互逆命题.4-1互逆命题
114互逆命题
11.4互逆命题学习目标导航重点：1．知道命题和逆命题的相互关系，能写出一个命题的逆命题．2．知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．3．会用符号“⇒”简明地表述推理过程．难点：知道反例的概念，能用举反例的方式，说明一个命题是假命题．考点:写出一个命题的逆命题并判断其假．重点难点透视教材知识点详解详解点一互逆命题（重点）(1)定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．(2)构造方法：每个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，所得的命题即为原命题的逆命题．(3)命题的组成形式：一般情况下，命题可有如下的一些形式：①如果……那么……；②若……则……；③因为……所以……．通常为标准形式，其他的都可以化为标准形式，并且“如果……”部分为命题的条件，“那么……”为命题的结论部分．(4)互逆命题的真假：延伸：如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．【例1】写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题：(1)同位角相等；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．解: (1)条件：两个角是同位角；结论：这两个角相等．逆命题：相等的角是同位角．(2)条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余．逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．名师点睛：给出一个命题写出客观存在的逆命题，把题设和结论进行交换的同时还要注意语句是否通顺．详解点二假命题的证明（难点）要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这在数学上称为“举反例”．【例2】证明下列命题为假命题．(1)质数都是奇数；(2)两个互余的角不相等．分析：证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了．证明：(1)因为2是质数，且它是偶数，所以这个命题是假命题．(2)取α=45°，β=45°，则α+β=90°，而α=β且α、β互余．所以这个命题是假命题．方法归纳：证明一个命题是假命题的方法是举反倒．详解点三用“⇒”表述推理过程(重点、难点)为了简化证明的推理过程，我们可以用符号○C “⇒”来表述推理，“⇒”是推出符号．使用符号“⇒”进行推理不但简化了证明过程，而且使得整个证明过程更加条理清晰．【例3】图l1一4—2，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN∥BC，分别交AB 、AC 于点M 、N 求证：MN=BM+CN ．分析：欲证明MN=BM+CN ，只需要证明OM=BM ，ON=CN.方法归纳：(1)因为A ，所以B ，可用A “⇒”B ；(2)若C 为已知或已证，而B 与C 结合可推出D ，可按下面推理(注意“⇒”指向):方法规律聚焦类型一 逆命题的书写及逆命题的真假判断【例4】说出下列命题的逆命题，判断每个逆命题的真假，并说明理由． (1)在△ABC 中，如果∠A 是钝角，那么∠B 和∠C 是锐角． (2)平行四边形是四边形．(3)若a 2是有理数，则a 是有理数．(4)如果m >0，则m≠0．(5)四边形的内角和是360°．分析：把原命题改写成逆命题，关键是分析清楚原命题的条件与结论，然后把原命题的结论变成逆命题的条件，而把原命题的条件变成逆命题的结论．现将各题的条件与结论列表如下：解：(1)逆命题为：在△ABC 中，如果∠B 和∠C 是锐角，那么∠A 是钝角．逆命题是假命题．因为∠A 可能是锐角，也可能是直角，还有可能是钝角．(2) 逆命题为：四边形是平行四边形．逆命题是假命题．因为平行四边形是一种较为特殊的四边形，如梯形是四边形，但不是平行四边形．(3) 逆命题为：若a 是有理数，则a 2是有理数．逆命题是真命题.因为有理数平方后还是一个有理数．(4) 逆命题为：如果m≠0，则m >0．逆命题是真命题．因为一个非零实数的绝对值一定大于O ．点石成金 “⇒ ”前的是条件，“⇒ ”后的是由条件推出的结论.(5) 逆命题为：如果一个多边形的内角和是360°，那么该多边形一定是四边形．逆命题是真命题．根据多边形内角和公式：(n-2)180°=360°，得n=4，因此这是一个四边形．名师点睛：(1)一个真命题的逆命题不一定是真命题，一个假命题的逆命题不一定是假命题． (2)要说明一个命题是真命题需进行严密的逻辑推理，而说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．