2018届二轮计数原理与古典概率专题卷(全国通用)

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2018届二轮(理)算法初步、推理与证明、数系的引入专题卷(全国通用)

2018高考数学（理）周末培优训练19（算法初步、推理与证明、数系的.引入）含解析第19周算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入（测试时间：40分钟，总分：70分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共11小题，每小题4分，共44分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1BD 【答案】D故选D.2．设a ∈R ，若()2i i a -（为虚数单位）为正实数，则a = A ．2 B ．1 C ．2-D ．1-【答案】B3．已知()1iz +⋅=（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】)i 1z ==+=，所以复数所对应的点为，在第一象限，故选A.4．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =A ．7B ．10C ．13D ．16【答案】D5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中可填A ．4?k ≤B ．3?k ≥C ．3?k ≤D ．4?k >【答案】B【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：0210225,,,,s a k S a ====+==，进行条件判断，否； 278,,k S a ===，进行条件判断，否；31511,,k S a ===，进行条件判断，是，此时结束循环，输出结果S =15，当 k =1，k =2时，条件不成立，k =3时条件成立，所以判断框里填3?k ≥，故选B. 6．我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想.如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入110011,2,6a k n ===，则输出b 的值为A ．19B ．31C ．51D ．63【答案】C【解析】按照程序框图执行，b 依次为0，1，3，3，3，19，51，故输出51b =.故选C. 7．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理 A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的【答案】A【解析】0的绝对值等于0，不大于0，大前提错误．8．我们知道：“平面中到定点等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知()()1,0,0,1,0,0A B -，则点集(){,,|1}P x y z PA PB -=在空间中的轨迹描述正确的是A ．以,AB 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B ．以,A B 为焦点的椭球体C ．以,A B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D ．以上都不对【答案】C【解析】由特殊到特殊进行类比推理可得：点集(){,,|1}P x y z PA PB -=在空间中的轨迹描述正确的是以,A B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面.本题选择C 选项.9．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下. 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 A ．甲、乙 B ．甲、丙 C ．乙、丁D ．甲、丁【答案】B【解析】由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符，所以乙说假话，小偷不是丙，同时丁说的也是假话，即甲、丙说的是真话，小偷是乙，选B.10．已知若333331+2+3+4++=3025n ，则n =A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】CC ．11．①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数， ()2f x x ax a =++，求证()1f 与()2f 中至少有一个不小于12，用反证法证明时可假设()112f ≥，且()122f ≥，以下说法正确的是 A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【解析】根据反证法的相关知识知，①正确，②错误，②应该是()1f 与()2f 都小于12，故选C. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 12．设复数121i,34i z z =-=+，其中是虚数单位，则12z z 的模为__________.【解析】由题意可得：15z ===，结合复数的运算性质可得：1122z z z z ==. 13．已知复数z 满足：()2i 3i z +=- (为虚数单位) ，则复数z 的共轭复数z =__________.【答案】1i +14．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：=⨯+892441=⨯+442220=⨯+222110=⨯+11251=⨯+5221=⨯+2210=⨯+1201把以上各步所得余数从下到上排列，得到.这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为进制数的方法，称为“除取余法”，那么用“除取余法”把89化为七进制数为__________.【答案】【名师点睛】本题旨在考查合情推理中的类比推理及迁移新概念，运用新信息的创新意识与创新能力的综合运用.求解时，充分借助题设条件，类比二进制的确定方法，从而使得问题巧妙获解.15．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入__________.（用图中字母表示）【答案】Mq M N=+【解析】此框图是用来计算及格率的，易知M 为及格人数，N 为不及格人数，所以空白框中应填入Mq M N=+ .三、解答题（本大题共1小题，共10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知数列{}n a 是等差数列，且1a ，2a ，3a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数．（1）求1(1)2mx +展开式的中间项；（2）当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++ 与13的大小．【答案】（1）4358x ；（2）212111113n n n n a a a a ++++++>（2）由（1）知，32n a n =-，当2n =时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=> ，当3n =时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++ 11111117101316192225=++++++ 1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++ 133131181632816163=++>++>，猜测：当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++> ，以下用数学归纳法加以证明：①3n =时，结论成立，②设当n k =时，212111113k k k k a a a a ++++++> ，则1n k =+时，21(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++ 22221(1)1(1)212(1)111111111()()k k k k kk k k k a a a a a a a a a ++++++++=+++++++++- 22212(1)11111()3kk k k a a a a +++>++++- 2121133(1)232k k k +>+-+-- 22221(21)(32)[3(1)2]13733[3(1)2](32)3[3(1)2](32)k k k k k k k k k +--+---=+=++--+--，由3k ≥可知，23730k k -->，所以21(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> ，综合①②可得，当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++> ．。

2018届二轮数学随机变量及其分布列专题卷(全国通用)

