【高等代数】期末考试题(卷)A
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
(完整版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档
2、（ D ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）A的核是零子空间的充要条件是A是满射； （B）A的核是 V 的充要条件是A是满射； （C）A的值域是零子空间的充要条件是A是满射； （D）A的值域是 V 的充要条件是A是满射。
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
2、设A是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是A的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
答案
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案一、选择题1. 设A和B都是n阶方阵，下列哪个条件可以推断出A与B一定可交换？A. AB = BAB. AB = 0C. det(A) = 0D. AB = I （单位矩阵）正确答案：A2. 设A是n阶方阵且可逆，则A^-1的列向量组是否一定线性无关？A. 是B. 否正确答案：A3. 设A是n阶对称矩阵，则A肯定满足的性质是：A. A的特征值为实数B. A的特征向量构成一组正交基C. A一定可以对角化D. A的秩等于n正确答案：A4. 设A是n阶可逆矩阵，下列哪个等式成立？A. (A^-1)^T = AB. (A^T)^-1 = AC. (A^-1)^T = (A^T)^-1D. (A^T)^-1 = (A^-1)^T正确答案：D5. 设A是n阶方阵，则A可能是可逆矩阵的充分必要条件是：A. 行列式det(A)不等于0B. 矩阵A的秩等于nC. 矩阵A有n个互不相同的特征值D. 矩阵A的伴随矩阵可逆正确答案：A二、计算题（请写出详细过程并附上最后计算结果）1. 计算矩阵相乘：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [1 -1; 2 -2; 3 -3]解答：A *B = [1*1 + 2*2 + 3*3 1*(-1) + 2*(-2) + 3*(-3);4*1 + 5*2 + 6*3 4*(-1) + 5*(-2) + 6*(-3)]= [14 -14;32 -32]2. 计算矩阵的逆：设A = [1 2; 3 4]解答：计算A的行列式：det(A) = 1*4 - 2*3 = -2计算伴随矩阵：adj(A) = [4 -2;-3 1]计算A的逆：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A) = (1/-2) * [4 -2;-3 1]= [-2 1;1.5 -0.5]三、证明题证明：若A是n阶对称矩阵，则A一定可以对角化。
解答：要证明A一定可以对角化，需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1) * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
2009-2011高等代数(下)考试卷(A)
2009-2010学学年第二期 数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义定()σξξα=+;(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。
２．（ ）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的 （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）9。
3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 ４．（ 设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，则哪说与下列一法σ为变换正交不等价（A ） 对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=； （B ） 对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。
二、 填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。
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一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1、设1D =3512，2D =345510200，则D =12D D O O=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表，每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
6、1,α2α，，m α和1β，2β，，m β为两个n 维向量组，且1α=2β+3β++m β 2α=1β+3β++m βm α=1β+2β++1m β-则下列结论正确的是 （A ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ< （B ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ> （C ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ=（D ）无法判定7、设A 为n 阶实对称方阵且为正交矩阵，则有（A ）A=E （B ）A 相似于E （C ）2A E = （D ）A 合同于E8、若1234,,,ηηηη是线性方程组AX O =的基础解系，则1η+2η+3η+4η是AX O =的 （A ）解向量 （B ）基础解系 （C ）通解； （D ）A 的行向量；9、1,λ 2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1X 和2X 分别是对应于1λ和2λ的特征向量，当1,k 2k 满足什么条件时，1122X k X k X =+必是矩阵A 的特征向量。
（A ）10k =且20k =； （B ）10k ≠，20k ≠ （C ）120k k ≠ （D ）10k ≠而20k =10、下列哪一个二次型的矩阵是110130000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（A ）22121222(,)23f x x x x x x =-+； （B ）22121122(,)3f x x x x x x =-+;(C)221231222(,,)23f x x x x x x x =-+; (D)22123112232(,,)3f x x x x x x x x x =--+;三、计算题（每小题9分，共63分）1、设3阶矩阵，23=23A αγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 23B=βγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中23αβγγ，，，均是3维行向量，且已知行列式A =18，B =2，求A+B 2、解矩阵方程AX+B=X ，其中010A=111101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ ，112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3、设有三维列向量组11=11λα+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 21=11αλ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 31=11αλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，20=βλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦λ为何值时：（1）β可由1 α，2α，3α线性表示，且表示式是唯一的；（2）β不能由1 α，2α，3α线性表示；（3）β可由1 α，2α，3α线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。
