习题课——充分条件与必要条件的综合应用
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 充分条件与必要条件的综合应用
实数的取值范围是________________.
[解析]因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件,
− ≤ ,
所以 ⊆ .所以ቊ
解得− ≤ ≤ ，
+ ≥ ,
即实数的取值范围是{| − ≤ ≤ }.
7.已知不等式3 + ≥ 0成立的充要条件为 ≥ 2,求的值.
当 = 时,方程 − + = 有实根 = ,而当方程 − + = 有实根时不
一定是 = ,所以 = 是方程 − + = 有实根的一个充分不必要条件.
6.已知 = {| − 4 < < + 4}, = {|1 < < 3},“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件,则
第一章
习题课 充分条件与必要条件的综合应用
A级 必备知识基础练
1.下列四个条件中,使 > 成立的充分不必要条件是() B
A. > − 1B. > + 1C.2 > 2 D. > 2
2.已知集合 = {| Байду номын сангаас 2 < < + 2}, = {| ≤ −2，或 ≥ 4},则 ∩ = ⌀的充要
= 1（答案不唯一）
个充分不必要条件可以是_____________________.
[解析]因为方程 − + = 有实根,所以 ≥ ,即(−) − ≥ ,解得 ≤ .
反之,当 ≤ 时, ≥ ,则方程 − + = 有实根,
所以 ≤ 是方程 − + = 有实根的充要条件.
解3 + ≥ 0化为 ≥
高中数学必修一第一章 2.1 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用 (2)
第一章预备知识§2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={1,a 2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A ∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“a=2”时,显然“A ∩B={4}”;但当“A ∩B={4}”时,a 可以为-2,故不能推出“a=2”.2.若p :x-1≤1,q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(-∞,-2),p :x-1≤1,解得x ≤2.设A={x|x ≤2},B={x|x ≤a },因为p 是q 的充分不必要条件,所以A 是B 的真子集.则a>2.故选A .3.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x ≤-2,或x ≥4},则“A ∩B=⌀”的充要条件是( )A.0≤a ≤2B.-2<a<2C.0<a ≤2D.0<a<2A ∩B=⌀,得{a -2≥-2,a +2≤4,故0≤a ≤2.4.已知p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,若q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .,命题p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,因为q 是p 的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2,即实数m 的取值范围是(2,+∞).+∞)5.在△ABC 中,判断“∠B=∠C ”是否是“AC=AB ”的充要条件.“在三角形中,等角对等边”,所以∠B=∠C ⇒AC=AB ;又因为“在三角形中,等边对等角”,所以AC=AB ⇒∠B=∠C.从而∠B=∠C ⇔AC=AB ,因此△ABC 中,“∠B=∠C ”是“AC=AB ”的充要条件.6.求证:“关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.充分性)因为ac<0,所以一元二次方程ax 2+bx+c=0的判别式Δ=b 2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x 1,x 2,则x 1x 2=c a<0,所以方程的两根异号.即方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根.(必要性)一元二次方程有一正根和一负根,设为x 1,x 2,则由根与系数的关系得x 1x 2=c a <0,即ac<0.综上可知,“一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.7.设p :x>a ,q :x>3.(1)若p 是q 的必要不充分条件,求a 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围;(3)若a 是方程x 2-6x+9=0的根,判断p 是q 的什么条件.A={x|x>a },B={x|x>3}.(1)若p 是q 的必要不充分条件,则有B ⫋A ,所以a 的取值范围为{a|a<3}.(2)若p 是q 的充分不必要条件,则有A ⫋B ,所以a 的取值范围为{a|a>3}.(3)因为方程x 2-6x+9=0的根为3,则有A=B ,所以p 是q 的充要条件. 关键能力提升练8.已知p :|x|<a (a>0),q :-1<x+1<4,若p 是q 的充分条件,则a 的取值范围是 ,若p 是q 的必要条件,则a 的取值范围是 .:-a<x<a ,q :-2<x<3,若p 是q 的充分条件,则(-a ,a )⊆(-2,3),所以{-a ≥-2,a ≤3,故a ≤2. 若p 是q 的必要条件,则(-2,3)⊆(-a ,a ),所以{-a ≤-2,a ≥3,则a ≥3.-∞,2] [3,+∞)9.设集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|ax=1},若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a 组成的集合.A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,∴B⫋A.当B=⌀时,得a=0;当B≠⌀时,由题意得B={1}或B={2}.当B={1}时,得a=1;当B={2}时,得a=12.综上所述,实数a组成的集合是0,1,12.10.(2020江苏高邮中学高一月考)已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.充分性(条件→结论)因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.(2)必要性(结论→条件)因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,而a2-ab+b2=a-b22+3b24,又ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a-b22≥0,且3b24>0,所以a2-ab+b2=a-b22+3b24>0,所以a-b=0成立.综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.11.已知p:0<x+m<3m(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.p解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有{-m≥0,2m≤4,m>0,解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有{-m≤0,2m≥4,m>0,解得m≥2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).学科素养拔高练12.证明:如图,“梯形ABCD为等腰梯形”的充要条件是“AC=BD”.(必要性)在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠DCB.又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB(SAS),∴AC=BD.②(充分性)如图,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.∵AD∥BE,DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC.∵AC=BD,∴BD=DE.∴∠E=∠1.又∵AC∥DE,∴∠2=∠E,∴∠1=∠2,在△ABC和△DCB中,{AC=D B,∠2=∠1, BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴AB=DC.∴梯形ABCD为等腰梯形.综上可得,“梯形ABCD为等腰梯形”的充要条件是“AC=BD”.。