数（理十六）随机变量及其分布列一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设随机变量其中,,a b c 成等差数列，若()3E X =，则()D X 的值是( ) A. 59 B. 58 C. 38 D. 792．已知三个正态分布密度函数（R ∈x ，1,2,3i =）的图象如图所示，则( ) A ．321μμμ=<,321σσσ>= B ．321μμμ=>,321σσσ<= C ．321μμμ<=,321σσσ=< D ．321μμμ=<,321σσσ<=3．设非零常数d 是等差数列1239,,,,x x x x L 变量X 可能地取值1239,,,,x x x x L ，则方差DX =( )A ．2103d B ．2203d C ．210d D ．26d 4．则2EX =的充要条件是( ) A.12P P = B. 23P P = C. 13P P = D. 123P P P == 5．为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同参加足球射门比赛，已知每名同踢进的概率均为0.6，每名同有2次射门机会，且各同射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X 为10个同的得分总和，则X 的数期望为( ) A. 30 B. 40 C. 60 D.806．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）A. 906B.1359C.2718D. 34137．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，若X 的数期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是( )A. 7(0,)12 B. 7(,1)12 C. 1(0,)2 D. 1(,1)28．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水临时，设备会受损，损失费为30000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水临将损失15000元，大洪水临将损失30000元．以下说法正确的是( )A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算9．如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a ，落在圆盘中2分处的概率为b ，落在圆盘中0分处的概率为c ，(,,(0,1))a b c ∈，已知旋转一次圆盘得分的数期望为1分，则213a b+的最小值为( ) A ．323 B ．283C ．143D ．16310．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，方多2分或打满6为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望()E X 为( ) A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．67024311．已知102a <<，随机变量X 的分布如下：当a 增大时，有( A. ()E X 增大，()D X 增大 B. ()E X 减小，()D X 增大 C. ()E X 增大，()D X 减小 D. ()E X 减小，()D X 减小12．设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =.随机变量1X 取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的概率均为0.2，随机变量2X 取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512xx +的概率也均为0.2，若记()1D X ，()2D X 分别为1X ，2X 的方差，则( )A. ()()12D X D X <B. ()()12D X D X =C. ()()12D X D X >D. ()1D X 与()2D X 的大小不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设随机变量X 的分布列为()()1cP X k k k ==+（c 为常数），1,2,3,4k =，则()1.5 3.5P k <<=__________．14．设随机变量()~2,X B p ，()~3,Y B p ，若()7116P X ≥=，则()2P Y ==_______． 15．若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，设2~(,)N ξμσ，且()30.1587P ξ≥=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上有四个点到直线1250x y c -+=的距离1，则实数c 的取值范围是__________．16．赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金（单位：元），若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E E ξη-=__________（元）．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）为调查高中生的数成绩与生自主习时间之间的相关关系，一位数教师对新入的45名生进行了跟踪调查，其中每周自主做数题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，为“高中生的数成绩与生自主习时间有关”；（Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组生中抽取9名生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的生中随机抽取20人，求这些附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．（12分）测得,A B 两类蠓虫各3只的触角和翅膀的长度)(cm 数据如下两表：（Ⅰ）在所给6只蠓虫中任取一只，设取到蠓虫的触角长与翅膀长之和为X ，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅱ）两表中数据),(y x 的散点图（如图）中存在直线l 将,A B 两类的点分开．试利用最小二乘法思想确定直线l 的方程，并判定,A B 类中的一只触角长为35.1cm 且翅膀长为20.1cm 的蠓虫属于哪一类？19．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选 4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数期望()E ξ；（Ⅲ）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20．（12分）某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理,处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为()01p p <<.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标,则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验；方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.（Ⅰ）若p =求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；（Ⅱ）若p =现有4个A 级水样本需要化验,请问：方案一,二,四中哪个最“优”？（Ⅲ）若“方案三”比“方案四”更“优”,求p 的取值范围.21．（12分）某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经对本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60 的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为(0)x x ≥千万元，投资远洋捕捞队的资金为(0)y y ≥千万元．（Ⅰ）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润X 的分布列和数期望EX ．（Ⅱ）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．试用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．22．（12分）如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（Ⅰ）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（Ⅱ）求X 的分布列和数期望．2017-2018 年度南昌市高三第一轮复习训练题数 (理十六)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．516； 14. 964； 15. (13,13)-； 16. 3 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解析】（Ⅰ）∵()224515161047.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数成绩与生自主习时间有关”（Ⅱ）（ⅰ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人，X 的可能取值为0,1,2,3,4.()4164200C P X C ==， ()334164201C C P X C ⋅==， ()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==， ()444204C P X C ==. （ⅱ）设从全校大于等于120分的生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，由题意可知()~20,0.6Y B ，故()12E Y =，() 4.8D Y =.18．【解析】（Ⅰ）X 的所有可能的取值为：2, 2.1, 2.3, 2.4．611)2(16===C X P ， 31)1.2(1612===C C X P ， 31)3.2(1612===C C X P ，611)4.2(16===C X P ，所以X 的分布列为所以11112 2.1 2.3 2.4 2.26336EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）设直线l 的方程为：bx a y +=．因1.1=x ，1.1=y ，617.28,67.26,i ii x yx y ===∑62217.3,67.26i i x x ===∑，有61622160.56i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑，从而55.0=-=x b y a ．所以直线l 的方程为x y 5.055.0+=．对A 类蠓虫，点),(y x 在直线l 的上方；B 对类蠓虫，点),(y x 在直线l 的下方．将20.1,35.1==y x 代入l 方程，有225.135.15.055.020.1=⨯+<，所以此蠓虫属于B 类．19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=，故抽取的生答卷数为：6600.1=，又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2，所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=，所以18a =.180.0156020c ==⨯.（Ⅱ）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人.所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======. ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()22218320121512101214217D ξ=-⨯+-⨯+-⨯ ()2451235+-⨯()2101216210+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.20．【解析】（Ⅰ）该混合样本达标的概率是245=；所以根据对立事件原理，不达标的概率为41155-=．（Ⅱ）方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由（1）知，每组两个样本的检测时，若达标则检测次数为1，概率为45；若不达标则检测次数为3，概率为15．故方案二的检测次数2ξ，2ξ可能取2，4，6．概率分布列如下，可求得方案二的期望为()216817024625252525E ξ=⨯+⨯+⨯=，方案四：混在一起检测，记检测次数为4ξ，4ξ可取1，5．概率分布列如下，可求得方案四的期望为()41696115252525E ξ=⨯+⨯=．比较可得()()424E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．（Ⅲ）方案三：设化验次数3η，3η可取2，5．()()333325153E p p p η=⋅+-=-；方案四：设化验次数4η，4η可取1，5．()()444415154E p p p η=⋅+-=-；由题意得()()34E E ηη<34353544p p p ⇔-<-⇔<．故当304p <<时，方案三比方案四更“优”． 21．【解析】（Ⅰ）随机变量X 的可能取值为0.6,0,0.3y y -，随机变量X 的分布列为∴EX =由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为0.30.20.5(0.1)0.20.50.10.2 1.00.30.2 2.00.50.2 1.00.20-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以本地养鱼场的年利润为0.20x 千万元. 所以明年两个项目的利润之和为0.20.3z x y =+作出不等式组①所表示的平面区域如右图所示，即可行域. 当直线0.20.3z x y =+经过可行域上的点M 时，截距3.0z最大，即z 最大. 解方程组6,1.2x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩，所以z 的最大值为0.2020.304 1.6⨯+⨯=千万元．即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元22．【解析】（Ⅰ）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=．（Ⅱ）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++()()()()()()()()()123123123222P A P B P B P B P A P B P B P B P A +++()()()12313227P C P A P A +=第 11 页共 11 页 ()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==，所以的分布列为：所以X 的数期望为()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

