2006-2007年复旦大学高等代数考试题

五、设 1 , 2 , 3 , 4 是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换ϕ在该组基下的矩阵 1 0 2 1 − 1 2 1 3 A= 1 2 5 5 2 2 2 2

(1)求ϕ在基η1 =
2
ax + x2 + x3 + x4 = −1 1 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 − x4 = b 有3个线性无关的解， 三、已知非齐次线性方程组 2x + x + 3x − 3x = 1 1 2 3 4 (1) 证明系数矩阵A的秩r(A) = 2。 (2)求a, b的值和方程组的通解。 四 、 设W0 , W1 , W2 都 是 有 限 维 线 性 空 间V 的 子 空 间 ， 其 中W1 ⊂ W2 ， 且W0 W0 W2 ，W0 + W1 = W0 + W2 ，证明：W1 = W2 . W1 =
1
+ 2 ，η2 =
2 ，η 3
=
3
+ 4 ，η4 =
4 下的矩阵 B;
(2)求ϕ的核与像。 六、设A是一个m × n阶实矩阵，如下定义两个线性映射： ϕA : Rn → Rm , X → AX, ∀X ∈ Rn ;
m n T m ϕ∗ A : R → R , Y → A Y, ∀Y ∈ R ;
证明：Rn = KerϕA ⊕ Imϕ∗ A. 七、设A为n阶方阵，证明：秩r(An ) = r(An+1 ) = · · · = r(Am ) = · · · 对任意的m ≥ n成立。 八、（请选做其中一题） 1. 设n阶可逆阵A中每行元素之和都等于常数c，证明c 等于c−1 . 0且A−1 中每行元素之和都
1
(A). A − B; (B).0n×n ;(C). A + B; (D).AB. 7. 设T 是n维线性空间V 上的线性变换，则T 2 = 2T 当且仅当 (A).Ker(T ) Im(T ) = 0; .
(B).n = dim Im(T ) + dim Im(T − 2I ); (C).V = Ker(T ) ⊕ Im(2T ); (D).n = dim Im(T ) + dim Ker(T − 2I ). 8. 设A是n阶方阵，α是n维列向量，若r (A).方程组AX = α必有唯一解; (B).方程组AX = α必有无穷多组解; (C).方程组 (D).方程组 二、填空题： 1. 设V 是次数不超过3的实多项式全体构成的线性空间。定义线性变换T : V → V 如 下：∀ f ( x) ∈ V, T ( f ( x)) := f ( x + 1) − f ( x)，则在V 的基{1, x + 1, ( x + 1)2 , ( x + 1)3 }下，T 的 . 表示矩阵为 2. 设R2 上有线性变换ϕ : ∀( x, y) ∈ R2 , ϕ( x, y) = (3 x + y, − x + 3y)，则ϕ的所有不变子空间 为 .
复旦大学数学科学学院2006～2007学年第二学期高等代数期末考试试卷
一、选择题： 1. 设V1 和V2 分别是R7 中的4维和5维子空间，则V1 (A). 1; (B). 2; (C). 3; (D). 4. 2. 设A是n阶方阵(n ≥ 3)，A∗ 是其伴随矩阵，则(3A)∗ = (A). 3A∗ ; (B). 3n−1 A∗ ; (C). 3n A∗ ; (D). 3−n A∗ . 3. 设A是m × n阶矩阵， B是n × m阶矩阵，则 (A). 当m > n时，必有行列式|AB| 0; . . V2 可能的最小维数是 .
2. 设A为n阶方阵，r(A) = r，且A2 = A，证明：迹tr(A) = r.
3
0 | B| · A ，则C −1 = | A| · B 0
时，( x2 + c)|( x3 + ax + b). 重根。
6.数1是多项式 x5 − 4 x3 + 2 x2 + 3 x − 2的
7. 设W1 , W2 都是线性空间V 的两个子空间，dim(W1 ) = r1 ，dim(W2 ) = r2 . 若有非零向 r1 + r2 . 量α1 ∈ W1 ，α2 ∈ W2 使α1 + α2 = 0，则dim(W1 + W2 ) 8.设A = (ai, j )n×n 是n阶实方阵，且代数余子式Ai, j = 2ai, j i, j = 1, · · · n，|A| 3且n为奇数，则|A| = . 0, n ≥
(B). 当m > n时，必有行列式|AB| = 0; (C). 当n > m时，必有行列式|AB| = 0; (D). 当n > m时，必有行列式|AB| 0.
4. 设向量β可由向量组{α1 , · · · , αm }线性表出，但不可由向量组I = {α1 , · · · , αm−1 }线性表 . 出。记向量组II = {α1 , · · · , αm−1 , β}，则 (A). αm 可由I 线性表出，也可由II 线性表出; (B). αm 可由I 线性表出，但不可由II 线性表出; (C). αm 不可由I 线性表出，但可由II 线性表出; (D). αm 不可由I 线性表出，也不可由II 线性表出. 5. 设A是n阶方阵，AAT = In ，AT 表示转置，In 表示n阶单位阵，且|A| = −1，则 (A). A + In 一定是奇异阵； (B). A − In 一定是奇异阵； (C). A + In 一定是可逆阵； (D). A − In 一定是可逆阵. 6. 设A， B都为n阶对称矩阵，且|A| . AB)−1 A = 0。若In + AB可逆，则((In + AB)−1 A)T − (In + .
1 3. 设A为3阶方阵，A∗ 是A的伴随矩阵，已知|A| = 4 ，则|(3A)−1 − (4A)∗ | =
A α αT 0
= r(A)，则
.
A α αT 0 A α αT 0
X y X y
= 0仅有零解; = 0必有非零解;
.
4. 设A, B分别为m, n阶可逆方阵，分块阵C = 5. 当a,b,c适合条件