2006-2007年复旦大学高等代数考试题
五、设 1 , 2 , 3 , 4 是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换ϕ在该组基下的矩阵 1 0 2 1 − 1 2 1 3 A= 1 2 5 5 2 2 2 2
(1)求ϕ在基η1 =
2
ax + x2 + x3 + x4 = −1 1 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 − x4 = b 有3个线性无关的解， 三、已知非齐次线性方程组 2x + x + 3x − 3x = 1 1 2 3 4 (1) 证明系数矩阵A的秩r(A) = 2。 (2)求a, b的值和方程组的通解。 四 、 设W0 , W1 , W2 都 是 有 限 维 线 性 空 间V 的 子 空 间 ， 其 中W1 ⊂ W2 ， 且W0 W0 W2 ，W0 + W1 = W0 + W2 ，证明：W1 = W2 . W1 =
1
+ 2 ，η2 =
2 ，η 3
=
3
+ 4 ，η4 =
4 下的矩阵 B;
(2)求ϕ的核与像。 六、设A是一个m × n阶实矩阵，如下定义两个线性映射： ϕA : Rn → Rm , X → AX, ∀X ∈ Rn ;
m n T m ϕ∗ A : R → R , Y → A Y, ∀Y ∈ R ;
证明：Rn = KerϕA ⊕ Imϕ∗ A. 七、设A为n阶方阵，证明：秩r(An ) = r(An+1 ) = · · · = r(Am ) = · · · 对任意的m ≥ n成立。 八、（请选做其中一题） 1. 设n阶可逆阵A中每行元素之和都等于常数c，证明c 等于c−1 . 0且A−1 中每行元素之和都
1
(A). A − B; (B).0n×n ;(C). A + B; (D).AB. 7. 设T 是n维线性空间V 上的线性变换，则T 2 = 2T 当且仅当 (A).Ker(T ) Im(T ) = 0; .
(B).n = dim Im(T ) + dim Im(T − 2I ); (C).V = Ker(T ) ⊕ Im(2T ); (D).n = dim Im(T ) + dim Ker(T − 2I ). 8. 设A是n阶方阵，α是n维列向量，若r (A).方程组AX = α必有唯一解; (B).方程组AX = α必有无穷多组解; (C).方程组 (D).方程组 二、填空题： 1. 设V 是次数不超过3的实多项式全体构成的线性空间。定义线性变换T : V → V 如 下：∀ f ( x) ∈ V, T ( f ( x)) := f ( x + 1) − f ( x)，则在V 的基{1, x + 1, ( x + 1)2 , ( x + 1)3 }下，T 的 . 表示矩阵为 2. 设R2 上有线性变换ϕ : ∀( x, y) ∈ R2 , ϕ( x, y) = (3 x + y, − x + 3y)，则ϕ的所有不变子空间 为 .
复旦大学数学科学学院2006～2007学年第二学期高等代数期末考试试卷
一、选择题： 1. 设V1 和V2 分别是R7 中的4维和5维子空间，则V1 (A). 1; (B). 2; (C). 3; (D). 4. 2. 设A是n阶方阵(n ≥ 3)，A∗ 是其伴随矩阵，则(3A)∗ = (A). 3A∗ ; (B). 3n−1 A∗ ; (C). 3n A∗ ; (D). 3−n A∗ . 3. 设A是m × n阶矩阵， B是n × m阶矩阵，则 (A). 当m > n时，必有行列式|AB| 0; . . V2 可能的最小维数是 .
2. 设A为n阶方阵，r(A) = r，且A2 = A，证明：迹tr(A) = r.
3
0 | B| · A ，则C −1 = | A| · B 0
时，( x2 + c)|( x3 + ax + b). 重根。
6.数1是多项式 x5 − 4 x3 + 2 x2 + 3 x − 2的
7. 设W1 , W2 都是线性空间V 的两个子空间，dim(W1 ) = r1 ，dim(W2 ) = r2 . 若有非零向 r1 + r2 . 量α1 ∈ W1 ，α2 ∈ W2 使α1 + α2 = 0，则dim(W1 + W2 ) 8.设A = (ai, j )n×n 是n阶实方阵，且代数余子式Ai, j = 2ai, j i, j = 1, · · · n，|A| 3且n为奇数，则|A| = . 0, n ≥
(B). 当m > n时，必有行列式|AB| = 0; (C). 当n > m时，必有行列式|AB| = 0; (D). 当n > m时，必有行列式|AB| 0.