2018届高考理科数学二轮复习《概率与统计》检测试卷及答案解析

课时跟踪检测（二十）概率与统计1．(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x (元/kg)1015202530日需求量y (kg)1110865(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .2．(2018届高三·广西五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116错误!i ＝9.97，s ＝错误!＝错误!≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)报考“经济类”不报考“经济类”总计男62430女14620总计203050(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布列及数学期望．附：P(K2≥k0)0.10.050.010.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2，其中n＝a＋b＋c＋d.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：x 258911y1.210.80.80.7(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545.定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退155152817休”的人数(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2，其中n＝a＋b＋c＋d.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)课时跟踪检测（二十）概率与统计1．(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x (元/kg)1015202530日需求量y (kg)1110865(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .解：(1)由所给数据计算得x ＝15×(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，错误!(x i －x )2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，错误!(x i －x )(y i －y )＝(－10)×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80.b ^＝错误!＝－80250＝－0.32.a ^＝y －b ^x＝8＋0.32×20＝14.4.所求线性回归方程为y ^＝－0.32x ＋14.4.(2)由(1)知当x ＝40时，y ^＝－0.32×40＋14.4＝1.6.故当价格x ＝40(元/kg)时，日需求量y 的预测值为1.6kg.2．(2018届高三·广西五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．解：设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，12)．依题意知，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12，所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝512.即此人到达当日空气重度污染的概率为512.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14，P (X ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212＝16，P (X ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212＝16，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－14－16－16＝512，或P (X ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 10)＝512所以X 的分布列为：X 0123P145121616故X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×512＋2×16＋3×16＝54.3．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116错误!i ＝9.97，s ＝错误!＝错误!≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974.0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为EX ＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为u ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.错误!2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1591.134－9.222－2因此σ的估计值为0.008≈0.09.4．(2017·沈阳模拟)为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)报考“经济类”不报考“经济类”总计男62430女14620总计203050(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布列及数学期望．附：P (K 2≥k 0)0.10.050.010.001k 02.7063.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由表中数据得，K 2的观测值k ＝50×(6×6－24×14)230×20×20×30＝50×300230×20×20×30＝12.5>10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关．(2)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为P ＝2050＝25，X 的可能取值为0,1,2,3，由题意，得X ～P (X ＝k )＝C －k(k ＝0,1,2,3)，∴P (X ＝0)＝27125，P (X ＝2)＝C 23×35＝36125，P (X ＝3)＝8125，故随机变量X 分布列为：X 0123P2712554125361258125∴随机变量X 的数学期望E (X )＝3×25＝65.5．(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：x 258911y1.210.80.80.7(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545.解：(1)x ＝15×(2＋5＋8＋9＋11)＝7，y ＝15×(1.2＋1＋0.8＋0.8＋0.7)＝0.9.错误!2i ＝4＋25＋64＋81＋121＝295，错误!i y i ＝2.4＋5＋6.4＋7.2＋7.7＝28.7，∴b ^＝错误!＝28.7－5×7×0.9295－5×72＝－2.850＝－0.056，a ^＝y －b ^x＝0.9－(－0.056)×7＝1.292.∴线性回归方程为y ^＝－0.056x ＋1.292.(2)∵b ^＝－0.056＜0，∴y 与x 之间是负相关．当x ＝6时，y ^＝－0.056×6＋1.292＝0.956.∴该店当日的营业额约为9560元．(3)样本方差s 2＝15×(25＋4＋1＋4＋16)＝10，∴最低气温X ～N (7,3.22)，∴P (3.8＜X ≤10.2)＝0.6827，P (0.6＜X ≤13.4)＝0.9545，∴P (10.2＜X ≤13.4)＝12×(0.9545－0.6827)＝0.1359.∴P (3.8＜X ≤13.4)＝P (3.8＜X ≤10.2)＋P (10.2＜X ≤13.4)＝0.6827＋0.1359＝0.8186.6．(2018届高三·张掖摸底)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充2×2列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K2的观测值k＝100×(35×5－45×15)250×50×80×20＝6.25＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)①抽到1人是45岁以下的概率为68＝3 4，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为C16C12C28＝37，故所求概率P＝3734＝47.②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．所以X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C26C28＝15 28，P(X＝1)＝C16C12C28＝1228＝37，P(X＝2)＝C2C28＝1 28 .故随机变量X的分布列为：X012P152837128所以E(X)＝1×37＋2×128＝12.。