习题课——充分条件与必要条件的综合应用
习题课——充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知a,b∈R,则“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b<b<-a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析∵a+b<0,∴a<-b,b<-a,∵a<0,b>0,∴a<-b<0<b<-a,因此充分性成立;∵a<-b<b<-a,∴-b<b,a<-a,∴b>0,a<0,∵a<-b,b<-a,∴a+b<0,因此必要性成立,综上“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b<b<-a”的充分必要条件,故选C.答案C2.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是()A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<2--⇔0≤a≤2.解析A∩B=⌀⇔答案A3.“3x2-8x-3<0”的一个必要不充分条件是()A.-<x<3B.-<x<4C.-<x<D.-1<x<2解析3x2-8x-3<0⇔(3x+1)(x-3)<0⇔-<x<3⇒-<x<4.故选B.答案B4.已知条件p:a=-1,条件q:直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,则p是q的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,所以a2+a=0,解得a=0或a=-1;即q:a=0或a=-1;所以由p能推出q;q不能推出p;即p是q的充分不必要条件.故选C.答案C5.“log2a<log2b”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若log2a<log2b,则0<a<b,所以>0,即“log2a<log2b”不能推出“”,反之也不成立,因此“log2a<log2b”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.答案D6.命题p:|x|<a(a>0),命题q:x2-x-6<0,若p是q的充分条件,则a的取值范围是,若p是q的必要条件,则a的取值范围是.解析p:-a<x<a,q:-2<x<3,若p是q的充分条件,则(-a,a)⊆(-2,3),--故a≤2.所以若p是q的必要条件,则(-2,3)⊆(-a,a),--则a≥3.所以答案(-∞,2][3,+∞)7.下列四个命题中为真命题的是.(填序号)①“a>b”是“2a>2b”的充要条件;②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件;③“函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a=0”;④“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“-=1”.解析①真命题,∵y=2x在R上是增函数,∴a>b⇔2a>2b;②假命题,当a=b<0时,lg a,lg b无意义;③真命题,f(x)是奇函数⇔f(-x)+f(x)=0⇔ax2-bx+ax2+bx=0⇔ax2=0⇔a=0;④假命题,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,-无意义.答案①③8.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.解p:-1≤x≤4,q:3-m≤x≤3+m(m>0)或3+m≤x≤3-m(m<0),解得m≤-4或m≥4.依题意,--或--故实数m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解由题意可知,(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充要条件.(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充要条件.(3)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件.10.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2.证明(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,所以方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2, 由根与系数的关系知,x1·x2=1>0,所以x1,x2同号.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数.即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根,设其为x1,x2,且x1·x2=1,所以--即或-所以m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m≥2.综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充分必要条件.能力提升1.直线l1∥直线l2的一个充分条件是()A.l1∥平面α,l2∥平面αB.l1⊥l3,l2⊥l3C.l1平行于l2所在的平面D.l1⊥平面α,l2⊥平面α解析由线面垂直的性质定理知答案选D.答案D2.“a=b”是“直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则圆心(a,b)到直线x-y+=0的距离d==1,即|a-b+|=,解得a-b=0或a-b=-2,即“a=b”是“直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的充分不必要条件,故选A.答案A3.已知向量a=(x,y),b=(cos α,sin α),其中x,y,α∈R.若|a|=4|b|,则使a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是()A.λ>3或λ<-3B.λ>1或λ<-1C.-3<λ<3D.-1<λ<1解析由已知得|b|=1,所以|a|==4.所以a·b=x cos α+y sin α=sin(α+φ)=4sin(α+φ)≤4.因为a·b<λ2成立,所以λ2>4,解得λ>2或λ<-2.这是a·b<λ2成立的充要条件,因此,λ>1或λ<-1是a·b<λ2成立的一个必要不充分条件,故选B.答案B4.在下列电路图中,分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:(1)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(2)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(3)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(4)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件.