4. 设向量β可由向量组{α1 , · · · , αm }线性表出，但不可由向量组I = {α1 , · · · , αm−1 }线性表 . 出。记向量组II = {α1 , · · · , αm−1 , β}，则 (A). αm 可由I 线性表出，也可由II 线性表出; (B). αm 可由I 线性表出，但不可由II 线性表出; (C). αm 不可由I 线性表出，但可由II 线性表出; (D). αm 不可由I 线性表出，也不可由II 线性表出. 5. 设A是n阶方阵，AAT = In ，AT 表示转置，In 表示n阶单位阵，且|A| = −1，则 (A). A + In 一定是奇异阵； (B). A − In 一定是奇异阵； (C). A + In 一定是可逆阵； (D). A − In 一定是可逆阵. 6. 设A， B都为n阶对称矩阵，且|A| . AB)−1 A = 0。若In + AB可逆，则((In + AB)−1 A)T − (In + .
1 3. 设A为3阶方阵，A∗ 是A的伴随矩阵，已知|A| = 4 ，则|(3A)−1 − (4A)∗ | =
A α αT 0
= r(A)，则
.
A α αT 0 A α αT 0
X y X y
= 0仅有零解; = 0必有非零解;
.
4. 设A, B分别为m, n阶可逆方阵，分块阵C = 5. 当a,b,c适合条件
高等代数试卷含答案
1 1．已知)2,1,2,1(1-=a ,3),(1,2,2,(2,3,1,0),32-==a a 则),,(321a a a L 的维数为的维数为①① , ,此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为 ②② . 2．已知)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===a a a 是3P 的一个基，由基)0,0,1(1=e ，)1,0,0(),0,1,0(32==e e 到基321,,a a a 的过渡矩阵为① ，向量),,(c b a =b关于基321,,a a a 的坐标为的坐标为② .3.3. 设123,,a a a 是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-æöç÷--ç÷ç÷-èø， 则向量12x a a =+的长度x 为 .三．（16分）已知复系数矩阵=A ÷÷÷øöçççèæ100021032104321，（1） 求矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子；的行列式因子、不变因子和初等因子； （2） 求矩阵A 的若当标准形；的若当标准形； （3）求矩阵A 的有理标准形。
的有理标准形。
2 三．解：(1)÷÷÷÷øöççççèæ--------=-1000210032104321λλλλλA E 因因为)1(4210321432+--------λλλλ＝－，而3)1(100210321-=------λλλλ ………………………44分 故故行列式因子1)(3=λD ，显然,1)(,1)(12==λλD D 44)1()(-=λλD …………22分 不不变因子为 )(1λd ＝)(2λd ＝1)(3=λd ，44)1()(-=λλd ………………22分初初等因子为4)1(-λ ………………22分(2)若当标准型ççççèæ÷÷÷÷øö=1100011000110001J ………………………………33分 (3)1464)(2344+-+-=λλλλλd故有理标准型为：3 ççççèæ÷÷÷÷øö--4100601040011000 ………………………………33分七．七．(10(10分) 1、设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换。
高数期末考试题及答案复旦
停车场停车券活动方案一. 活动目标本次停车场停车券活动的目标是吸引更多的用户使用停车场服务，增加停车场的收入。
通过发行停车券，提供优惠价位的停车服务，提高用户的体验及满意度，同时提升停车场的知名度和竞争力。
二. 活动时间活动时间为2022年1月1日至2022年3月31日，共计三个月。
三. 活动内容1. 停车券发行在活动期间，停车场将发行特定面额的停车券，用户可以在购买时获得相应的折扣或免费停车时间。
停车券的发行方式包括：•定期会员赠送：停车场会定期向会员赠送停车券，以奖励他们的忠诚度和支持。
•社交媒体活动：通过停车场的社交媒体平台，开展相关活动，让用户有机会赢得免费停车券。
•合作伙伴赞助：与合作伙伴合作，通过赞助方式提供免费或折扣停车券，吸引更多用户关注和使用停车场服务。
2. 会员特权为增加用户粘性和提高会员参与度，停车场将为定期会员提供特殊服务和特权，例如：•优先停车位：为会员提供专门的VIP停车区域或优先选择的停车位，方便会员快速进出停车场。
•免费车辆清洗：定期会员在停车期间，停车场将提供免费的车辆清洗服务，提升会员的停车体验。
3. 推荐奖励通过推荐活动，停车场将为用户提供额外的停车券作为奖励。
当用户成功推荐朋友或家人使用停车场服务时，推荐者将获得相应面额的停车券作为奖励。
4. 良性竞争在活动期间，停车场将与周边的其他停车场进行良性竞争。
通过提供更好的服务和更有竞争力的价格，吸引更多用户选择停车场停车券，并增加停车场的使用率。
四. 活动宣传为确保活动的成功，停车场将进行全方位的宣传推广。
宣传渠道和方式包括但不限于：•广告投放：通过户外广告牌、公交车身广告等方式进行线下宣传；•线上宣传：通过停车场官方网站、社交媒体平台、电子邮件等进行线上宣传；•合作推广：与相关合作伙伴进行合作推广，如APP推广、OTA平台推广等。
五. 活动效果评估活动结束后，停车场将根据以下指标对活动的效果进行评估：•停车场的总收入增长情况；•会员数量的增加情况；•用户对停车场服务的评价及满意度提升情况。
06级信本高等代数试题