备战2018高考数学二轮复习1.7 计数原理与古典概率教学案

专题1。

7 计数原理与古典概率【考情动态】概率与古典概型算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算。

了解条件概率的概念。

2.了解概率与频率概念,理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率。

理12；2014•浙江文14。

【热点重温】热点一计数原理与排列与组合【典例1】【2016全国甲理5改编】如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为。

A。

24 B。

C。

12 D。

9【答案】18【解析】从E F→的最短路径有6种走法，从F G→的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法．【对点训练】春节期间已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9a b∈，log au b=，则u的不同取值个数为_________.【答案】54【典例2】【2017课标II改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有。

A．12种B．18种C．24种D．【答案】36种【解析】由题意可得，一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份:有24C种方法,然后进行全排列33A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A⨯=种方法。

【对点训练】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修,且A，B不选修同一门课，则不同的选法有（）A. 36种B。

72种C。

30种 D. 66种【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C=种选法，减去A B、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A种选法,利用分步计数原理有33530A=种不同选法。

选C 。

【典例3】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．(用数字作答）【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法,其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有:411411843643660CC C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．【对点训练】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生,乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是（）A. 18B. 24 C 。

(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.7概率与统计测试卷文

专题1.7 概率与统计（一）选择题（12*5=60分）1．如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（） A ．685B ．695C ．14D ．715【答案】D2．已知{}0 1 2a ∈，，，{}1 1 3 5b ∈-，，，，则函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，上为增函数的概率是（） A.512 B.13 C.14 D.16【答案】B【解析】①当0a =时，()2f x bx =-，情况为 1 1 3 5b =-，，，符合要求的只有一种1b =-； ②当0a ≠时，则讨论二次函数的对称轴22b b x a a -=-=要满足题意则1ba≤产生的情况() a b ，表示： ()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，为增函数的概率为：41123P == 3．【2018湖南五市十校联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（） A.13 B. 49 C. 59 D. 23【答案】A【解析】设齐王的三匹马分别记为a 1,a 2,a 3,田忌的三匹马分别记为b 1,b 2,b 3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1, b 1)、(a 1, b 2)、(a 1, b 3)、(a 2, b 1)、(a 2, b 2)、(a 2, b 3)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2) 、(a 3, b 3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a 2, b 1)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2)共3种,则田忌获胜的概率为3193=，故选：A. 4．【2018湖南株洲两校联考】在区间[]0,π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（）A. 23B. 12C. 13D. 16【答案】C【解析】根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到1sin 2x ≤5|066x x x πππ⎧⎫⇒≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭或，根据几何概型判断，概率为： 13.3ππ=5．已知函数()sin 3cos f x x x =+，当[]0,x π∈时，()1f x ≥的概率为（） A ．13 B ．14 C.15 D ．12【答案】D6．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ，则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为（） A ．29 B ．13 C ．49 D ．14【答案】A【解析】集合,A B 中各有三个元素，随机选取(,)a b ，所有可能有9种，直线0ax y b -+=是不经过第四象限时，0a >且0b >，满足条件的(,)a b 有(2,1),(2,3)两种，则直线0ax y b -+=是不经过第四象限的概率为29P =． 7．统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为（）A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3 【答案】D【解析】频率即小长方形的面积，3000.0010.3⨯=.8．根据如下样本数据得到的回归方程为$y bx a=+，若 5.4a=，则x每增加1个单位，y就（）A．增加0.9个单位 B．减少0.9个单位 C．增加1个单位 D．减少1个单位【答案】B9．【2018江苏南宁摸底联考】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A. 100，20B. 200，20C. 200，10D. 100，10【答案】B【解析】由图可知总学生数是10000人，样本容量为10000=200人，高中生40人，由乙图可知高中生近视率为，所以人数为人，选B.10．从标有数字1，2，3的三个红球和标有数字2，3的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同．．．．的概率为（）A．15B．25C．35D．45【答案】B11．已知函数()214xf x x=--，若在区间()0,16内随机取一个数x，则()00f x>的概率为（）A．14B．13C.23D．34【答案】D【解析】在同一坐标系中作出函数2xy=与y x=，如图所示，则由图可知，两个函数的图象交点为(4,16)，则在(0,16)内()0f x>时，(4,16)x∈，所以()0f x>的概率为123164P==，故选D．12．【2018黑龙江海林朝鲜中学一模】已知P是ABC∆所在平面内一点，且20PB PC PA++=u u u v u u u v u u u v v，现将一粒黄豆随机撒在ABC∆内，则黄豆落在PBC∆内的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】C【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB Pc PD→+→=→,∵2PC PB PA→+→+→=→,∴2PB PC PA→+→=-→，得PD→=﹣2PA→，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=PBCabcSS=12，故选C（二）填空题（4*5=20分）13．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为．【答案】51814．【广东省化州市2018届第二次高考模拟】如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．【答案】8π【解析】设正方形的边长为()20a a >，则黑色部分的面积为： 212S a π=⨯⨯阴，结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为： 22248a p a ππ==.15．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为______．【答案】13【解析】抽取的所有能有)2,3(),1,3(),3,3(),3,2(),1,2(),2,2(),3,1(),2,1(),1,1(共九种,其中)3,3(),1,2(),2,1(的数字之和都是3的倍数,所以两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为3193==P ,故应填答案13. 16．已知函数()cos,3a f x x a π=等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则()y f x =在[]0,4上有偶数个零点的概率是 _________. 【答案】13（三）解答题（10+5*12=70分）17． 2016年10月16日，习主席在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注；调查的“70后”有10人不关注，其余的全部关注．（1）根据以上数据完成下列22⨯列联表：关注不关注合计 “80后” “70后” 合计（2）根据22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）．附表：20()P K k ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001【解析】（1）22⨯列联表：关注不关注合计 “80后” 80 40 120 “70后” 70 10 80 合计15050200（2）根据列联表计算22200(80104070)11.1115015012080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯10.828>．对照观测值得：能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“关注”与“不关注”与年龄有关． 18．【2018黑龙江齐齐哈尔八中二模】某小学为了解本校某年级女生的身高情况，从本校该年级的学生中随机选出100名女生并统计她们的身高（单位： cm ），得到下面的频数分布表：（1）用分层抽样的方法从身高在[)125,130和[]140,145的女生中共抽取6人，则身高在[)125,130的女生应抽取几人？（2）在（1）中抽取的6人中，再随机抽取2人，求这2人身高都在[)125,130内的概率.19．【2018湖南五校联考】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日期1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x(°C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y(个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程；(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: )参考数据：1092，49820．【2018衡水联考】为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组： [)0,5， [)5,10， [)10,15，[)15,20， [)20,25， []25,30，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．21．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区A B C数量50 150 100（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．22．【2018河南名校联考】为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；（2）若从乙地被抽取的8名观众中邀请2人参加调研，求参加调研的观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上（含90分）的概率.【解析】（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是，乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是. （2）依题意，从8人中任选2人，包括：，，，共28种选法，其中满足条件的有12种，所以所求概率为.。

