稳性,即指一个序列本身的均值、方差和自协方差是否平稳，如果一个时间序列上述统计量是一个稳定的数值，那说明该序列为平稳序列,否则为非平稳。
通常情况下，如果一个序列为非平稳，将会导致“伪回归”现象以及降低相应的统计检验功效。
单位根检验对时间序列的平稳性检验是建立计量经济模型的首要任务，目前检验平稳性的方法主要有DF 和ADF 检验，这里我们采用ADF 检验方法得到如下结果：变量 ADF 统计量 1%临界值 5%临界值 10%临界值 是否平稳 lng1 -1.422429 -2.7158 -1.9627 -1.6262 非平稳 △lnx1 -3.436994 -2.7275 -1.9642 -1.6269 平稳*** lng2 -2.010800 -2.7158 -1.9627 -1.6262 非平稳 △lnx2 -2.943741 -2.7275 -1.9642 -1.6269 平稳*** lng3 -1.191993 -2.7158 -1.9627 -1.6262 非平稳 △lnx3 -2.860298 -2.7275 -1.9642 -1.6269 平稳*** lny -2.801103 -3.8877 -3.0521 -2.6672 非平稳 △lny-4.503208-2.7275-1.9642-1.6269平稳***其中ΔLNy 、LNx1、LNx2、LNx3表示原序列的一阶差分序列。
***表示在1%、5%、10%水平上显著检验结果表明所有变量的原序列是非平稳的时间序列，但是经过一阶差分以后，这些变量在1%的显著性水平下都不拒绝变量有一个单位根的原假设，所以这些序列都是一阶单整序列。
协整检验由于对上面结果的平稳性进行了检验,发现一阶单整，这样可以进行协整分析。
协整检验可分为基于模型回归系数的协整检验和基于模型回归残差的协整检验，我们选择残差的单整性检验，即对回归方程的残差进行单位根检验，若残差序列是平稳序列，则表明方程的因变量和解释变量之间存在协整关系，即长期均衡关系。
单位根检验和协整检验
单位根检验和协整检验单位根检验和协整检验是时间序列分析中常用的两种方法。
本文将分别介绍这两种检验方法的概念、原理和应用。
一、单位根检验1.概念单位根检验，又称为ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验，是一种用于判断时间序列是否具有平稳性的方法。
它的基本原理是通过对时间序列进行一定程度的差分，使得序列变得平稳，从而判断序列是否具有单位根。
2.原理在时间序列中，如果一个变量具有单位根，则说明它在长期内存在趋势或者周期性波动。
而如果一个变量具有平稳性，则说明它在长期内不存在趋势或者周期性波动。
因此，通过对时间序列进行差分，可以消除其中的趋势或者周期性波动，使得序列变得平稳。
ADF检验的基本原理就是通过比较差分后的时间序列与原始时间序列之间的关系来判断是否存在单位根。
具体地说，在ADF检验中，我们需要假设一个线性回归模型：ΔYt = α + βt + γYt-1 + δ1ΔYt-1 + … + δpΔYt-p + εt其中，Δ表示差分符号；Yt表示时间序列；α、β、γ、δ1~δp和εt分别表示回归系数和误差项。
如果该模型中的γ等于0，则说明时间序列具有单位根，即存在趋势或者周期性波动；如果γ小于0，则说明时间序列具有平稳性，即不存在趋势或者周期性波动。
3.应用ADF检验通常用于判断时间序列是否具有平稳性。
在金融领域中，它常被用于股票价格的分析和预测。
例如，通过对股票价格进行ADF检验，可以判断该股票是否处于上涨或下跌趋势，并进一步预测未来的走势。
二、协整检验1.概念协整检验是一种用于判断两个或多个时间序列之间是否存在长期稳定的关系的方法。
它的基本原理是通过构建线性组合，使得两个或多个时间序列之间的关系变得平稳。
2.原理在协整检验中，我们需要假设一个线性组合模型：Yt = α + βXt + εt其中，Yt和Xt分别表示两个时间序列；α、β和εt分别表示回归系数和误差项。
如果该模型中的β等于0，则说明Yt和Xt之间不存在长期稳定的关系；如果β不等于0，则说明Yt和Xt之间存在长期稳定的关系，即它们是协整的。
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一维的AR p的平稳性条件可以推广到多维 VAR p的情形。
考虑以下VAR p模型：
yt＝0＋1yt-1＋L ＋pyt-p＋t
其中， t 为向量白噪声过程。
可以证明，如果对于复数z，
特征方程 In－1z－L －pzp ＝0 的所有根都落在复平面的单位圆之外（即 z >1）
则此VAR p为平稳过程。上述特征方程之 g表示
差分平稳（difference stationary）序列
定义：称平稳的时间序列为零阶单整（Integrated
of order zero），记为I 0。如果时间序列的一阶
差分为平稳过程，则称为一阶单整（Integrated of
order one），记为I 1，也称为单位根过程（unit
root process）。 更一般地，如果时间序列的d阶差分为平稳过程，
3随机趋势：另一种导致非平稳的趋势为随机趋势
（stochastic trend）。比如，随机游走模型（random