06级信本高等代数试题（A ）一、单项选择（每小题3分，共15分）1、下列矩阵正定的是( )A 、121232123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 、122244246⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C 、122255253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D 、725212525⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2、下列3R 的子集是其子空间的是( )A 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+=B 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+≠C 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+≤D 、12323{(,,)|,0}i x x x x R x x ∈+≥ 3、212(,)x x Q ∀∈，下列法则为2Q 的线性变换的是( ) A 、1212(,)x x x x σ=+ B 、122(,)(,0)x x x σ= C 、121(,)(0,sin )x x x σ= D 、2121(,)(,0)x x x σ=4、设3=λ为可逆矩阵A 的特征值，则13)31(-A 有特征值( )A 、181B 、127C 、91D 、315、下列]2,2[-C 中向量为单位向量的是( ) A 、1 B 、x 43 C 、2x D 、22二、填空（每小题3分，共15分）1、一切实n 元二次型可分为 个等价类2、2[]C x 作为实数域上的线性空间其维数是 ，其基为3、向量12αα+关于基312,,ααα的坐标是4、)(,2P L ∈τσ，),(),(x y y x -=σ，(,)(0,)x y x τ=，则(,)x y στ＝5、在3R 中，定义内积31(,)i i i ix y αβ==∑，则)0,1,0(与(0,0,1)的夹角为三)01('、求可逆线性替换PY X =，使实二次型21233121323(,,)28124f x x x x x x x x x x =+--化为标准形，并求其正惯性指数，判断其是否正定．四)01('、求10121123(,,,)12100111L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一组基与维数．五)51('、设22100x y x y z u W R z u x y z u ⨯⎧⎫+++=⎛⎫⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬ ⎪-+-=⎝⎭⎩⎪⎪⎭⎩，21110(,)1011W L ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为22R ⨯的两个子空间，求1212,W W W W + 的一组基与维数．六(10)'、3),,(P z y x ∈∀，令(,,)(2,2,32)x y z x y z x y z x y z σ=++-+-+ ①证明)(3P L ∈σ；②求σ关于基)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===ααα的矩阵．七)51('、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组标准正交基，)(V L ∈σ，并且1123()22σεεεε=--，2123()22σεεεε=-+-，3123()22σεεεε=--+①证明σ是V 上的对称变换；②求σ的特征值与特征向量；③求V 的一组标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角矩阵． 八(10)'、设1234{,,,}αααα是欧氏空间V 的一组标准正交基，证明：1121(2βαα=++34)αα+，212341()2βαααα=--+，312341()2βαααα=-+-，412341()2βαααα=+--也是欧氏空间V 的一组标准正交基．06级信本高等代数试题（A ）答案与评分标准一、单项选择（每小题3分，共15分）D, A, B, C, B ．二、填空（每小题3分，共15分）1、(1)(2)2n n ++；2、4,1,,,i x ix ；3、(0,1,1)；4、(,0)x -；5、2π．三)01('、解：二次型的矩阵046402622A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭对矩阵A 作合同变换04618201600402220020622002001100100100010010110001311211----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （5分）令100110211X Y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则二次型的标准形为222123162y y y --+；正惯性指数为1 ；且不正定． （5分）四)01('、解：取22R ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则111221221112101211230213(,,,)(,,,)1210011111012011E E E E ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（5分） 11121112021302131101000020110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其基为1012,1210⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，维数为2． （5分）五)51('、解：由0x