2018届高考数学二轮复习专题检测(十八)概率与统计随机变量及其分布列理

专题检测（十八）概率与统计、随机变量及其分布列A 卷——夯基保分专练一、选择题1．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 根据随机变量ξ的分布列可知b ＋0.1＋0.4＝1，所以b ＝0.5.又E (ξ)＝0.5×a ＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝4.2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.3．(2017·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B.13 C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P (A |B )＝24108＝29.4．(2017·惠州三调)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )A.13 B.14 C.15D.16解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌获胜的概率为13.5．(2017·西安八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤x 2的概率为( )A.12 B.13 C.23D.34解析：选 B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4表示的平面区域的面积为2×4＝8，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4，y ≤x 2表示的平面区域的面积为⎠⎛02x 2d x ＝13⎪⎪⎪20＝83，因此所求的概率P ＝838＝13.6．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．记X 为比赛决出胜负时的总局数，则X 的数学期望是( )A.20183 B.21483 C.22481D.23981解析：选C 用A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.X 的所有可能取值为2,3,4,5，且P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)·P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)·P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为：E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.二、填空题7．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－－2 5－－4 ＝59. 答案：598.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为________．解析：由茎叶图可知6名工人加工零件数分别为17,19,20,21,25,30，平均值为16×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，则优秀工人有2名，从该车间6名工人中，任取2人共有C 26＝15种取法，其中至少有1名优秀工人的共有C 14C 12＋C 22＝9种取法，由概率公式可得P ＝915＝35.答案：359．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p 的取值范围是________．解析：由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 三、解答题10．某市教育局为了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市高三学生的体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)．已知P (X ≤75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位的概率；(2)记抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间(75,85)内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题意知，P (80≤X <85)＝0.5－P (X ≤75)＝0.2，P (85≤X <95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P (75<X <85)＝1－2P (X ≤75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B (3,0.4)，P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝C 13×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝C 23×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列为：数学期望E (ξ)11．(2018届高三·云南11校跨区调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体．若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)组距d＝5，由5×(0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015)＝1，得a＝0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.(3)由已知，这种植物果实的优质率p＝0.9，且X服从二项分布B(3,0.9)，P(X＝0)＝0.13＝0.001，P(X＝1)＝C13×0.9×0.12＝0.027，P(X＝2)＝C23×0.92×0.1＝0.243，P(X＝3)＝0.93＝0.729，所以X的分布列为：故数学期望E(X)＝np＝2.7.12．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：①若规定记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x 2，a ^＝y －b ^x .解：(1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为742×24＝4,18名男同学中应抽取的人数为742×18＝3，故不同的样本的个数为C 424C 318.(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3， ∴ξ的取值为0,1,2,3.∴P (ξ＝0)＝C 34C 37＝435，P (ξ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝3)＝C 33C 37＝135.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.②∵b ^＝526812≈0.65，a ^＝y －b ^x ＝83－0.65×76＝33.60.∴线性回归方程为y ^＝0.65x ＋33.60. 当x ＝96时，y ^＝0.65×96＋33.60＝96. ∴可预测该同学的物理成绩为96分．B 卷——大题增分专练1．(2018届高三·湖南十校联考)为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率.的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )＝35.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，35，故E (X )＝10×35＝6.(2)设该县山区居民户年均用电量为E (Y )，由抽样可得E (Y )＝100×550＋300×1550＋500×1050＋700×1550＋900×550＝500(度)．则该自然村年均用电量约150 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150 000度，能为该村创造直接收益150 000×0.8＝120 000 元．2．《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《Super Brain 》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4. (1)请将上述列联表补充完整；(2)判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由；(3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．下面的临界值表仅供参考：⎝⎛ 参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d ，其中n ＝)a ＋b ＋c ＋d解：(1)因为在100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4，所以不喜欢《最强大脑》的大学生人数为100×0.4＝40，其中男生有10人，则女生有30人，列联表补充如下：(2)由表中数据得K 2＝100× 40×30－20×10 260×40×50×50≈16.667>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下能认为喜欢《最强大脑》与性别有关．(3)X 的所有可能取值为0,1,2. 依题意知，X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.所以X 的分布列为故数学期望E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65.3．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X ). 解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝236. 4．(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)x ＝15×(2＋5＋8＋9＋11)＝7，y ＝15×(1.2＋1＋0.8＋0.8＋0.7)＝0.9.∑i ＝15x 2i ＝4＋25＋64＋81＋121＝295， ∑i ＝15x i y i ＝2.4＋5＋6.4＋7.2＋7.7＝28.7，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5xy∑i ＝15x 2i －5x 2＝28.7－5×7×0.9295－5×72＝－2.850＝－0.056， a ^＝y －b ^x ＝0.9－(－0.056)×7＝1.292.∴线性回归方程为y ^＝－0.056x ＋1.292. (2)∵b ^＝－0.056＜0，∴y 与x 之间是负相关．11 当x ＝6时，y ^＝－0.056×6＋1.292＝0.956.∴该店当日的营业额约为9 560元．(3)样本方差s 2＝15×(25＋4＋1＋4＋16)＝10， ∴最低气温X ～N (7,3.22)，∴P (3.8＜X ≤10.2)＝0.682 7， P (0.6＜X ≤13.4)＝0.954 5，∴P (10.2＜X ≤13.4)＝12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. ∴P (3.8＜X ≤13.4)＝P (3.8＜X ≤10.2)＋P (10.2＜X ≤13.4)＝0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.。

