《切线性质与判定》练习题
切线的性质和判定练习题
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1切线的性质与判定练习题班级姓名例1、已知：如图，同心圆O,大圆的弦AB=CD，且AB 是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．例2、已知如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是直径AB 同侧圆周上两点，且，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.例3、如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，求证EA是⊙O的切线.例4、如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O 于点C,交AB的延长线于点D，∠ACD=120°,BD=10．(1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．例5、如图所示，AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线，求证:AD∥OC.例6如图,在Rt△ABC中,∠B=90°，∠A的平分线交BC 于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。
2求证:(1)AC是⊙D的切线;（2）AB+EB=AC。
例7、如图，AB为⊙O的直径,BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．例8、已知:如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E. 求证：BE=CE.例9、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E,若∠EAC=∠CAP，求证:PA是⊙O的切线．练习题：1。
切线的判定和性质习题
切线的性质和判定专题训练 一、选择题 1．下列命题正确的是( ) A. 经过半径外端的直线是圆的切线 B. 直线和圆有公共点，则直线和圆相交 C. 过圆上一点有且只有一条圆的切线 D. 圆的切线垂直于半径 2．如图，PA切⊙O于点A，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O半径是( )
A. B. 1 C. 2 D. 4 3．如图，AB、AC分别与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的动点，则∠BPC的度数是( )
A. 65° B. 115° C. 65°和115° D. 130°和150° 4．如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C=36°，则∠ABD的度数是( )
A. 72° B. 63° C. 54° D. 36° 5．如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°，AB=2，则⊙O的面积为_____。
6. 如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=____，∠C=_____，若⊙O的 半径为R，则AC=_____。
7. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（ ） 二．计算与证明： 1. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
2. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。 求证：AC与⊙O相切。 3. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
4、如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc
D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。
的半径为厂，圆心。
到直线/的距离为丈 ①直线/和0。
相交②直线 /和。
相切od=r ；③直线/和。
0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。
C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。
，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。
C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。
是MBC 的内切圆，切点为。
、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。
人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）
2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。
与圆有关的位置关系-切线的判定与性质专题复习练习题
与圆有关的位置关系-切线的判定与性质专题复习练习题1．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝55°，∠TAC＝55° D．∠ATC＝∠B2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠C ＝40°，则∠ABO的度数是( )A．50° B．40° C．25° D．20°3. 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连结OB交⊙O 于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．5 B．6 C．7 D．84. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A.12B.22C.32D.335. 如图，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、B ，且与CD 相切，若正方形ABCD 的边长为2，则⊙O 的半径为( )A ．1 B.52 C.43 D.546. 如图所示，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于______时，AC 才能成为⊙O 的切线．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠DCB＝30°，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若AB ＝4，则DE 的长为_______.8. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连结OC.若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的度数为_______9. 如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF∥AB，则EF 的长度为______．10. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是_______．11. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D ，求证：AC 是⊙O 的切线．12. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上(异于A 、B 两点)，AD⊥CD. (1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．13. 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．答案：1---5 DCDAD6. 60°7. 2 38. 80°.9. 2 310. 2 211. 证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD.∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．12. 解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝AB2－BC2＝52－32＝4.(2)证明：∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切．13. 解：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4.∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8，∴NB＝AB2－AN2＝43，∴B(43，2)．(2)证明：连结MC，NC，∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝∠NCB＝90°.在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝12NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD. ∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC.∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD.∴直线CD是⊙M的切线．。
