2006年高考文科数学试题及答案(安徽卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷文科数学试题及答案（安徽卷）参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B （2）不等式112x <的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞ 解：由112x <得：112022x xx--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

（3）函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ） A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>解：由1x y e +=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选D 。

（4）“3x >”是24x >“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选B 。

（5）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 解：椭圆22162xy+=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。

（6）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A ．3B ．13π C ．23π D ．3解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由284⨯=知，1a =，A 。

（7）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A．(0,1) B．1,1) C．(1,1) D．1) 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

（8）对于函数()sin 1(0)sin x f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin 1(0)sin x f x x xπ+=<<的值域为函数11,(0,1]y t t=+∈的值域，而11,(0,1]y t t=+∈是一个减函减，故选B 。

（9）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C 。

（10）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

（11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

故选D 。

（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．47解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得3824C，所以选C 。

2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（安徽卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

（13）设常数0a >，42ax ⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____。

解：1482214r rrrr T C axx---+=，由18232,2,r rxxx r --==得4431=22r rC a-由知a=。

（14）在A B C D 中，,,3A B a A D b A N N C ===，M 为BC 的中点，则M N = _______。

（用a b、表示） 解：343A =3()AN N C AN C a b ==+由得，12A M a b =+ ，所以3111()()4244M N a b a b a b =+-+=-+ 。

（15）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5ff =__________。

解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5ff f f f =-=-==--+。

（16）平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1； ②2； ③3； ④4；以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B 、D 到平面α的距离为1、2，则D 、B 的中点到平面α的距离为32，所以C 到平面α的距离为3；B 、C 到平面α的距离为1、2，D 到平面α的距离为x ，则1221x x +=+=或，即1x =，所以D 到平面α的距离为1；C 、D 到平面α的距离为1、2，同理可得B 到平面α的距离为1；所以选①③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本大题满分12分）已知40,sin 25παα<<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； （Ⅱ）求5tan()4πα-的值。

解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=，所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα==，∴5tan 11tan()41tan 7πααα--==+。

（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故2()15P A =。

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)，故22661113()1()15P B CC =-+=。

（19）（本大题满分12分）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。

（Ⅰ）证明P A ⊥B F ； （Ⅱ）求面A P B 与面D PB 所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，ABCD EF O P第19题图HABC D第16题图α∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。

（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12A O =，32D O =，2BO =。

过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以A H D ∠为所求二面角平面角。

在A H O 中，OH=4，1tan 4AO AH O O H ∠===3。