2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训6 古典概型与几何概型文

专题限时集训(六) 古典概型与几何概型[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2017·衡阳二模)同学聚会上，某同学从A 、B 、C 、D 四首歌中选出两首歌进行表演，则歌曲A 未被选取的概率为( ) A.13 B ．12 C.23D ．56B [从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个，其中A 未被选取的结果有3个，所以所求概率P ＝36＝12.故选B.]2．(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( ) A.310 B.58 C.710D.25D [由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25，故选D.]3．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为( )【导学号：04024069】A.34B.23C.12D.13D [由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，所以所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π6π＝13，故选D.]4．(2017·莆田一模)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( ) A.π8B.π4C.12D.34B [任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.]5．(2017·武汉二模)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12D.13D [如图所示，设与y ＝x 平行的两直线AD ，BF 交圆C 于点A ，D ，B ，F ，且它们到直线y ＝x 的距离相等，过点A 作AE 垂直于直线y ＝x ，垂足为E ，当点A 到直线y ＝x 的距离为1时，AE ＝1，又CA ＝2，则∠ACE ＝π6，所以∠ACB ＝∠FCD ＝π3，所以所求概率P ＝2π32π＝13，故选D.]二、填空题6．(2017·乌鲁木齐三模)不透明盒子里装有大小质量完全相同的2个黑球，3个红球，从盒子中随机摸取2个球，颜色相同的概率为________．25[设黑球编号为A 1，A 2，红球编号为B 1，B 2，B 3，则从盒子中随机摸取2个球的情况有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10种，其中颜色相同的有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共4种，所以所求概率为P ＝410＝25.]7．(2016·河南市联考)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{}4，6，8，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________.【导学号：04024070】23[要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0.又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.]8．(2017·郴州三模)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为________． 29[(a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29.]三、解答题9．(2017·枣庄模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市某年12月中旬的空气质量指数情况：(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率.【导学号：04024071】[解](1)该试验的基本事件空间Ω＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}，基本事件总数n ＝10.设“市民不适合进行户外活动”为事件A ，则A ＝{13,14,19,20}，包含的基本事件数m ＝4，所以P (A )＝410＝25，即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25.(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(11,12)，(12,13)，(13,14)，(14,15)，(15,16)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，(19,20)}，基本事件总数n ＝9，设“适合连续旅游两天的日期”为事件B ，则B ＝{(11,12)，(15,16)，(16,17)，(17,18)}，包含的基本事件数m ＝4，所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49.10．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y ∈R ，且1≤x ≤6,1≤y ≤6，求满足a·b >0的概率；(2)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率． [解](1)用B 表示事件“a·b >0”，即x －2y >0．1分试验的全部结果所构成的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 2分构成事件B 的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y >0}， 3分如图所示．所以所求的概率为P (B )＝12×4×25×5＝425．6分(2)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个.9分用A 表示事件“a·b ＝－1”，即x －2y ＝－1.则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个． 11分 ∴P (A )＝336＝112．12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2017·太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.13 B.23 C.12D.34C [记两道题分别为A ，B ，所以抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种．其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.]2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )【导学号：04024072】A.14B.13C.12D.23C [如图所示，取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →，故AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.]3．已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( ) A.136 B.118C.112D.16C [由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C.]4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78C [如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S 三角形S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.]二、填空题5．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________. 512[试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.]6．(2017·合肥一模)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是________．14 [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．故所求概率为2－12＋2＝14.]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.【导学号：04024073】[解] (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1}，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件组成．4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}．6分事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12．8分(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件．由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19.11分由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89．12分8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)若直线l ：x ＋y －5＝0，求点P (b ，c )恰好在直线l 上的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率． [解](1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分所以所求概率为P 1＝416＝14．6分(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立.7分 ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.8分③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.9分④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.10分由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)， 11分所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316．12分。