类型二命题的证明【例5】证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．图11．4—1分析：此为文字叙述的证明题，命题的条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行．已知：如图11．4—1，直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c．证明：作直线a、b、c的截线d．因为b∥a(已知)，所以∠2=∠1(两直线平行，同位角相等)．因为c∥a(已知)，所以∠3=∠l(两直线平行，同位角相等)，所以∠2=∠3(等量代换)，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)．用符号“⇒”简明表述上述的推理过程如下：名师点睛：用“⇒”符号表述推理过程可以使证明过程变得简单明了，同时也有利于培养解答者的逻辑推理能力．综合应用探究类型三证明逆命题真假【例6】请写出“如图11．4—2，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12 BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由．图11．4—2 图11．4—3分析：命题“在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=12BC”的条件是“若DE是△ABC的中位线”，结论是“BE=12BC”．将条件与结论相反，则为它的逆命题．解:逆命题：若DE=12BC，则DE是△ABC的中位线．假命题，反例如图11．4—3所示．方法归纳：在判断某个命题是真命题时，要进行说理；在判断某个命题是假命题时，举个反例就行了．常见思维误区警示易错点一叙述逆命题时出错易错点导析在由原命题写逆命题时，未进行语言加工，只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，这是出错的主要原因．【例7】写出命题“等腰三角形两个底相等”的逆命题．错解：两个底角相等的三角形是等腰三角形.纠错秘方：在改写逆命题时，要把握逆命题和原命题的关系，特别注意某些概念内在的先后顺序．正解：有两个角相等的三角形是等腰三角形.易错点二对命题的条件和结论表述不清在叙进命题时,有些命题的条件和结论不是很明显，很容易混淆，从而出现错误．【例8】写出“命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．错解：逆命题为：如果对应边相等，那么它是全等三角形．纠错秘方：在由原命题写它的逆命题时，未进行语言加工,只是机械地照搬原命题中的条件和结论两部分，造成逆命题的语句不通，因为对应边是针对两个三角形而言，所以“对应边相等”应改为“两个三角形的对应边相等”．正解：逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．知识方法归纳快乐测试经典基础题1．“平行四边形对角线互相平分”的逆命题是 ( ) A．对角线互相平分的是平行四边形B．互相平分的是平行四边形的对角线C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．如果是平行四边形的对角线，那么互相平分【C 提示：A答案差一个主语“四边形”，B,D两答案原命题的题设与结论没有弄清．】2．下列命题的逆命题为真命题的是 ( ) A．对顶角相等B．等边三角形是锐角三角形C．若x>y，则x2>y2D．能被5整除的数，它的末位数字是5【D 提示：A答案相等的角不一定是对顶角；B锐角三角形不一定是等边三角形；C当x、y是负数时,若x2>y2，则x<y．】3．下列定理有逆定理的是 ( ) A．对顶角相等B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．正方形的四个角都是直角【B 提示：A、C、D三个命题的逆命题都是假命题．】4．每一个命题都 (填“有”或“没有”)它的逆命题．【有】5．原命题成立，它的逆命题 (填“一定”或“不一定”)成立．【不一定】6．“如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别对应相等，那么这两个三角形全等”是命题．它的逆命题是．【假，全等三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等】7.判断下列命题的真假．(1)同位角相等；(2)9的平方根是3；(3)同角的余角相等；(4)三个连续自然数的积是6的倍数．解：(1)(2)假命题，(3)(4)真命题．点拨：根据定义，同位角是两条直线被第三条直线所截形成的位置相同的角，只有当这两条直线平行时才相等，故“同位角相等”是假命题．9的平方根是±3，因为(±3)2=9．故9的平方根有两个，故“9的平方根是3”是假命题．同角的余角都等于90°减这个同角，故是真命题．三个连续自然数中必有一个是2的倍数和3的倍数，故它们的积是6的倍数，故是真命题．