2018年高考总复习知识导学案(文科)2.11.1导数与函数的单调性

(3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在 x∈(－2，－1)， 使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立， 2 即 x∈(－2，－1)时，a<(x＋x )max＝－2 2， 2 当且仅当 x＝x 即 x＝－ 2时等号成立． 所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2)．
——[悟· 技法]—— 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则 区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即 “若函数单调递 增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则 f′(x)≤0”． 提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此 时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(2)a＝2 时， 单调递增． (3)a>2 时，0< 当 x∈(0, 当 x∈ (
2 a＝1，在 x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x) 2 a<1，
2 a)或 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 2 a，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述， 当 0<a<2 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1, 2 减，在 ( a，＋∞)内单调递增； 当 a＝2 时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 2 当 a>2 时，f(x)在(0, a)内单调递增，在( 递减，在(1，＋∞)内单调递增． 2 a)内单调递
2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其 都小 他点的函数值④ ____________ ，而且在 x ＝ a 附近的左侧⑤ f′(x)＜0， f′(x)＞0 ， ________ 右侧⑥__________ 则 a 点叫做函数的极小值点， f(a) 叫做函数的极小值； (2)函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其 都大 f′(x)＞0；右侧⑨________ f′(x)＜0 ， 他点的函数值⑦________ ，左侧⑧________ 则 b 点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
——[通· 一类]—— 1． (2015· 四川卷节选)已知函数 f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2， 其中 a>0.设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性．
解析：由已知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)， 2 2x－1 所以 g′(x)＝2－x ＝ x . 当 x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
5．函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为________．
解析：由 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 得 f′(x)＝3x2－30x－33， 令 f′(x)<0，即 3(x－11)(x＋1)<0，解得－1<x<11，所以函数 f(x) 的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)
3．函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 连续不断 10_________ 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条○ 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 极值 (ⅰ)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的⑪________. (ⅱ)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[解析] (1)因为 f(x)＝xea x＋bx， 所以 f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. a－2 f 2 ＝ 2e ＋ 2 ， 2e ＋2b＝2e＋2， 依题设， 即 a－2 ＋b＝e－1. f′2＝e－1， －e 解得 a＝2，b＝e.
－
(2)由(1)知 f(x)＝xe2 x＋ex. 由 f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及 e2－x＞0 知，f′(x)与 1－x＋ex－ 1 同号． 令 g(x)＝1－x＋ex－1，则 g′(x)＝－1＋ex－1. 所以，当 x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1) 上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调 递增． 故 g(1)＝1 是 g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而 g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)． 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
2 a，1)内单调
——[悟· 技法]—— 导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x)； (2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x)＜0 时为减函数． 提醒：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对 不等式解集的影响进行分类讨论．
解析：求导得 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令 f′(x)＝ex(x＋1) ＝0，解得 x＝－1，易知 x＝－1 是函数 f(x)的极小值点，所以选 D. 答案：D
4．函数 y＝ln x－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( A．e B．1 C．－1 D．－e
)
解析：函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)， 1－x 1 又 y′＝x －1＝ x ， 令 y′＝0 得 x＝1， 当 x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增； 当 x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减． 当 x＝1 时，函数取得最大值－1. 答案：C
——[通· 一类]—— 2． (2016· 浙江卷改编)设函数 f(x)＝ax2－a－ln x， 其中 a∈R， 讨论 f(x)的单调性．
2 1 2ax －1 解析：f′(x)＝2ax－x ＝ x (x>0)． 当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 1 当 a>0 时，由 f′(x)＝0，有 x＝ . 2a 1 此时，当 x∈（0， ）时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 2a 1 当 x∈（ ，＋∞）时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 2a
6．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大 值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即 a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即 a 的最大值是 3. 答案：3
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．函数的导数与单调性的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导： 单调递增 (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内①______ ； 单调递减 (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内②______ ； 常数函数 (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是③______.
[变式练]——(着眼于举一反三) 3x 4．已知函数 f(x)＝ a －2x2＋ln x，其中 a 为常数． (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求 a 的取值范围．
考向二 判断或证明函数的单调性 [互动讲练型] 2x－1 [ 例 2] (2016· 山东卷改编 ) 已知 f(x) ＝ a(x － ln x) ＋ x2 (a>0)，讨论 f(x)的单调性．
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)， 2 a 2 2 ax －2x－1 f′(x)＝a－x－x2＋x3＝ . x3 ax－1 2 2 因 a>0，则 f′(x)＝ x3 (x－ a)(x＋ a). 2 (1)0<a<2 时， a>1， 2 当 x∈(0,1)或 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 2 当 x∈(1, a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
——[通· 一类]—— [同类练]——(着眼于触类旁通) 3．已知函数 f(x)＝x2＋2x＋aln x 在区间(0,1)上单调递减，求 实数 a 的取值范围． a 2 解析：∵f(x)＝x ＋2x＋aln x，f′(x)＝2x＋2＋x . ∵函数 f(x)在(0,1)上单调递减，∴在区间(0,1)内， 2 a 2x ＋2x＋a f′(x)＝2x＋2＋x ＝ ≤0 恒成立， x ∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立． ∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，∴－(2x2＋2x)≥－4， ∴a≤－4， 故 a 的取值范围为(－∞，－4]．
考向三 已知函数的单调性求参数的范围 [分层深化型] 1 3 a 2 [例 3] 设函数 f(x)＝3x －2x ＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为 y＝1. (1)求 b，c 的值； (2)若 a>0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝f(x)＋2x， a 的取值范围．
二、必明 2●个易误点 1．求函数极值时，误把导数为 0 的点作为极值点；极值点 的导数也不一定为 0，有可能不存在． 2．易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而 极值是个“局部”概念．
考向一 求函数的单调区间[自主练透型] [例 1] (2016· 北京，理 18)设函数 f(x)＝xea－x＋bx，曲线 y＝ f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y＝(e－1)x＋4. (1)求 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间．
[解析] (1)f′(x)＝x2－ax＋b， f0＝1， c＝1， 由题意得 即 f′0＝0， b＝0. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调 递减区间为(0，a)．