y z u x y z u +++=⎧⎨-+-=⎩的基础解系可得1W 的基为1001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， （5分）则1210011110(,,,)10011011W W L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而101110000110010110110011011000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （5分）则1212dim()3,dim()1W W W W +== ，基分别为100111,,100110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭；011110011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （ 5分） 六(10)'、①证明：(,,)(2,2,32)x y z x y z x y z x y z σ=++-+-+213(,,)121112x y z ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，令213121112A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，P b a P Y X ∈∀∈∀,,,3，有=+)(bY aX σ)()()(Y b X a bYA aXA A bY aX σσ+=+=+则)(3P L ∈σ； （5分） ②1123()(4,0,4)444σαααα==-+，2123()(3,1,2)234σαααα=-=-+，3123()(2,1,3)32σαααα==-+，故σ关于},,{321ααα的矩阵423432441B ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭． （5分）七)02('、证明：①σ关于标准正交基321,,εεε的矩阵是122212221A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，因A A T =，所以σ是对称变换； （5分） ②解0||)(=-=A xE x f A 得特征值1233,3λλλ===-，对123λλ==，解(3)0E A X -=，基础解系12(1,1,0),(1,0,1)ηη=-=-，得其对应线性无关的特征向量为112213,ξεεξεε=-+=-+，对33λ=-，解(3)0E A X --=，基础解系3(1,1,1,)η=，得属于13-=λ的特征向量3123ξεεε=++； （5分）③令11ξβ=，)1,21,21(),(),(1111222--=-=ββββξξβ，则得标准正交基3212211626161,2121εεεγεεγ+--=+-= ，3213313131εεεγ++=，σ关于此基的矩阵是(3,3,3)diag -． （5分）八、(10)'证 由于1234{,,,}αααα是欧氏空间V 的一组标准正交基，故1111112233444444(,)(,)(,)(,)1ββββββββ====+++=11111111121344444444(,)0,(,)0ββββ=--+==-+-=， （5分） 11111111142344444444(,)0,(,)0ββββ=+--==+--=， 11111111243444444444(,)0,(,)0ββββ=-+-==--+=，所以1234{,,,}ββββ也是欧氏空间V 的一组标准正交基． （5分）06级信本高等代数试题（B ）一、单项选择（每小题3分，共15分）1、n 元实二次型X AX '正定⇔（ ）A 、0A >B 、()r A n =C 、符号差0s =D 、正惯性指数p n = 2、dim ((0,1,1,1),(1,1,0,1),(1,0,1,0),(1,2,1,2))L ----=（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、)(3P L ∈σ，),,0(),,(y x z y x =σ，则2σ的值域与核的维数分别是（ ）A 、1，2B 、2，1C 、0，3D 、3，04、设2λ=为可逆矩阵A 的特征值，则311()2A -有特征值（ ）A 、12B 、14C 、18D 、1165、下列]1,1[-C 中向量为单位向量的是（ ） A 、1 B 、x C 、2x D 、22二、填空（每小题3分，共15分）1、一切n 元复二次型可分为 个等价类2、33⨯R 中的所有下三角矩阵所做成33⨯R 的子空间，其维数为3、向量(1,1,1)关于基11213,,εεεεε++的坐标是4、设σ为[]n P x 上的导数变换，核1(0)σ-= ，值域([])n P x σ=5、设12,,,n ααα 是欧氏空间的标准正交基，(,)i j αα= 三)01('、求非退化线性替换PY X =，使实二次型21232121323(,,)242f x x x x x x x x x x =-+-化为标准形，并求其正惯性指数，判断其是否正定．四)01('、求10022214(,,,)11111111L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一组基与维数．五)01('、设1212(1,2,1,0),(1,1,1,1),(2,1,0,1),(1,1,3,7)ααββ==-=-=-，1212(,),(,)U L W L ααββ==，求,U W U W + 的维数与一组基．