8.指出下列命题中的互逆命题．(1)直角都相等；(2)同位角相等，两直线平行；(3)如果a+b>0，那么a>0，b>0；(4)两直线平行，同位角相等；(5)相等的角都是直角；(6)如果a>0，b>0，那么ab>0．分析：互逆命题的两个命题的条件与结论正好互换．因此分别说出各个命题的条件和结论，比较一下则易判断它们是否互为逆命题．解：(1)与(5)、(2)与(4)名师点睛：(3)与(6)不是互逆命题．由于(3)的条件不是(6)的结论．另外(5)虽然是假命题，但它条件和结论与(1)的条件和结论正好互换，因此是互逆的．10.【章末】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．(1)若ac2>bc2,则a>b；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0．则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下即可．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例．千万不能想当然．解：(1)逆命题为：若a>b，则ac2>bc2．假命题，如c=0时，ac2=bc2．(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．真命题．(3)逆命题为：若a=0,则ab=0．真命题．点拨：真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的．而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子．9.请用“ ”符号表述下面的证明过程．已知：点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．求证：∠l=∠2．证明：因为DE∥BC，EF∥AB(已知)，所以∠1=∠DEF，∠2=∠DEF(两直线平行，内错角相等)．所以∠1=∠2(等量代换)．解：改写如下：10．写出下面命题的逆命题，并判断其真假原命题真假性逆命题真假性(1)奥巴马是美国总统(2)如果x=l，那么x(x-1)=0(3)两个三角形全等则对应边相等(4)在一个三角形中，等边对等角(5)等边三角形是等腰三角形【】能力拓展题11．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图11．4—4)，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．”彬彬：“作△ABC的角平分线AD．”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．图11．4—4【 (1)只有等腰三角形具备“三线合一”性质，此题等腰三角形是求证部分，故过点A 只能作BC的垂线AD，垂足为D．(2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD =∠CAD，又因为∠B =∠C，AD = AD，所以△ABD≌△ACD，所以AB=AC．】12．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：(1)构造一个真命题，画图并给出证明；(2)构造一个假命题，举反例加以说明．【 (1)③④为条件时，此命题是真命题．如图答11．4—1所示：图答¨．4一l因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC = 180°．又因为∠BAD =∠DCB．所以∠DCB+∠ABC = 180°，所以AB∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．(2)②④为条件时，此时可以构成一梯形．】参考答案与点拨：。
勾股定理逆定理2
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那 么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
1.长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能 搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c, 且 c+a=2b, c – a= ( )
──
1 b,则三角形ABC的形状是 2
A
A 直角三角形 C 等腰三角形
B 等边三角形 D 等腰直角三角形
3.如果一个三角形的三边为a ,b ,c 满足 直角 a2+c2=b2,那么这个三角形是＿＿＿＿ 斜 三角形,其中 b边是＿＿＿边 ,
直 b边所对的角是＿＿＿角 . 4.工人师傅想要检测一扇小门两边 AB .CD 是否垂直于底边 BC,但他只带了一把卷尺,你 能替工人师傅想办法完成任务吗?