2018版高考数学二轮复习第2部分必考补充专题第20讲古典概型、几何概型理

第20讲古典概型、几何概型（对应学生用书第114页）、选择题1. （2017 •全国I 卷）如图20-1，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）【导学号：07804128】图 20-1A.C.B [（概率中的数学文化）不妨设正方形 ABCD 勺边长为2,则正方形内切圆的半径为 1, 可得S 正方形=4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑=S 白=令圆=于,故选B.]2 . （2017 •深圳一模）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字 6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A.-D.C [从4个球中随机选取三个球，共有（2,3,4） , （2,3,6） , （2,4,6） , （3,4,6）四种情况，其中所选的三个球上的数字能构成等差数列的为（2,3,4） , （2,4,6）,故所求事件1的概率为2故选C .]B.D.所以由几何概型知所求概率P = FS E 方形“2B.A丹C13. （2017 •福州五校联考）小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口•已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为 40秒，黄灯5秒，红灯45秒•如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于3A .4D.D ［法一：（直接法）设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事法二：（间接法）设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于 20秒”为事件 A其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于 40 + 20 140+ 5+ 45 = 3,选 D.]4.（2016 •全国n 卷）从区间［0,1］随机抽取2n 个数刘，X 2,…，x n , y 1, y 2，…，y n ,构成n 个数对（X 1, y” , （X 2,汨，…，（X n , y n ），其中两数的平方和小于1的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 n 的近似值为（）20秒的概率是B.件A ,则P (A = 45 + 5-2040+ 5+ 4513，选 °，20 秒”，1B. 2n m4m C. _D.2mnC ［因为X 1,X 2,…，x n , y 1, y 2,…，r jlcBI fA工拟的方法可得4m n=孑]5. （2017・福建高三4月质量检查）某食品厂做了 3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐 3种卡片才可获奖，则购买该食品 4袋，获奖的概率为（3一S 正方形A. C.B.D.nV 2[鱼缸底面正方形的面积为22= 4，圆锥底面圆的面积为n .所以"鱼食能被鱼缸n内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1 ―玄，故选A.]7. （2017 •沈阳一模）将A B , C, D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是（）1 A.^B.D.B [A , B, C, D 4名同学排成一排有 A 4 = 24种排法•当A ,C 之间是B 时，有2X 2 = 4种排法，当代C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率为三¥ =1，故选B.]& （2017 •河南平顶山一模）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有 4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）【导学号：07804129】92A.— B. —44 44 3537 C.- D. — 444C [白球没有减少的情况有：抓出黑球，放回任意球，概率是8；抓出白球，放回白 8，-.C 4 •A 3 6X64「，丄 B [P （获奖）=-^一= -8- = ©•故选 B.]（2017 •湖南长沙四县联考）如图20-2，在一个棱长为 2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则"鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）3 3"46. 13515 5 15 35球，概率是3x話88故所求事件的概率为5+护45故选C.]9. （2017 •太原二模）如图20-3，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点1 ____落在小正方形内的概率为 5则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）1 B.- e 1 D. 1 —-e0<x <e , 又不等式组 0<y <e ,xy <eA-5 5 1B.2.55D.B [法一：（直接法）设大正方形的边长为 1 ,直角三角形较大的锐角为a ，则小正方形的边长为sin a — cos a ，所以（sin21—cos a)=5,所以a — cos a2sin a cos a4=5，所以sin攀故选B. 5法二：（排除法）由赵爽弦图可知,n直角三角形较大的锐角一定大于壬,所以其正弦值定大于 ¥，故排除选项 A , C, D,选B.]10. （2017 •福建宁德一模）若从区间（0 , e ）（e 为自然对数的底数，e = 2.718 28…）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为（C.A [设随机选取的两个数为的区域面积为e 2,0<x <e ,x , y ，由题意得|0<y <e ,该不等式组在坐标系中对应在坐标系中对应的区域面积为e +〈=2e ,•••所求概率1x为&故选A.］11.（湖南五市十校联考）在矩形ABCD中, AB= 2AD在CD上任取一点P,A ABP的最大边是AB的概率是（）2 9A.B. D.3- 1D ［分别以A B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交 CD 于 P i , F 2, 则当P 在线段PF 2间运动时，能使得△ ABP 的最大边是AB 易得 PF 2 CD即厶ABP 的最大边是 AB 的概率是，3— 1.］"x + y —4W012. （2017 •云南统一考试）在平面区域$x>0内随机取一点（a , b ），则函数f （x ）y>o=ax 2 — 4bx +1在区间［1 ,+^）上是增函数的概率为B.D.B ［不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界1 2AB 不包括边界 OA OB ，贝U &AO F -x 4X 4= 8.函数 f （x ） = ax 24b —4bx + 1在区间［1 ,+^）上是增函数，则应满足 a >0且x =a >0W 1,即 <，可得对应的平面区域如图中阴影部分（包括边界OC BC 不包括a >2 bj a = 2b边界OB ，由a +b — 4=08 4 1 4 8，解得 a =3, b = 3，所以 S A CO = ?x 4x ?=?，根据8 3 1几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为=；,故选B.］ 8 32A B11321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为【导学号：07804130】32316二、填空题13. （2013 •全国n 卷）从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数1之和等于5的概率为14，则n =8 ［由题意知n > 4,取出的两数之和等于 5的有两种情况：1,4和2,3 ,所以P = C =1 2 帀即n -n-56= 0,解得n=- 7（舍去）或n= 8.】14. （2017 •湖南百所重点中学联考则圆 C ： x 2+ （y — 2）2= 1 与圆O）若a 是集合{1,2,3,4,5,6,7} 中任意选取的一个元素， x 2+ y 2= a 2内含的概率为 _____________ . 47 ［由圆 C ： x 2+ (y — 2)2= 1与圆O x 2+ y 2= a 2内含，可知|a — 1|>2，解得a <— 1或 a >3.又 a € {1,2,3,4,5,6,7}4所以a 只能取4,5,6,7四个数，故所求事件的概率为-.］15. （2017 •郑州三模）已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生 0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9 表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数:0.3 ［由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有 421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为—=0.30.］16. （2017 •江西红色七校二模且与抛物线y = x 2及x）已知直线l : x + y — 6 = 0与x 轴交于点 A,与y 轴交于点B,轴正半轴围成图形 Q , 若从Rt △ AOB 区域内任取一点 Mx , y ），则点M 取自图形 Q的概率为1627［如图所示，由定积分可求得阴影部分图形1Q 的面积 S = 2x 2d x + 6(6 — x) d x =aJ 。

