《高等代数》期末考试卷

[ ϑ1 2 3 | | 22高等代数期末考试卷一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设 b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。

CA) 对任意的 b ，V 均是线性空间； B) 对任意的 b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当 b σ 0 时，V 是线性空间。

2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。

AA) 若向量组 I 线性无关，则 s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。

3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。

DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当 r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解；D) 当 r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。

4)设 A 是 m n 阶矩阵， B 是 n m 阶矩阵，且 AB = I ，则。

AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。

{1 1 1[5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基 ⋂ ,⋂ ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则 ϕ 在基|1 1 1|⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是。

C{ 1 2 1 [{ 1 11 [ { 12 1 [{ 1 11 [ A) |2 0 2 | ；B) | 1 0 1 | ；C) | 1 0 1 | ；D) | 2 2 | 。

[ ϑ [ 2 ϑ [ ϑ [6)设 ϕ 是 V 到 U 的线性映射， dim V = n , dim U = m 。

若 m < n ，则 ϕ。

B| | | 2 2 | | 2 2 | | 0 || 1 2 1 || 1 1 1 | | 1 2 1 | | 1 1 2 1 | ϑA) 必是单射；B) 必非单射；C) 必是满射；D) 必非满射。

7)设 V 、U 、W 是数域 K 上的线性空间，又设ϕ 、ϒ 、 μ 是都是 V 上的线性变换，则下列结论正确的有个。

B① Ker(ϕ +ϒ ) χ Ker ϕ + Ker ϒ ；② Im (ϕ +ϒ ) χ Im ϕ + Im ϒ ；③ Ker ϕ χ Ker(μϕ) ；④ Im ϕ χ Im(ϕμ ) 。

A) 1；B) 2；C) 3；D) 4。

8) 与数域 K 上的线性空间 V = {(a , b ) a , b χK} 同构的线性空间有个。

C{|{ a b [ |① W = {(a - b , a + b ) a , b χK}；② W = {| |a ,b χK }；③ W = {(a + b , a + b ) a , b χK }；④ |[[ a + b a - b ϑ |ϑW = {( a , a , b ) a , b χK }A) 1； B) 2； C) 3；D) 4。

二、 填空题（32 分. 共 8 题,每题 4 分）1) 设向量组 α1 ,α2 ,...,αr 线性无关， ⎭1 = 2α2 + 3α3 + ... + r αr ， ⎭2 = α1 + 3α3 + ... + r αr ，…… ，⎭r = α1 + 2α2 +... + (r -1)αr -1 ，⎭r +1 = α1 + 2α2 + ... + (r -1)αr -1 + r αr ，则 ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭r +1（选填“线性相关”，“线性无关”，“无法确定”）。

线性相关2) 设 I ：α1 ,α2 ,...,α s 和 II ：⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 是线性空间 V 中两个向量组，向量组 I 可由向量组 II 线性表 示，且 r (I) = r (II) ，则向量组 I 与向量组 II （选填“必等价”，“未必等价”），s 与 t（选填“必相等”，“未必相等”）。

必等价，未必相等3) 设 α1 ,α2 ,α3 ,α4 都是 4 维列向量， A = (α1 ,α2 ,α3 ,α4 ) 。

已知齐次线性方程组 AX = 0 的通解是k (0,1,1, 0)' 。

以 A * 表示 A 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 A * X = 0 解空间的维数是，而 是它的一个基础解系。

3，α1 ,α2 ,α4 或 α1 ,α3 ,α44) 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 和 Bx = 0 分别有 l , m 个线性无关解向量， 且 l + m > n ， 则( A + B )x = 0 （选填“必有”，“未必有”）非零解。

必有5) 设{⋂1 ,⋂2 ,...,⋂n }，{ψ1 ,ψ2 ,...,ψn }是 V 的两组基， (ψ1 ,ψ2 ,...,ψn ) = (⋂1 ,⋂2 ,...,⋂n )P 。

又若 V 中向量α 在基{ψ1 ,ψ2 ,...,ψn }下的坐标向量是 X ，则α 在基{⋂1 ,⋂2 ,...,⋂n } 下的坐标向量是。

PX6) 设V1，V2都是n 维线性空间V 的子空间，且dim(V1+V2) = dim V1+1 ，则dim V2 - dim(V1V2) =。

1{ 0 1 0 [7) 设ϕ 是V 到U 的线性映射，且ϕ(⋂1 ,⋂2 ,⋂3 ) = (ψ1 ,ψ2 ) || ，其中{⋂1 ,⋂2 ,⋂3} ，{ψ1 ,ψ2 }分别[ 0 0 1 ϑ是V 和U 的一组基，则Kerϕ =，Imϕ =。