六)51('、设P 是数域，3),,(P z y x X ∈'=∀，令110(),011101X AX A σ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，①证明)(3P L ∈σ；②求σ关于基)0,1,2(),0,1,1(),1,1,1(321=α=α=α的矩阵． 七)51('、设R 是实数域，在欧氏空间3R 中，3()L R σ∈，并且123123123123(,,)(22,22,22)x x x x x x x x x x x x σ=++++++①证明σ是3R 上的对称变换； ②求σ的特征值与特征向量；③求3R 的一组标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角矩阵． 八、(10)'设123{,,}ααα是欧氏空间V 的一组标准正交基，证明：11231(22)3βααα=++，21231(22)3βααα=-+，31231(22)3βααα=+-也是欧氏空间V 的一组标准正交基．06级信本高等代数试题（B ）答案与评分标准一、单项选择（每小题3分，共15分）D ，B ，A ，C ，D二、填空（每小题3分，共15分）1、1n +；2、6；3、(1,1,1)-；4、1,[]n P P x -；5、1,0,i ji j=⎧⎨≠⎩三)01('、解：二次型⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321321321011112120),,(),,(x x x x x x x x x f其矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=011112120A ，对A 施行合同变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101111001100010003100112001101010104100010001011112120 （5分） 所以Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101111001二次型的标准形为：2322213y y y -+- 正惯性指标是1，非正定。
高等代数第一学期试卷及答案(A)
高等代数第一学期试卷及答案(A)1. 若 $b_1c_1=b_3m$，则 $a_2=$B. $-15m$2. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 A. $\vertA\vert\neq0$3. 下列说法不正确的是 B. 如果 $f(x)\mid g(x)$，$g(x)\mid h(x)$，则 $f(x)\mid h(x)$4. 设向量组 $\alpha,\beta,\gamma$ 线性无关，$\alpha,\beta,\delta$ 线性相关，则() D. $\mathrm{\delta}$ 一定不能由 $\mathrm{\alpha,\beta,\gamma}$ 线性表示5. 对于 $n$ 元方程组，下列命题正确的是 B. 如果$Ax=0$ 只有零解，则 $Ax=b$ 也只有零解6. 若$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&6&7\end{pmatrix}$，则$\vert A\vert=$ $-3$7. $f(x)=x^4+x^3-1$，则 $f^\prime(x)=4x^3+3x^2$8. 已知 $\vert A\vert=-113$，则 $A_{12}-A_{22}+A_{32}-A_{42}=$ $-1145$9. 设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$，则$(A^{-1})^*=$ $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} $10. 若 $\alpha_1=(1,0,5,2)^T,\alpha_2=(3,-2,3,-4)^T,\alpha_3=(2,4,1,0)^T$，则 $\alpha_3$ 可以由$\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，且线性表示为 $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。
7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。
8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。
9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。
10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。
12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。
13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。
14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。
复旦大学高数考试题及答案
复旦大学高数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，在x=0处不可导的是（）。
A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = e^x答案：B2. 二次方程x^2 + ax + b = 0有一个根为0，那么b的值是（）。
A. 0B. aC. -aD. 1答案：A3. 函数f(x) = 1/x在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上是（）。