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- 1 - 十二、计数原理与古典概率一、选择题

1．【2018届南宁市高三摸底】的展开式中项的系数为（） A. 80 B. C. D. 48 【答案】B

【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B. 2．【2018届广东省德庆县香山中学高三第一次模拟】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种. A. 36 B. 30 C. 12 D. 6 【答案】A

本题选择A选项. 3．【2018届北京西城161高三上期中】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，在一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．

A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】B - 2 -

【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有24C条，再从F处到G处最短路程有13C条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为2143=18CC条.选B. 4．【2018届云南省名校月考一】4511xx的展开式中3x的系数为（） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】B

5．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）

A. 360种 B. 210种 C. 60种 D. 30种【答案】C 【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列，因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以，同理2次向前是没有顺序的,再除以，接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是， - 3 -

则共有种；本题选择C选项. 6．【2018届江西省南昌市高三上摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（） A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种【答案】A 【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A种安排方法，则此时有42648种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A种安排方法，则此时有32636种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A种安排方法，则此时有32636种编排方法；则符合题意要求的编排方法有363648120种；故选A． 7．【2018届广东省德庆县香山中学高三第一次模拟】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（） A. 36 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】B - 4 -

本题选择B选项. 8．若323012354xaaxaxax，则0213aaaa ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】323012354xaaxaxax，令1x，则30123021311aaaaaaaa，故选A.

9．【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（）

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中

任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率. 10．【2017届云南省红河州高三检测】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2, 3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；从以上五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为（） A. 13 B. 110 C. 310 D. 23 【答案】C - 5 -

11．【2017年浙江省源清中学9月月考】把7个字符1，1，1，A，A， ， 排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有（） A. 12种 B. 30种 C. 96种 D. 144种【答案】C

【解析】先排列A,A,α,β,若A,B不相邻,有22623AC种,若A,B相邻,有363A种，共有6+6=12种，从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有3121205C，

若A,A相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有36244C，故三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有120−24=96种，故选：C. 12．【2017年浙江卷】已知随机变量i满足P（i=1）=pi，P（i=0）=1—pi，i=1，2.若0则（） A. 1E< 2E， 1D< 2D B. 1E< 2E， 1D> 2D C. 1E> 2E， 1D< 2D D. 1E> 2E， 1D> 2D 【答案】A 【解析】∵1122,EpEp，∴12EE， ∵1112221,1DppDpp，- 6 -

∴12121210DDpppp，故选A．二、填空题

13．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若的展开式各项系数之和为64，则___；展开式中的常数项为___．【答案】 6 -540

14．【2017年浙江卷】已知多项式31x 2x2=5432112345xaxaxaxaxa，则4a=________________， 5a=________.

【答案】 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为： 22323222rrmmmrmmrmCxCxCCx，分别取0,1rm和1,0rm可得441216a，取rm，可得25124a．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rnrrrnTCab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 15．【2017年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42; - 7 -

16．【2017年浙江省源清中学9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则1的概率是_______；随机变量期望是_______. 【答案】 35 1 【解析】根据题意知ξ=0，1，2，

314

0356CPC；

21342

1356CCPC；

21124

2356CCPC；

所以1310121555E. 故答案为： 315，. 三、解答题 17．现有6道数学题，其中4道选择题， 2道填空题，小明从中任取2道题，求：（1）所取的2道题都是选择题的概率；（2）所取的2道题不是同一种题型的概率. 【答案】（1）25；（2）815. - 8 -

【解析】试题分析：（1）将题目进行编号，列举出所有从中任取2道题的所有基本事件，找出所取的两道题都是甲类题的基本事件，利用古典概型计算即可；（2）找出所取的两道题不是同一类题的基本事件，利用古典概型计算结果. 试题解析：设4道选择题编号为1234,AAAA,2道填空题编号为12,BB,从中任取2题有（12,AA）（13,AA）（14,AA）（11,AB）（12,AB）（23,AA）（24,AA）（21,AB）（22,AB）（34,AA）（31,AB）（32,AB）（41,AB）（42,AB）（12,BB）共15种 (1)其中两道题都是甲类题的基本事件共有6 种，由古典概型概率公式可得两道题都是甲类题的概率为P=62155. (2) 其中两道题不是同一类题的基本事件共有6 种，由古典概型概率公式可得两道题不是同一类题的概率为P=815. 18．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．（1）求恰有2人选修物理的概率；（2）求学生选修科目个数的分布列及期望．【答案】（1）827（2）6527E 【解析】

试题解析：（1）解：这是等可能性事件的概率计算问题. 解法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式2242C种，

从而恰有2人选修物理的概率为224428327C 解法二：设对每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“选修物理”为事件A，则1()3PA从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为