4、已知四元非齐次线性方程组AX=β满足()3R A =，123γγγ，，是AX=β的三个解向量，其中122402γγ⎛⎫ ⎪- ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭， 231034γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭求AX=β的通解。
5、已知A=B ，且11A=111a a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，000B=010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求a , b6、齐次线性方程组123123122303402a 0x x x x x x x x x -+=⎧⎫⎪⎪-+=⎨⎬⎪⎪-++=⎩⎭中当a 为何值时，有非零解，并求出通解。
7、用正交变换法化二次型222123123121323(,,)444444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准型，并求出正交变换。
四、证明题（7分）设A 为m ×n 矩阵，B 为n 阶矩阵，已知()n R A = 证明：若AB=O ，则B=O《高等代数》期末考试题A题参考答案与评分标准一、填空题1、-10；2、81；3、-4，-6，-12；4、()132A E -； 5、5； 二、单项选择题(每小题2分，共20分)三、计算题(每小题9分，共63分)1、2233++A+B =3=124αβαβγγγγ （2分）=2312αγγ+2312βγγ （4分）=232αγγ+2312βγγ （7分）=2×18+12×2=60 （9分）2、()AX+B X E A X B =⇒-= （2分）111013012E A --=-=≠ （3分） ()1X E A B -=- （5分）()102113213011E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（7分）02111311321202030115311X --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦（9分）3、设112233k k k βααα=++21+1111111+1(+3)11+1=(+3)0111+111+A λλλλλλλλ==≠ 0λ⇒≠且3λ≠-时，方程组有唯一解即β可由1 α，2α，3α唯一线性表示， （2）当=3λ-时()21101213A =1213011211290006---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭R(A)=2 ，()R A =3 ∴无解即当=3λ-时，β不能由1 α，2α，3α线性表示 （6分） （3）当=0λ时()11101110A =1110000011100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()R(A)= R A =1<3 ∴有无穷组解 基础解系为：1110η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 2101η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭通解为 12112212c c X c c c c ηη--⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭当=0λ时 β可由1 α，2α，3α线性表示为无穷多种形式1211223()c c c c βααα=--++ 1c ，2c 为任意常数 （9分）4、R(A)= 3 <4 AX= θ∴的基础解系含一个解 （2分）i A γβ= （i=1，2，3）设1223211404()()0033242ηγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=+-+=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4分）1432η⎛⎫ ⎪- ⎪∴= ⎪- ⎪-⎝⎭ 为基础解系 （6分）()1212111A A 222A γγγγβ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦()012121021U γγ⎛⎫ ⎪- ⎪∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 为特解 （8分）故A X β=的通解为0124312c c X U c c c η+⎛⎫ ⎪-- ⎪=+= ⎪- ⎪-⎝⎭c 为任意常数 （9分） 5、A B E A E B λλ∴-=-322221113(2)()11a E A ab a b a b b λλλλλλλ----=---=-+--+---- （2分）32001(1)(2)3202E B a λλλλλλλλλλ-=--=--=-+- （4分）32222323(2)()32a b a b λλλλλλ∴-+--+-=-+ （6分）比较同次幂系数有22222()0a b a b ⎧⎫--=⎨⎬-=⎩⎭(8分) 解之， 得 0a b == （9分）6、21301113410112003A a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（3分）当3a =时， ()R A =2<3 有非零解 （5分）基础解系为111η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（8分）通解为 X c η= c 为任意常数 （9分）7、2422242(2)(8)0224E A λλλλλλ----=---=--=--- （3分）特征值为18λ=， 232λλ== （4分）特征向量为1111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3011η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （6分）正交单位化为1111β⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，2101β⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭，3121β-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭ （7分） 标准型为 222123822f y y y =++ （8分）正交变换为0X Y⎪=⎪⎪ ⎪ （9分）四、证明题（）()12,,,n B βββ=()()1212,,,,,,n n AB A A A A O ββββββ=== （2分）i A βθ∴= (1,2,,)i n =∴B 的每一列向量为齐次方程组AX θ=的解 （4分）由于()R A n = ∴AX θ=只有零解∴B O = （6分）。