A. 单调递增B. 单调递减C. 有界D. 无界答案：D4. 定积分∫₀^(π/2) sin(x)dx的值是（）。
A. 1B. 2C. π/2D. π答案：A5. 微分方程y'' - y' - 6y = 0的特征方程是（）。
A. r^2 - r - 6 = 0B. r^2 - r - 6 = rC. r^2 - 6 = 0D. r^2 - r - 6 = r^2答案：A6. 利用洛必达法则求解极限lim (x->0) [sin(x)/x]的正确步骤是（）。
A. 直接代入x=0B. 计算分子的导数C. 计算分母的导数D. 计算分子和分母的导数答案：D7. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是（）。
A. n > 1B. n ≥ 1C. n = 1D. n < 1答案：C8. 曲线y = x^3在点（1，1）处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D9. 函数f(x) = ln(x)的泰勒展开式在x=1处的余项是（）。
A. R_2(x) = (x-1)^2/2B. R_3(x) = (x-1)^3/3C. R_2(x) = (x-1)^3/3D. R_3(x) = (x-1)^2/2答案：C10. 利用分部积分法计算定积分∫₀^(π/2) x sin(x)dx，得到的结果是（）。
A. π/2B. πC. 2D. 1答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)在点x=a处的导数为3，则lim (x->a) [f(x) -f(a)]/(x-a) = ____。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数综合考试试题
高等代数综合考试试题一、选择题（每题3分，共20题，总分60分）1. 高等代数的基本概念中，下列哪个选项是正确的？A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容？A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵，若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$，则矩阵A的阶数n最小可能是：A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$，若$A^{-1}$存在，则方程组的解为：A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2，特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为：A. -1，2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1，2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵，若A的行列式$|A|=0$，则下列哪个选项是正确的？A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题（每空3分，共10题，总分30分）1. 设A为对称矩阵，若$A^2 = 4I$，则A的特征值为______。
复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之三（18级--20级）
复旦⼤学数学学院⾼等代数历届期中考试⼤题精选之三（18级--20级）本⽂收集了复旦⼤学数学学院 18 级到 20 级⾼等代数期中考试的精选⼤题, 其中⼀部分⼤题由习题课⽼师或任课⽼师⾃编⽽来, ⼀部分⼤题从兄弟院校的⾼等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编⽽来, 也有⼀部分⼤题已经融⼊到复旦⼤学⾼等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这⾥我们不公布这些精选⼤题的解答, 但会根据情况附加⼀些注解, 以供读者参考.本科 18 级⾼代 I 期中考试⼆、(12分) 计算下列 n 阶⾏列式的值:|A |=1−a n 1b n11−a 1b 11−a n 1b n21−a 1b 2⋯1−a n 1b nn1−a 1b n1−a n 2b n11−a 2b 11−a n 2b n21−a 2b 2⋯1−a n 2b nn1−a 2b n⋮⋮⋮1−a n n b n11−a n b 11−a n n b n21−a n b 2⋯1−a n n b nn1−a n b n.五、(12分) 设函数 f (x )=m∑i =−k a ix i , 其中 k ,m 都是正整数. 设 n 阶⾮异阵 A 的每⾏元素之和都等于 c , 证明: f (A )=m∑i =−k a iA i 的每⾏元素之和都等于 f (c ).六、(10分) 设多项式 f (x )=a 0+a 1x +⋯+a n −1x n −1, ωk =cos 2k πn +i sin 2k πn (0≤k ≤n −1) 为全体 n 次单位根, 循环矩阵A =a 0a 1⋯a n −2a n −1a n −1a 0⋯a n −3a n −2⋮⋮⋮⋮a 2a 3⋯a 0a 1a 1a 2⋯a n −1a 0.证明: 恰有 n −r (A ) 个 n 次单位根是 f (x ) 的根 (不计重根数).七、(10分) 设 A ,B 为 n (n ≥3) 阶⽅阵, 满⾜ AB =0. 证明: |AB ∗+BA ∗|=0.注 第⼆⼤题⽤ Vander Monde ⾏列式. 第五⼤题是⽩⽪书例 2.22 的推⼴. 第六⼤题参考博⽂《》. 第七⼤题转化成矩阵秩的问题, 并⽤秩的不等式进⾏证明.本科 18 级⾼代 II 期中考试四、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, p ,q 是互素的整数且 q >1, 证明: 线性⽅程组 Ax =pq x 只有零解.