L(⋂1 ) ，U 或L(ψ1 ,ψ2 ){ 0-1[8) 设A = || ，由X AX 定义了R 2 1 上的线性变换ϕ ，则ϕ 的不变子空间是。

0 ，R 2 1[ 1 0 ϑ三、(6 分) 设向量组α1 ,α2 ,α3 是齐次线性方程组AX = 0 的一个基础解系。

问下列向量组α1 + 2α2+ α3，2α1 + α2 + 2α3 ，α1 + α2 + α3 是否也是齐次线性方程组AX = 0 的一个基础解系？为什么？四、(10分)设ϕ是数域K 上n 维线性空间V 的线性变换，α是V 中一个向量，且满足ϕn -1 (α) σ 0 ，ϕ n (α ) = 0 。

证明：α ,ϕ (α ),...,ϕ n -1 (α ) 是V 的一组基，并求ϕ 在这组基下的表示矩阵。

证明：因α ,ϕ (α ),...,ϕ n -1 (α ) 的个数恰为V 的维数，因此要证其为V 的基，仅需证其线性无关即可。

事实上，设k α + k ϕ (α ) + ... + k ϕ n-1 (α ) = 0 ，0 1 n-1（*）将ϕn -1 同时作用于（*），结合已知条件，得k ϕn-1 (α) = 0 ，又ϕn -1 (α) σ 0 ，故k = 0 。

类似的，将ϕn -2 ，0 0ϕn -3 ，…，ϕ作用于（*），得k = 0 ，k = 0 ，… ，k1 2 n- 2= 0 。

进而k ϕ n-1 (α ) = 0 ，由ϕ n -1 (α ) σ 0 ，n-1故kn-1= 0 。

0 | | 0 0五、(10 分) 设 A 是 n 阶方阵且 r ( A ) = r 。

求证 A 2 = A 的充要条件是存在 n r 矩阵 S 和 r n 矩阵T ，使得 A = ST ， T S = I r ， r (S ) = r (T ) = r 。

证明：充分性。

直接计算 A 2= STST = SIT = A 。

必要性。

对矩阵 A ，存在可逆矩阵 P ，Q 使得 A = P { I r[ { I [ { I[ Q = P r (I , 0)Q 。

令 S = P r ， | 0 | | 0 | r | 0 | [ ϑ [ ϑ [ ϑT = (I r , 0)Q ，可证 P ，Q 即为所求。

显然， S 和 T 分别是 n r 矩阵和 r n 矩阵，且因 P ，Q 可逆，所以r (S ) = r (T ) = r 。

下证TS = I r 。

由 A = A ，得{ I r P |[ { I r|QP | 0 [ { I |Q = A 2= A = P | r 0 [ |Q 。

（*）0 [ ϑ [ ϑ [ ϑ因 P ，Q 可逆，所以{ I r |[ = { I r0 | |[ { I r |QP | 0[ | 。

（**）0 [ ϑ [ ϑ [ ϑ（法一）（10 级 尹思文）将（*）等式两边分别左乘 (I r , 0)P -1，右乘Q -1 { I r [ ，得 (I [ ϑ { I r [, 0)QP | | = I r ， [ ϑ即 T S = I r 。

（法二）（10 级 李宏生，王邑良，吉子龙，夏宇静）由（**），TS = (I , 0)QP { I r [ = (I , 0) 。

r | | r [ ϑ 0 | | 0 || 0 | r 0 || 0 | r（法三）（**）式 = { I r [(I { I r [ , 0)QP (I , 0) = { I r [TS (I , 0) = { T S [(I , 0) = { T S [ ，故TS = I 。

| 0 | r | 0 | r | 0 | r | 0 | r | 0| r[ ϑ [ ϑ [ ϑ [ ϑ [ ϑ必要性。

（法四）（10 级 李荣刚）将 A 视为线性变换ϕ 在 n 维线性空间 V 的某基下的表示矩阵，由同构对应，则ϕ 2= ϕ 。

设ϕ 的秩为 r ，{⋂ ,...,⋂ } 是 Ker ϕ 的一组基，将扩成{⋂ ,...,⋂ ,⋂ ,...,⋂ } 为 V 的r +1n1rr +1n一组基，则ϕ(⋂1 ),...,ϕ(⋂r ) 线性无关，且可证{ϕ(⋂1 ),...,ϕ(⋂r ),⋂r +1 ,...,⋂n }是 V 的一组基。

事实上，因为 V的维数是 n ，因此只要证明{ϕ(⋂1 ),...,ϕ(⋂r ),⋂r +1 ,...,⋂n }线性无关即可。

设ϕ 在 α ,ϕ (α ),...,ϕ n -1(α ) 下的表示矩阵| 1 { 0 | | |[ 0 1 [| | 。