圆的切线的判定与性质练习题
圆的切线的判定与性质一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例3 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例3已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.练习题1.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.3（2008黄冈市）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．4. 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.5.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC 的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.（1）证明CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.6．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A，B，⊙O1的半径为17，⊙O 2的半径为10，O 1O 2=21，求AB 的长．7．如图，已知⊙O 1与⊙O 2交于A ，B 两点，过A 的直线交两圆于C ，D 两点，•G•为CD 的中点，BG 及其延长线交⊙O 1，⊙O 2于E ，F ，连结DF ，CE ，求证：CE=DF ．8.某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为5cm 的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD 的长9．如图，⊙O 1和⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1弦交⊙O 2于E ，⊙O 2弦AD 交⊙O 1于F ，若∠CAB=∠DAB ，求证：CE=DF 。
切线的性质与判定习题课专题
《切线的性质与判定习题课》专题班级 姓名1.切线的性质：①切线和圆只有 公共点；②切线和圆心的距离等于 ；③圆的切线 过切点的半径。
2. 切线的判定定理： .3. 当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接 ，得到半径，那么切线 这条半径。
4. 证明切线的方法：①当直线与圆有明确公共点时， ，证明直线 半径；②当直线与圆有没有明确公共点时，过圆心作直线的 ，证明垂线段 半径；5. 如图1，AB 与⊙O 切于点A ，⊙O 半径为3，AB ＝4，则OB ＝______6. 如图2，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ， ⊙O 半径为3，∠APO = 30°，那么AP = .7. 如图3，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10cm ，小圆半径为6cm ，则弦AB 的长为 cm 。
8. 如图4，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 与C ，若∠A=25°，则∠D ＝ 。
9. 如图5，∠ACB=60°，半径为1cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 cm 。
10. 如图6，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，如果⊙P 以1cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过 秒后⊙P 与直线CD 相切。
B OA 图1O C B A 图3 BOCA图5图2 AOD B PCCB OD图411. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=40°， 求∠C 的度数。
12. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，求证：PE 是⊙O 的切线13.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，（1）求证：点E 是BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线。
切线的性质及判定练习题
切线的性质及判定练习题一、填空题1、⊙O是ΔABC的外接圆，∠BOC=120°，∠BAC=2、⊙O半径为5，点O （0，0），则点P（4，2）在⊙O （填外、内）3、ΔABC中，AB=6，BC=8，AC=12，⊙O与ΔABC三边AB，BC，CA分别切于D、E、，F，则AD= ，BE= ，CF=4、直角三角形两直角边为3、4，则内切圆半径为，外接圆半径为5、如图1，PA，PB切⊙O于A，B,点 C、E分别在PA、PB上，且CE切⊙O于D，若PA=5cm ，则ΔPCE周长为；若∠P=50°，∠COE=6、圆的外切梯形ABCD中，AD∥BC,周长为20，则中位线长为7、等腰梯形各边与圆都相切，腰长为9cm，圆的直径为6cm，则梯形面积为8、⊙O内切于ΔABC，BC切⊙O于D，BD=3，DC=2, ΔABC周长为18，则AB长为9、正三角形的内切圆半径为，则正三角形边长为10、如图2，⊙O切ΔABC三边于D、E、F，∠A=40°，则∠FDE=11、如图3，AB、AC切⊙O于B、C，∠A=50 °，点P是⊙O上异于B、C的一个动点，∠BPC=12．圆中最大弦长为12，如果直线与圆相交，设直线与圆心的距离为d，则d的取值范围是____________ 。
13．Rt△ABC的斜边AB长为4，直角边AC长为2，若AB与⊙C相切，则⊙C的半径为_________。
14．已知OA=3，∠OAB=30°，以O为圆心，以3长为半径的圆与直线AB的关系是_________。
15．如图7—55，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=70°，则∠C=_________度。
16．如图7—56，AB 切⊙O 于C ，AO 交⊙O 于D ，AD 的延长线交⊙O 于E ，若∠A=40°，则⋂EmC 的度数是_________。
二、选择题1．⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为cm 36，以O 为圆心，以3cm 为半径作圆能与弦AB 有（ ）公共点。
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《切线性质与判定》练习题 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（ ） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ） A．20° B．30° C．35° D．40°
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（ ） A．80° B．50°或130° C．100° D．40°