B
D
1000
C
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
A 解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
N 海天 R P
Q 远航
E
2.如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园 的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路 将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此公 路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
逆命题与逆定理(基础)知识讲解
逆命题与逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．【要点梳理】要点一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.要点诠释：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型一、互逆命题与互逆定理1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 .【答案】轴对称图形是等腰三角形【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法．【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念．举一反三：【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）．A.全等三角形的对应角都相等B.全等三角形的对应边都相等C.等腰三角形的两底角相等D.等边三角形的三边都相等【答案】A类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理2、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）．A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】D3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：类型三、角平分线性质定理及其逆定理4、（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【答案与解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．举一反三：【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）．①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．③②D．③④【答案】C5、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE=DF，然后由角平分线性质的逆定理，即可证得AD平分∠BAC．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．【总结升华】此题考察了角平分线性质的逆定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）．A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D。
湘教版解读-123互逆命题
**互逆命题1 课程标准层次要求认识：①互逆命题例1理解：②举反例说明假命题的方法例2掌握：③判断两个命题是否是逆否命题和求一个命题的逆命题的方法（重点）例1 、例3、例62教材知识全面解读知识点1 互逆命题意义举例互逆命题在两个命题中，如果第一个的条件是第二个命题的结论，而第二个命题的条件又是第一个命题的结论，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫另一个命题的逆命题．“若a b=，则a b=”的逆命题是“a b=，则a b=”．牢记解读：（1）互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数，互为相反数，互为余角，互为补角这些的含义类似．（2）原命题与逆命题是相对的，互逆命题是指两个命题之间的某种关系，这种关系体现在题设与结论的相互交换上．（3）每个命题都可以将它的条件和结论互换得到它的逆命题，因而每个命题都有逆命题．（4）写出一个命题的逆命题的方法：首先找出原命题的条件和结论，然后把结论作为条件，把条件作为结论就可以了．如：“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．互换题设与结论后是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，即“相等的角是对顶角”．拓展：每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题却不一定正确，原命题错误，逆命题不一定错误．巧记乐背互逆命题是两个命题之间的一种特殊关系，它们的条件、结论是互换的关系．基础题型一互逆命题【例1】给出下列命题：（1）直角都相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；（4）两直线平行，同位角相等；（5）相等的角都是直角；（6）如果a>0，b>0，那么ab>0，其中，互为逆命题的是：____________. 分析：根据逆命题的定义，只要找到条件和结论互换的两个命题即可．答案：（1）与（5）、（2）与（4）、（3）与（6）．方法点拨：判断互逆命题关键看在条件与结论有没有相互交换．变式练习：1．写出下列命题的逆命题：（1）两直线平行，内错角相等；逆命题是：_________________________. （2）如果a2=b2，那么a=b；逆命题是：__________________________. （3）内错角相等逆命题是：__________________________. 答案：（1）内错角相等，两直线平行；（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）相等的两角是内错角．知识点2 反例内容举例反例举出一个符合命题的条件但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题的例子称为反例．命题若xy=0,则x=0的反例是2x=，y=．