解析(1)开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;(2)仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故开关A闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件;(3)开关A不起作用,故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件;(4)开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只须开关A或C闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件.答案(1)充要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要(4)充分不必要5.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为,若p是q的必要条件,则m的最小值为.解析由|x|≤m(m>0)得:-m≤x≤m,p是q的充分条件⇒ --⇒0<m≤1,∴m的最大值为1.p是q的必要条件⇒ --⇒m≥4,∴m的最小值为4.答案1 46.已知条件P={x|x2-3x+2≤0},条件S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.解(1)P={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,即-此方程组无解,则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,当S=⌀时,1-m>1+m,解得m<0;当S≠⌀时,1-m≤1+m,解得m≥0;要使S⊆P,则有-解得m≤0,综上可得,当实数m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.7.已知p:-<0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.解由-<0(m>0),解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有-或-解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有-或-解得m≥2或m>2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).。
充分条件与必要条件(经典练习及答案详解)
充分条件与必要条件1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B．2．(2020年佛山高一期末)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x ＝1或x＝3，不是必要条件．故选A．3．(2021年荆州期末)x2＜9的必要不充分条件是()A．－3≤x≤3 B．－3＜x＜0C．0＜x≤3 D．1＜x＜3【答案】A【解析】x2＜9即－3＜x＜3.因为－3＜x＜3能推出－3≤x≤3，而－3≤x≤3不能推出－3＜x＜3，所以x2＜9的必要不充分条件是－3≤x≤3.4．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件【答案】BD【解析】因为A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac ＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；因为B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；因为C中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；因为D中{a|a＜5}{a|a＜3}，故“a＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D为真命题．故选BD．5．(多选)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是()A．r是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．r是s的充分条件而不是必要条件．【答案】AB【解析】由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，由此得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确，p⇒q，B正确，r⇒s且s⇒r，D不正确．故选AB．6．“m＝9”是“m＞8”的________条件，“m＞8”是“m＝9”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要条件必要不充分条件【解析】当m＝9时，满足m＞8，即充分性成立，当m＝10时，满足m＞8，但m＝9不成立，即必要性不成立，即“m＝9”是“m＞8”的充分不必要条件，“m＞8”是“m＝9”的必要不充分条件．7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【答案】{a|a<1}【解析】p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，即p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.8．下列说法正确的是________(填序号)．①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．【答案】①【解析】①中，当x＞1时，有x>0，所以①正确；②中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以②不正确；③中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以③不正确．9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0.(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2.(3)p：a能被6整除；q：a能被3整除．(4)p：两个角不都是直角；q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q 是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．B级——能力提升练10．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0，即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0，(a －b )a 2可以为0，所以“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．11．已知a ，b 为实数，则“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“a ＋b >4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A ．12．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0≤a ≤12 【解析】因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1＞1，解得0≤a ≤12. 13．(2020年大庆高一期中)已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：2＜x ＜3.若q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为________．【答案】{a |－1≤a ≤6} 【解析】因为p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x＜3.若q 是p 的充分条件，则{x |2＜x ＜3}⊆{x |a －4＜x ＜a ＋4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a ≤6.所以实数a 的取值范围为{a |－1≤a ≤6}．