-学年高一上学期数学课件(北师大版必修一)第三章 指数函数和对数函数 §4.4.1(一)

ln N 的自然对数 logeN 一般简记为______.
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探究点一 导引 问题 1
对数的概念
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庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭． 如果取 4 次还有多长？
14 1 答 (2) ＝16. 问题 2 取多少次，还有 0.125 尺？ 1x 答 (2) ＝0.125，求出 x＝3.
探究点二 问题 1
答
对数与指数的关系
当实数 a>0，a≠1 时，对任何正实数 N，如何说明
因为对任何实数 a(a>0，a≠1)，指数函数 y＝ax，x∈R
logaN 存在并且是唯一的？
的值域是(0，＋∞)，所以，对于任何正实数 N，logaN 是存在 的，并且由于指数函数是单调函数，所以 logaN 是唯一的． 问题 2
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小结 通常我们将以 10 为底的对数称为常用对数． 为了简便 起见，对数 log10N 简记作 lg N；在科学技术中，常常使用以 e 为底的对数，这种对数称为自然对数．e＝2.718 28…是一 个无理数．正数 N 的自然对数 logeN 一般简记为 ln N.
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探究点三 问题 1
答
对数的基本性质
在对数式 x＝logaN 中， 底数 a 和真数 N 的取值范围
a 和真数 N 的取值范围分别是 a>0， 且 a≠1， (0， ＋∞)． 由
分别是什么，为什么？
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于对数式中的底数 a 就是指数式中的底数 a，所以 a 的取值 范围为 a>0，且 a≠1；由于在指数式中 ax＝N，而 ax＞0，所 以 N＞0.
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问题 3
2000 年我国国民经济生产总值 a 亿元，如果按平均
每年增长 8%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是 2000 年的 2 倍？
答 假设经过 x 年，国民经济生产总值是 2000 年的 2 倍，依 题意，有 a(1＋0.08)x＝2a，即 1.08x＝2，求出 x.
自的地位有什么不同？
a 指数式 ax＝N 指数的底数 对数式 x＝logaN 对数的底数 N 幂 真数 x 幂指数 对数
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例1
将下列指数式写成对数式： 4 1 －3 4 (1)5 ＝625；(2)3 ＝ ；(3) 8 3 ＝16； 27 (4)5α＝15.
问题 4
答
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像问题 2 和问题 3 中， 已知底数和幂的值求指数， 就
一般地，如果 a(a＞0，a≠1)的 b 次幂等于 N，即 ab＝N.
是我们要学习的对数．那么你能给对数一个定义吗？
那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数．记作：logaN＝b.其中 a 叫 作对数的底数，N 叫作真数．logaN 读作以 a 为底 N 的对数．
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跟踪训练 1 将下列对数式写成指数式： 1 log log 1 16＝－4；(2)log3243＝5；(3) 1 (1) ＝3； 27 2 3 (4)lg 0.1＝－1.
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1 －4 解 (1)( ) ＝16； 2 (2)35＝243； 13 1 (3)( ) ＝ ； 3 27 (4)10 1＝0.1.
解 (1)log5625＝4；
本 课 时 栏 目 开 关og515＝α.
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小结
logaN＝x 与 ax＝N(a>0，且 a≠1，N>0)是等价的，表
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示 a，x，N 三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表 示第三个量．
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问题 5 在指数式 ab＝N 中，通过怎样的运算能分别求得 a， N，b?
答 已知 a，b，通过乘方运算可求幂 N；而已知 b，N，则可 通过用开方运算或分数指数幂运算求底数 a；已知 a，N，则 可通过对数运算求指数 b.
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问题 2 若 ab＝N，则 b＝logaN，二者组合可得什么等式？
答 对数恒等式： loga N
a
＝N.
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问题 3 答
当 a>0，且 a≠1 时，loga(－2)，loga0 存在吗？为什 不存在，因为 loga(－2)，loga0 对应的指数式分别为 ax
10 为底 的对数叫作常用对数．为 2．常用对数：通常我们将以________ lg N 了简便起见，对数 log10N 简记作_______.
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3．自然对数：在科学技术中，常常使用以 ___ e 为底的对数，这 种对数称为自然对数．e＝2.718 28…是一个无理数．正数 N
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填一填· 知识要点、记下疑难点
1．对数的定义：一般地，如果 a(a＞0，a≠1)的 b 次幂等于 N，
logaN＝b 即 ab＝N.那么数 b 叫作__________ 记作： __________. 以 a 为底 N的对数．
真数 ． logaN 读作 底数 ， N 叫作 ______ 其中 a 叫作对数的 ______ 以 a 为底 N 的对数 ． ________________
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4.1
【学习要求】
对数及其运算(一)
1．理解对数的概念，理解指数与对数的关系，掌握对数的 性质； 2．能比较熟练地进行指数式与对数式互换； 3．了解常用对数、自然对数的概念，会求简单的对数值． 【学法指导】 通过指数式与对数式的互化，感受对数式是指数式的另一种 表达形式，进一步体会运用指数式探求对数的基本思路及方 法，发展数学表达能力和严谨有序的思维品质.
答
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当 a>0，且 a≠1 时，若 ax＝N，则 x＝logaN，反之
反之也成立，因为对数表达式 x＝logaN 不过是指数式 ax
成立吗？为什么？
＝N 的另一种表达形式，它们是同一关系的两种表达形式．
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问题 3
答
在指数式 ax＝N 和对数式 x＝logaN 中，a，x，N 各