牢记注意：数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．巧记乐背反例，反例，反驳的例子，也就是条件成立结论不成立的例子．基础题型二用反例说明命题是假命题【例2】举反例说明下列命题是假命题：①如果a+b>0，那么a>0,b>0；②两个锐角的和大于90°分析：找出满足条件且结论不成立的例子解：①a=5，b=－2时，有a+b=5＋（－2）=3，但b=－2＜0；②30°的锐角与40°的锐角有30°＋40°=70°＜90°．方法点拨：注意满足条件的例子有多种可能，要在这几种可能中找出符合条件且结论不成立的例子．变式练习：2．举反例说明若a＞b则a2＞b2的逆命题为假命题．解：若a＞b，则a2＞b2的逆命题为：若a2＞b2，则a ＞b，反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b．3 典型例题分类解读类型一逆命题的真假判断【例3】写出下列命题的逆命题，并指出其真假(1) 如果a2=b2，那么a=b；(2)对顶角相等．分析：先写出逆命题，再判断其真假．解：（1）如果a2=b2，那么a=b；的逆命题是：如果a=b，那么a2=b2．显然，其逆命题是真命题．(2) 对顶角相等的逆命题是相等的两角是对顶角，其逆命题是假命题，反例如下图的两个角∠AOB，∠BOC，尽管∠AOB=∠BOC，但∠AOB与∠BOC不是对顶角．图12-3-1方法点拨：解本题的前提是写对逆命题，再做出正确判断，注意运用恰当的反例来说明一个命题是假命题．要点总结：逆命题的真假情况与原命题的真假没有必然的联系，所以判断逆命题的真假步骤还是先写出逆命题，再判断其真假．变式练习3．下列定理中，逆命题不正确的是（）A．内错角相等，两直线平行；B．直角三角形中两锐角互余C．相反数的绝对值相等；D．同位角相等，两直线平行答案：C．类型二完成证明、寻找互逆命题【例4】已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．（1）求证：CD⊥AB；（2）在上面的证明过程中应用了哪个互逆的真命题？图12-3-2分析：由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．⑴证明：∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∵∠2=∠3（已知）∴∠3=∠DCB（等量代换），故CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠FHB=∠CDB（两直线平行，同位角相等），∵FH⊥AB（已知），∴∠FHB=90°（垂直的定义）∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB（垂直的定义）．⑵应用了“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”这两个真命题．方法点拨：本题关键是由角的关系与直线的位置关系互相转化以及等量代换等变换．要点总结：先判定平行再用平行的性质，要判定平行先找角的特殊关系．变式练习4．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE，求证：EF也是∠AED的平分线．图12-3-3证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义）；∵ED∥BC（已知），∴∠BDE=∠DBC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABD=∠BDE（等量代换）；又∵∠FED=∠BDE（已知），∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠AEF=∠ABD（两直线平行，同位角相等），∴∠AEF=∠DEF（等量代换），∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）．4 拓展创新能力提升类型三：平行线性质与判定的综合应用【例5】已知，如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试证明∠AED=∠C，分析：先利用补角性质证明∠2=∠4，于是EF∥AB，因而可得∠ADE=∠B，再由DE∥BC，证得∠AED=∠C．证明：∵∠1+∠2=180°（已知），又∠1+∠4=180°（补角的性质），∴∠2=∠4（同角的补角相等），∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），又∵∠3=∠B（已知），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．方法点拨：本题利用补角的性质证等角，从而证平行线，再利用平行线性质解决问题．易错点1 命题的真假性判断错误易错例1 下列说法中真命题的个数有（）（1）若a∥b，b∥c，则a∥c．（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．（3）相等的角是对顶角．（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．（6）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个常见错解：C．【误区分析】产生错解的原因是误以为“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是正确的，事实上，“两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等”是假命题，只有两条平行线被第三条直线所截取得的同位角才相等，（4）是假命题；而根据平行于同一直线的两条直线平行，（1）是真命题；∵如图：AB和CD不平行，∴（2）是假命题；∵在两条平行线被第三条直线所截的同位角相等，但不是对顶角，∴（3）错误；∵若在同一平面内，a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∴（5）假命题；如图：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE，∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE，∴∠NEF=12∠BEF，∠MFE=12∠CFE，∴∠MFE=∠NEF，∴EN∥FM，∴（6）是真命题．故选B．正解：B．易错点2 误以为原命题与逆命题的真假性是一致的易错例2 下列说法中，正确的是（）A．每个命题不一定都有逆命题；B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题仍是真命题；D．假命题的逆命题未必是假命题常见错解：C．