14．若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件；(2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件；(3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．解：(1)集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }．(1)若A ∪B ＝R ，则b ≥－2，故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b ≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.C级——探究创新练15．已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β，证明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要条件．证明：(1)充分性：由韦达定理，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.设y＝x2＋ax＋b，则y＝x2＋ax＋b的图象是开口向上的抛物线．又|α|＜2，|β|＜2，所以当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，即有－(4＋b)＜2a＜4＋b.因为|b|＜4，所以4＋b＞0，即2|a|＜4＋b.(2)必要性：令y＝x2＋ax＋b，由2|a|＜4＋b，得当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，因为|b|＜4，所以方程y＝0的两根α，β同在{x|－2＜x＜2}内或无实根．因为α，β是方程y＝0的实根，所以α，β同在{x|－2＜x＜2}内，即|α|＜2且|β|＜2.。
充分条件与必要条件习题课 课件(共24张PPT)
（3）“a=0”的一个充分条件是______ 的充分条件；
5.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（ A ） A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
二、例题 例1.求证：∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的 充要条件 证明：（1）充分性 ∵∠A=∠B=60o ∴∠C=60o ∴△ABC为等边三角形 （2）必要性 ∵△ABC为等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60o 故∠A=∠B=60o 综上所述，∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形 的充要条件
充分条件、必要条件和充要条件的联系和区别： (1)若 p q ，但 p q ， 则 p 是 q 的充分不必要条件； (2)若 p q ，但 p q ，
p
则 p 是 q 的必要不充分条件；
(3)若 p q ，但 p q ，
则 p 是 q 的充要条件； (4)若 p q ，但 p q ， 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件；
（1）先找p的必要条件 即再由 p 成立
q，则q为p的必要条件 p ，则q为p的充分条件
（2）再证明q为p的充分条件
即再由 q 成立
（3）由(1)(2)就可下结论：p的充要条件为q
三、练习 1.已知命题“若p，则q”，则下列说法正确的有 __________ （ 3）（4） （1）若原命题为真命题，则 p是q的充要条件； （2）若原命题的逆命题为假命题，则q不是p的必要条件； （3）若原命题的否命题为真命题，则q是p的充分条件； （4）若原命题的逆否命题为真命题，则q是p的必要条件；
o 思考：若求证的是“∠ A= ∠ B=60 的一个充要条件是 要证明充要条件，必须分别证明充分性和必要性！ △ABC为等边三角形”呢？
1.2充分条件与必要条件课件(习题课)
充分条件、必要条件、充要条件的应用
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取 值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要 条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个 集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等 式(组)进行求解． 例3 已 知 p ： － 2≤x≤10 ， q ： x2 － 2x ＋ 1 － m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数 m的取值范围． 【思路点拨】 先求不等式的解集，然后根据充 分条件的意义建立不等式组求解即可．
(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是 矩形”； 而由“四边形是矩形”可以推出“四边形 的对角线相等”，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (3)当 x＝ 1 或 x＝ 2 时，x－ 1＝ x－ 1显然成立；而 解方程 x－1＝ x－ 1，可得 x＝1 或 x＝2，所以 p 是 q 的充要条件．
课堂检测
1．(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－ A 2)＝0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：.a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0⇒a＝1或2， 故选A. 2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sinθ＝0”成立，反之 不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．
若p，则q ，其中“p”是 2．命题的结构：__________
结论 ． 条件，“q”是_____
知新益能 1．充分条件和必要条件 “若 p ，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可 p⇒q ，并且说 p 是 q 的 _____ 充分 条 以得出 q ，记作 ______ 必要 条件． 件，q是p的_____ 2．充要条件 p⇒q ，又有_____ q⇒p ，就记作p⇔q， (1)如果既有_____ 充要条件． p是q的充分必要条件，简称_____ p⇔q ，那么p与q互为充要 (2)概括地说：如果______ 条件．
充分条件与必要条件练习题及答案
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根,q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ］A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1,x2的值分别为1,－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明:判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是［] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2,b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q:x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p,p是q的充分非必要条件;对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；⇒⇒⇔对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的［］A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的必要条件,∴C D②⇔C B C B∵是成立的充要条件，∴③由①③得A C④由②④得A D．