同济高数第5章课件第1节

设某物体作直线运动， 已知速度v=v(t)是时间间隔 设某物体作直线运动， 已知速度 是时间间隔
[T1 , T2 ] 上的一个连续函数， 且 v ( t ) ≥ 0 上的一个连续函数，
求物体在这段时间内所经过的路程
τi
t0 t1 t i −1 t i tn
（1）分割 ）
T1 = t0 < t1 < t 2 < ⋅ ⋅ ⋅ < t n−1 < t n = T2
四、定积分的几何意义
(1) f ( x ) > 0,
( 2 ) f ( x ) < 0,
∫a f ( x )dx = A
y
b
∫a f ( x )dx = − A
y a b x
b
ya 曲边梯形的面积
y = f (x)
曲边梯形的面积的负值
(3)一般情况： 一般情况： 一般情况
y
( 2)在每个小区间 [ xi −1 , xi ]
上任取一点 ξ i， [ xi −1 , xi ] 以 为底， 为底，f (ξ i ) 为高的小矩
形面积为 Ai = f (ξ i )∆xi
o
a
x1
n
xi −1ξixi
xn−1b
x
(3)曲边梯形面积的近似值为 A ≈ ∑ f (ξi )∆xi 曲边梯形面积的近似值为
积分和
[a , b] 积分区间
注意：积分值仅与被积函数及积分区间有关， 注意：积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关. 而与积分变量的字母无关
b b b
∫a f ( x )dx = ∫a f (t )dt
= ∫ f ( u)du
a
三、存在定理
上连续， 定理1 若 f(x) 在 [a,b] 上连续， 定理1 上可积。 则 f(x) 在 [a,b] 上可积。 上有界， 定理2 若 f(x) 在 [a,b] 上有界， 定理2 且至多有有限个第一类间断点， 且至多有有限个第一类间断点， 上可积。 则 f(x) 在 [a,b] 上可积。
二、定积分的定义
上有界， ） 在 上有界 定义 设函数 f (x)在[a, b]上有界，（1）用分点
a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b 将 [a,b] 分成 n 个
小区间， 小区间，其长度分别为 ∆x i = x i − x i −1 ( i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅)
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
(1)在区间 [a , b ] 内插入分点 a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b, 把区间 [a , b] 分成 n
个小区间 [ xi −1 , xi ] 长度为 ∆xi = xi − xi −1 ;
∆ t i = t i − t i −1
（2）近似 ） （3）求和 ） （4）取极限 ）
∆ si ≈ v ( τ i ) ∆ t i
s ≈ ∑ v ( τ i )∆t i
i =1
n
λ = max{∆t1 , ∆t 2 ,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }
n λ →0 i =1
路程的精确值 s = lim ∑ v ( τ i )∆t i
( 2) ∀ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] ( i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n)
n i =1
作乘积 f (ξ i )∆xi
(3)并作和 S = ∑ f (ξ i )∆xi 记 λ = max{∆x1 , ∆x2 ,⋅ ⋅ ⋅, ∆xn } 并作和 的任意分法， （4）若对 b]的任意分法，及点 ξ i 的任意取法 ）若对[a, 的任意分法
第五章 定积分
第一节 定积分的概念
一、问题的提出
实例1 实例1 求由连续曲线
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0)
x 轴与直线 x = a、 x = b 所围成的曲边梯形面积
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
∫a f ( x )dx
b
是介于x 曲线y=f (x)及直线 是介于 轴、曲线 及直线
x=a、x=b之间的各部分面积的代数和， 在x轴 之间的各部分面积的代数和， 之间的各部分面积的代数和 轴 上方的面积取正号， 轴下方的面积取负号。 上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号。 轴下方的面积取负号
+
当 λ → 0 时，和S 总趋于确定的极限 I ，
则称此极限I 则称此极限 为函数 f (x) 在区间 在区间[a,b]上的定积分， 上的
积分上限
记为
积分下限
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ →0
i =1
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
i =1
(4)当分割无限加细，即小区间的最大长度 当分割无限加细， 当分割无限加细
λ = max{∆x1 , ∆x2 ,⋅ ⋅ ⋅, ∆xn }趋近于零 (λ → 0) 时，
曲边梯形面积为 A = lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
n
实例2 （求变速直线运动的路程） 实例2 求变速直线运动的路程）
−
+
−