【误区分析】误以为一个真命题的逆命题一定是真命题，一个假命题的逆命题一定是假命题．事实上，一个命题的真假与它逆命题的真假并无相关性，如命题“同位角相等，两直线平行”原命题和逆命题都是真命题；命题“对顶角相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题；命题“同位角相等”，原命题与逆命题都错误．另外，每个定理的都是真命题，它的逆命题也可能是真命题，也可能是假命题，既是逆命题是真命题，并不一定把逆命题作为定理，故选D．正解：D．6 3年中考3年模拟中考命题方向本节内容在中考中以考察逆命题知识的题目较少，常以填空题、选择题形式出现，在今后的中考中，这部分知识大约考0-3分． 中考典型习题考点一 命题与逆命题真假判断1．(2012•内蒙古包头)已知下列命题：①若a ≤0，则｜a ｜=-a ②若ma 2>na 2，则m >n ; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点二 写出逆命题 2．（2011•凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：考点三 平行线性质与判定的综合应用 3．（2012•恩施州）如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1=50°，则∠2等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．90°参考解答：1、B 分析：四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若｜a ｜=－a ，则a ≤0，也为真命题；②的逆命题为：若m >n ，则ma 2>na 2，是假命题，当a =0时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，这是个假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立。
高中数学人教A版选修(1-1) 1.1 教学课件 《四种命题》(人教A版)
第一章· 常用逻辑用语
四种命题
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知识框架
四种命题的概念
互逆命题 互否命题 逆否命题
四种命题的概念
四种命题
紧密高考
四种命题的真假判 断
课堂小结
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情景引入
阿凡提之《金币与毛驴的故事》中，有一天，财主想 要阿凡提的毛驴但又不想给金币，就对阿凡提说：“你给 我毛驴，我就给你金币”．阿凡提回答到：“你给我金币 ，我就给你毛驴”。狡猾的财主说：“你不给我毛驴，我 就不给你金币”，阿凡提想了想说：“你不给我金币，我 就不给你毛驴”。
想想故事的结局如何呢？
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请同学们回顾上一节课学习过的内容： 1、什么叫做命题？ 2、命题可以分为几类？什么叫真命题？什么叫 假命题？如何判断一个命题的真假性？ 3、命题的构成是什么？有什么形式？
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下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、 （3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系 ？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1 A．若 a＋b≠1，则 a2＋b2< 2 1 C．若 a2＋b2< ，则 a＋b≠1 2
[解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ]
1 1 命题“若 a＋b＝1，则 a2＋b2≥ ”的逆否命题是“若 a2＋b2< ，则 a 2 2
＋b≠1”，故选 C．
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勾股定理及逆定理
勾股定理逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理(1)互逆命题：一般的如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。
(2)互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称为原定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。
注意：（1）互逆命题是两个命题形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题。
但是当原命题成立时，它的逆命题不一定成立。
（2）每一个定理都是一个命题，它有逆命题，当且仅当这个逆命题经过证明是正确的时候，即也是一个定理的时候，才能称为原定理的逆定理。
当这个逆命题不成立的时候，原定理没有逆定理。
知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345【变式练习】1、以下列各组数作为三角形的三边，其够组成直角三角形的是（ ）A ．6，7，8B ．5，6，7C ．4，5，6D ．5，12，13例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】2、已知在△ABC 中，AB ：BC ：CA=1:3ABC 是否是直角三角形。
1.1.2 命题的四种形式
得出矛盾 第三步 由矛盾可判定假设﹁q是错误的，从而
肯定命题的结论是正确的。 练习：求证：若x 2 y2 0, 则x y 0
作业：P8 2，6
1.1.2 命题的四种形式
命题的四种形式
例如：
(1)原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
若p ,
则q
(2)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
若q ,
则p
可以看到，(1)与(2)中的条件p和结论q互相交换了 例：同位角相等，两直线平行
逆命题：两直线平行，同位角相等
(3)否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似 即同时否定了原命题的条件和结论，“若﹁p，则﹁q”.
们在证明某一个命 题为真 命 题 时, 可 以 通 过 证 明 它 的 逆 否 命 题 为 真 命 题, 来 间 接 地证明原命题为真命题.