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ） A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5） 6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（ ） A．8 B．16 C．16π D．8π 8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（ ） A．50° B．60° C．70° D．75° 9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ） A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
第7题图 第8题图 第9题图
11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①AD⊥BC； ②∠EDA=∠B； ③OA=AC； ④DE是⊙O的切线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
第10题图 第11题图 第12题图
12．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二．填空题（共6小题） 13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为 ． 14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，∠P=50°，∠C= ．
第13题图 第14题图 第15题图
15．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是 ．若∠P=5O°，那么∠DOE= ． 16．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则AD的长为 ． 17．已知：如图，在△ABC中，CB=3，AB=4，AC=5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为 ．
第16题图 第17题图 第18题图
18．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于H．若OH=3，AB=12，BO=13．则弦AC的长为 ． 三．解答题 19．．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC，AD平分∠EAC。求证：BC是圆O的切线． 20．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点F，交BC于点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．求证：DF是⊙O的切线；
21．如图，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交PO于C点，求证：PC=CD．
22．如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，点C是OB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，点D是切点，连接AD交OB于点E．求证：CD=CE． 23．如图，PA切⊙O于点P，AB交⊙O于C，B两点，求证：∠APC=∠B． 24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC．
25．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由．
26．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E． 求证：DE是⊙O的切线； 27．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，⊙P与OA相切于D，求证：OB与⊙P相切． 28．如图，△OAB为等腰三角形，OA=OB=2，AB=2，以O为圆心的⊙O半径为1， 求证：AB与⊙O相切．
29．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE⊥AC于E． 求证：（1）DB=DC；（2）DE为⊙O的切线．
《切线的性质与判定》典型例题 1．如图，AB是⊙0的直径，AE是弦，EF是⊙0的切线，E是切点，AF⊥EF，垂足为F，求证：AE平分∠FAB 2．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，=．求证： （1）AD∥OC； （2）CD是⊙O的切线．
3、如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
3．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．求⊙O的直径BE和线段BC的长。 4．如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，连接OB、OC． 求证：∠BOC=90°﹣∠A．
2016年11月12日切线性质与判定学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．（2013•保定校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5） 【解答】解：作PH⊥MN于H，连结PQ，PM， ∵M（2，0），N（0，8）， ∴OM=2，ON=8， ∴MN=6， ∵PH⊥MN，
∴HM=HN=MN=3， ∴OH=OM+MH=2+3=5， ∵⊙P与x轴相切于点Q， ∴PQ⊥x轴， ∴四边形OQPH为矩形， ∴PQ=OH=5， ∴PM=PQ=5， 在Rt△PMH中，PH==4，
∴P（4，5）． 故选D． 2．（2012•合川区模拟）如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：连接AC，BC，如图所示：
∵PC为圆O的切线， ∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P， ∴△ACP∽△CBP，
∴=， 又∵PC=2，PA=1， ∴BP==4． 故选B 3．（2012•温州模拟）如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20° 【解答】解：∵PA为圆O的切线， ∴PA⊥AO， ∴∠PAO=90°，又∠PAB=40°， ∴∠BAO=90°﹣40°=50°， 又∵OA=OB， ∴∠BAO=∠B=50°， 则∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°． 故选A
4．（2011•集美区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，PC切⊙O于C交AB的延长线于点P，∠CAP=35°，那么∠CPO的度数等于（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径）， ∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）； 又∠CAP=35°， ∴∠OCA=35°，∠POC=70°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； 又∵PC切⊙O于C， ∴OC⊥BC， ∴∠PCO=90°； 在Rt△POC中，∠CPO=90°﹣∠POC（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠CPO=20°； 故选B．
5．（2011•樊城区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：连接OC， ∵CD是切线， ∴∠OCD=90°， ∵∠A=35°， ∴∠COD=2∠A=70°， ∴∠D=90°﹣70°=20°． 故选A．
6．（2002•呼和浩特）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（ ）
A．80° B．50°或130° C．100° D．40° 【解答】解：连接AB， 由切线长定理知AP=BP， ∠PAB=∠PBA=（180°﹣∠P）÷2=50°， 由弦切角定理知，∠C=∠PAB=50°， 若C点在劣弧AB上，则根据圆内接四边形的性质知，∠C=180°﹣50°=130°， 由选项，知只有B符合．