∴D是A成立的必要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5,命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．解 解不等式|x －2｜＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件,选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A,条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A（B ∪C ），条件A B 是［ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C ）．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A（B ∪C ），但AB 不成立, 综上所述:“A B ”“A（B ∪C ）”，而“A (B ∪C ）”“AB ”．即“AB ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明:画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p:ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0;(2)p:xy ≥0，q ：｜x|＋｜y ｜＝|x ＋y|;（3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1｜＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有[ ］A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组分析 使用方程理论和不等式性质． 解 （1）p 是q 的必要条件(2）p 是q 充要条件 （3）p 是q 的充分条件（4）p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112⎧⎨⎩+⎧⎨⎩x 269分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222⇒+⎧⎨⎩⎧⎨⎩x x x x x x 1212126933 说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩ ⇔⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d"是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题）， ∴c ≤d a ＜b （逆否命题)． 而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件． 答 填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是［ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时,x ＝－．故排除、、选．12A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s,r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；（s r q,qs ）r 是q 的充要条件；（r q ，q s r) p 是q 的必要条件；（q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0AB A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析 化简A 和B,结合数轴，构造不等式（组），求出a ．解 A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2＋1｝，B ＝{x ｜（x －2)［x －(3a ＋1）］≤0｝当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝｛x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路,表达准确，推理无误．例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y要条件？分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y xxy-则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩y xy故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011x y x y xy x yx y xy 0()x y xy 0⎧⎨⎩2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪1111x yx y说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件?分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ⇒⇒⇔解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥ a b p q (p a b a 4b 0)2a b 2111⎧⎨⎩⎧⎨⎩(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么［］A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1:由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。
充分条件与必要条件习题
(1)p：(x－1)(x＋ 2)≤0， q： -2≤x≤ 1；
练习：已知 M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是 “a∈N”的________条件．
3．集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间 的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件 难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
1．定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，根据两个命题是否正确， 来确定 p 与 q 之间的充要关系．其基本步骤是：
优化方案P13 （2）
（2） 已知 x， y 为两个正整数， p： x≠2 或 y≠3， q： x＋y≠5， 则 p 是 q 的________条件．
二、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1)பைடு நூலகம்
B A 2) A B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q充分不必要条件
3)
p是q必要不充分条件
4)
A
B
A =B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q不充分不必要条件
p是q的充要条件
【规律小结】
充分条件、必要条件、充要条件的判定：
变式 3：若﹁p 是 q 的必要不充分条件” ，求 m 的范围。
变式 4：是否存在 m 的范围，使 p 是 q 的充要条件” ， 。
【规律小结】
(1) 解决此类问题一般是把充分条件、必要条
件或充要条件转化为集合之间的关系 ， 然后根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 ¬ p是¬ q的充分 不必要 ( 必要不充分、充要 ) 条件 ， 则 p 是 q 的必要不充分 ( 充分 不必要、充要)条件．