walk）： yt＝yt-1＋t，其中，t为白噪声。由于 yt＝ t，故来自 t 的任何扰动对yt 都具有永久性 的冲击，其影响力不随时间而衰减，故称 t 为这
个模型的随机趋势。
在上式中，如果包含常数项，则为待漂移的随机游
走（random walk with drift）：
yt＝0＋yt-1＋ t，0 0，其中，0为每个时期的平
均漂移，因为E yt ＝0＋E yt-1 。显然，随机游走
是AR
1的特例。对于AR
1，y
t＝0＋1y
t-1＋
，
t
如果1＝1，则为随机游走。对于随机游走，只要对
其进行一阶差分，就可以得到平稳序列，故也称为
回顾AR
1的情形，“y
t＝0＋1y
t-1＋
”其实是
t
一阶随机差分方程，其稳定性与对应的确定性差
分方程“y
t＝
0＋1y
”是一样的。因此，只要考
t-1
虑一阶差分方程“y
t＝0＋1y
”是否有稳定解即
t-1
可，而这个非齐次（含常数项0）差分方程的解
取决于对应的齐次（不含常数项）差分方程
“yt＝1yt-1”的通解yt＝y0（1t 解的形式为指数函数） 因此，其稳定条件为 1 <1。
根）。与此对应，齐次差分方程也有p个形如1 zt
的解，而其通解则是这p个解的线性组合。
给定初始条件 y0，y1，L ，yp-1 ，则可求出此齐次差
分方程的唯一特解。显然，如果要求 y t 收敛于一
个稳定值，则特征方程所有解的模 z 都必须大于1， 故所有解必须都落在复平面上的单位圆之外。
如果将特征方程定义为 zp－1zp-1－L －p＝0，则
对于AR p，考虑其对应的确定性齐次差分方程：
yt＝1yt-1＋L ＋p yt-p。假设其解的形式仍为
指数函数，即yt＝z－t＝1 zt ，其中z待定。将此解
代入差分方程可得：
z－t－1z－t-1－L －pz－t-p＝0
将上式两边同乘以zt可得特征方程：
z 1－1z－L －pzp＝0
这个多项式方程在复数域中一定有p个根（包括重
二、ARMA的平稳性
在什么情况下，ARMA p,q 才平稳呢？显然，
MA q是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性
组合。因此，ARMA p,q的平稳性取决于其AR p
的部分。从第三章已经知道，对于AR 1，
yt＝Biblioteka 0＋1yt-1＋，如果
t
1
<1，则为平稳过程。
更一般地，考虑AR p的平稳性，即
yt＝0＋1yt-1＋L ＋p yt-p＋t
放大。因此，经济学家通常只担心存在单位根的
情形，即 1 ＝1。如果时间序列存在单位根，则
为非平稳序列，可能带来以下问题：
1自回归系数的估计值向左偏向于0。假设对于 AR 1，yt＝0＋1yt-1＋t，其真实值为1＝1。
然而，1的OLS估计量ˆ1却不服从渐近正态分布，
甚至不是对称分布（即使是在大样本中），而是
第九章 单位根与协整
一、非平稳序列
如果一个时间序列不是平稳序列，则称为非平稳 序列（non-stationary time series）。在以下几种 情况下，都有可能出现平稳序列：
1 确定性趋势：如果一个时间序列有一个确定性
趋势（deterministic trend），则为非平稳序列。比
如，yt＝0＋1t＋t。显然，E yt ＝0＋1t随时间
其过去的行为只有有限的记忆，即发生在过去的
扰动项对未来的影响随时间而衰减；而I 1 序列
则对过去的行为具有无限长的记忆，即任何过去 的冲击都将永久性地改变未来的整个序列。
定义：如果时间序列y t 的d阶差分为平稳的 ARMA p,q过程，则称yt为ARIMA p,d,q过程 最常见的为ARIMA p,1,q，即经过一次差分就得 到平稳的ARMA p,q。
则称为d阶单整（Integrated of order d），记为I d 对于I 0序列，由于它是平稳的，故长期而言有回
到其期望值的趋势。这种性质被称为均值回复 （mean-reverting）。
非平稳的I 1 序列则会“到处乱跑”（wander widely），没有上述性质。另外，I 0 序列对于
行列式。该平稳条件的等价条件是，伴随矩阵
（companion matrix）
1 2 L p
F＝
I
n
0L
0
M M
M
0 L In 0
的所有特征值（可以是复数）都落在复平面的
单位圆之内。
四、单位根所带来的问题
对于AR 1，一般从理论上认为，不太可能出现
1 >1的情形，否则任何对经济的扰动都将被无限
结论与此相反。 如果某个根正好落在单位圆上，则称为单位根 （unit root），比如随机游走的情形。如果特征方程 的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式（explosive） 增长的非平稳过程。
例：对于AR 1，其特征方程为1－1z＝0，故
z＝1 1。因此，z ＝ z >1 1 <1。显然，有关
AR p稳定性的结论是对AR 1情形的推广。
而改变，故不是平稳序列。对于这种非平稳序列， 只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，故称为 趋势平稳（trend stationary）序列。
2结构变动（structural break）：如果一个时间序
列存在结构变动，则为非平稳序列。对此，可用邹 检验（chow test）进行检验（参见模型设定的内容）