例4 证明: 若 p2 q2 2,则 p q 2. 分析 将"若 p2 q2 2,则p q 2"视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆
3;
2
逆命题 若sin 3 ,则 600
2
否命题 若 600，则sin
3
逆否命题 若sin
3
, 则
2 60 0
(2)原命题
2
设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
否命题 设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 若ab 0, 则a 0且b 0 假 否命题 若a 0或b 0, 则ab 0 假 逆否命题 若ab 0, 则a 0或b 0 真 小结：若原命题为真时，逆命题不一定为真，否命题也
四种命题之间的相互关系
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若? p 则? q 逆否命题：若? q 则? p
？ 观察与思考
1）若f (x)是正弦函数，则 f (x)是周期函数。 2）若f (x)是周期函数，则 f (x)是正弦函数。 3）若f (x)不是正弦函数，则 f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则 f (x)不是正弦函数。
例：证明：若p 2 +q2 =2,则p+q ? 2
巩固练习；P 9练习
小结：
1、本节内容： （1）四种命题的关系 （2）四种命题的真假关系
(3) 一种思想
作业：P 10 A组 3（2）、4
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
）个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假）
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0 ，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
（真） （真）
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
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§12.3互逆命题(1)
科目：初一数学执笔者：王薇审核人：初一数学组时间：2016年5月
班级_ ___ 姓名__ ____
学习目标：1、了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2、知道反例的概念，能用举反例的方法说明一个命题是假命题。
一、课前自主学习
1、①命题“内错角相等，两直线平行”的
条件是____ __ __，结论是________ _ 。
②命题“两直线平行，内错角相等”的
条件是____ _____ __，结论是________ _ 。
③命题“两个数是正数，这两个数的差是正数”的
条件是____ _____ __，结论是________ _ 。
④命题“两个数的差是正数，这两个数是正数”的
条件是____ __ __，结论是________ _ 。
2、阅读课本P157，解决下列问题.
（1）如果第一个命题的条件是第二个命题的_______ ，而第一个命题
的结论又是第二个命题的_______ ，那么这两个命题叫做互逆命
题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
把一个命题的条件和结论互
换就得到它的逆命题，所以每个命题都有。
例如：上面①与②是互逆命题，③与④是互逆命题。
3、命题“如果a>b , 那么a2>b2”正确吗？
下面用举反例的方法说明命题“如果a>b , 那么a2>b2”是假命题
反例：a=1,b= -3。
“a=1，b= -3”符合命题的条件(a>b)，
但不符合命题的结论(a2>b2) 。
注意：数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个就行了。
4、思考：原命题成立，它的逆命题一定成立吗？请举一个例子
5、尝试解题
（1）把下列命题先写成“如果…那么…”的形式，再写出下列命题的逆命题，并在括号
内指出它们是真命题还是假命题。
①对顶角相等。
如果 那么
逆命题： （
）
②正方形的4个角都是直角。
如果 那么
逆命题： （
）
③直角三角形的两个锐角互余。
如果 那么
逆命题： （
）
④两个互为倒数的数积为1。
如果 那么
逆命题： （
）
（2）举反例说明下列命题是假命题：
① 任何数的平方大于0
② 若。
则0,0=+=b a ab
二、课内互动学习班级姓名
（一）检查与建构
（1）把下列命题先写成“如果…那么…”的形式，再写出下列命题的
逆命题，并在括号内指出它们是真命题还是假命题。
①自然数是整数
如果那么
逆命题：（）
②内错角相等
如果那么
逆命题：（）
③互为相反数的两个数和为零
如果那么
逆命题：（）
④奇数都是质数
如果那么
逆命题：（）
（二）深度探究
问题1：把下列命题先写成“如果…那么…”的形式，再写出下列命题的逆命题，并在括号内指出它们是真命题还是假命题。
(1)若ac2＞bc2，则a＞b；
如果那么
逆命题：（）
(2)在△ABC中，如果∠A是钝角，那么∠B和∠C是锐角；
如果那么
逆命题：（）
(3)若2a是有理数，则a是有理数；
如果那么
逆命题：（）
问题2：说明下列命题是假命题。
①如果︱a︱=︱b︱，那么a=b
②如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角一定相等。
（三）当堂检测
（1）把下列命题先写成“如果…那么…”的形式，再写出下列命题的逆命题，并在括号内指出它们是真命题还是假命题。
①两个互余的角不相等。
如果那么
逆命题：（）
②末位数字是5的数，能被5整除。
如果那么
逆命题：（）
（2）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②锐角和钝角互为补角③直角都相等；④两个互余的角不相等。
它们的逆命题是真命题的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）举反例说明下列命题是假命题。
①一个角的补角一定大于这个角。
②等腰三角形一定是锐角三角形。
湖塘实验中学初二数学教学案系列no.6。