五、(10分) 设 A 1,⋯,A n 为两两乘法可交换的 2019 阶实⽅阵, f (x 1,⋯,x n ) 是 n 元实系数多项式. 令 B =f (A 1,⋯,A n ), 证明: 存在 B 的某个特征值 λ0, 使得⽅程 f (x 1,⋯,x n )−λ0=0 有⼀组实数解.六、(10分) 设 A 为 n 阶复⽅阵, 证明: A 不可对⾓化当且仅当存在⼀元多项式 f (x ), 使得 f (A ) ⾮零, I n +f (A ) 可逆, 并且 (I n +f (A ))−1 与 I n −f (A )相似.七、(10分) 设 A 是 n 阶复⽅阵, 证明: 存在复数 c 1,⋯,c n −1, 使得A −c 1e A −c 2e 2A −⋯−c n −1e (n −1)A是可对⾓化矩阵.||()注 第四⼤题是⽩⽪书例 6.4 的推⼴. 第五⼤题需要⽤到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论⽂ 12 的例 3. 第六⼤题利⽤ Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七⼤题利⽤ Jordan 标准型的应⽤或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.本科 19 级⾼代 I 期中考试五、(10分) 设 n 阶⾮零复⽅阵 A 满⾜ A ∗=¯A ′, 求证: A 是⾮异阵.六、(10分) 设 A 为数域 K 上的 n 阶幂零阵, B 为 n 阶⽅阵, 满⾜ AB =BA 且 r (AB )=r (B ). 求证: B =0.七、(10分) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和 C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.注 第五⼤题是⽩⽪书例 2.21 的复版本. 第六⼤题利⽤⽩⽪书的例 3.75 来证明. 第七⼤题的第 1 ⼩问是⽩⽪书的例 3.78 (利⽤线性⽅程组的求解理论), 第 2 ⼩问可通过降阶公式 (构造⼀个⼤矩阵) 转化为第 1 ⼩问.本科 19 级⾼代 II 期中考试四、(14分) 设 n (n >2) 阶复⽅阵 A 的秩等于 2, 试求 A 的 Jordan 标准型.五、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, 其中阶数 n 为偶数, 并且对任意的 1≤r ≤n , A 的所有 r 主⼦式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 k , 使得线性⽅程组 Ax =kx 有⾮零解.六、(10分) 设 A =(a ij ) 是 n 阶实⽅阵, 若对任意的 1≤i ≤n , 都有 |a ii |>∑j ≠i |aij |, 则称 A 是严格对⾓占优阵. 设 A ,B 均为主对⾓元都⼤于零的n 阶严格对⾓占优阵, 且满⾜ A 2(A +B )=(A +B )B 2, 证明: A =B .七、(10分) 设 a ,b 都是实数, 其中 b ≠0, 证明: 对任意的正整数 m , 存在 4 阶实⽅阵 A , 使得A m =a b 20−b a 2000a b 0−ba.注 第四⼤题先将 A 的 Jordan 标准型 J 写出, 通过计算 J 的秩可得到 5 个分类结果. 第五⼤题利⽤⽩⽪书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六⼤题先利⽤⼽⽒圆盘定理得到 A ,B 特征值的实部都⼤于零, 再利⽤两次⽩⽪书的例 6.63 即得结论. 第七⼤题利⽤⼴义 Jordan 块 (⽩⽪书第366 页第 2 ⾏和第 3 ⾏的矩阵) 作为测试矩阵进⾏讨论.本科 20 级⾼代 I 期中考试四、记数域 K 上所有 n 阶⽅阵全体构成的线性空间为 M n (K). 对 A ∈M n (K), 考虑 C (A )={B ∈M n (K)∣AB =BA }.(1) 若 n =3, A =01000111, 求 C (A ) 的⼀组基.(2) 若 n =2, 试确定 dim C (A ) 的所有可能值.五、设 n 阶复⽅阵 A 不可逆, 证明: ⾄多只有两个复数 λ, 使得 λI n +A ∗ 不可逆.六、设 A ,B 为 n 阶⽅阵, 证明: |r (AB )−r (BA )|≤n2.七、设 A ,B 为 n 阶实⽅阵, 其中 A 是主对⾓元全⼤于零的上三⾓阵, 并且满⾜ AB +BA ′=2AA ′. 证明:(1) B 必为对称阵;(2) A 为对⾓阵当且仅当 B 2=AA ′;(3) |B |>0.本科 20 级⾼代 II 期中考试四、设 n 阶⽅阵 A 的极⼩多项式为 λ3−λ2, 试求 A 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.五、设 V 为线性空间, φ1,⋯,φk 是 V 上的线性变换, 满⾜: φ2i =φi (1≤i ≤k ), φi φj =0(1≤i ≠j ≤k ), 证明:()()V =k⨁i =1Im φi ⨁k⋂j =1Ker φj .六、设 n 阶复矩阵 A 的全体特征值都是属于开区间 (−1,1) 的实数, 证明: 矩阵⽅程 sin X =A 必有解.七、设 A ,B 为 n (n ≥2) 阶⽅阵, 满⾜: r (A )=n −1, AB =BA =0. 证明: A +B 为⾮异阵的充要条件是 A 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 B 的秩等于 1.()Processing math: 100%。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。