大学物理竞赛辅导——刚体

v v v v v = vB + ω × r′ ——平面运动刚体上任一点的速度 ——平面运动刚体上任一点的速度
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5、车轮（圆柱体）的无滑滚动 、车轮（圆柱体） 若滚动车轮边缘上各点与支 撑面接触的瞬时， 撑面接触的瞬时，与支撑面 无相对滑动，则称车轮作无 无相对滑动，则称车轮作无 滑滚动（纯滚动） 滑滚动（纯滚动）。 车轮（ 中心） 车轮 （ 中心 ） 前进的距离与 转过的角度的关系： 转过的角度的关系： dx dθ =r x = rθ ⇒ dt dt dvC dω 则 vC = rω ⇒ =r dt dt aC = rβ 或 ——无滑滚动的条件 ——无滑滚动的条件
（m = ∫ dm ）
分量形式： 分量形式：
xC =
∫ xd m
m
yC =
∫ ydm
m
zC
∫ zdm =
m
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dm = λdl , 或σdS , 或ρdV
（1）只要质量分布和几何形状有相同的对称轴， ）只要质量分布和几何形状有相同的对称轴， 质心必在此对称轴上。 质心必在此对称轴上。
y
y
o
匀质半圆 x 盘：质心 在x轴上 轴上
2 ⇒ v A = vC + (ωr ) 2 = 2vC
G
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的圆环静止在水平地面上， 时刻 例2、半径为 的圆环静止在水平地面上，t=0时刻 、半径为R的圆环静止在水平地面上 沿直线纯滚动。任意t>0 开始以恒定的角加速度β沿直线纯滚动。任意 时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿， ＿＿＿＿，最 时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿，最 高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。 ＿＿＿＿＿。(2001第18届非 高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。 第 届非 物理类专业大学生物理竞赛试题) 物理类专业大学生物理竞赛试题 质心参考系： 质心参考系：圆环上任一点 a t = Rβ 2 2 2 2 a n = Rω = R( β t ) = Rβ t a 纯滚动条件） 地面参考系： 地面参考系： C = Rβ （纯滚动条件） v aC C 2 最低点： a 最低点：1 = (ac − at )2 + an = Rβ 2 t 2
1 1 2 2 A = Jω2 − Jω1 外 2 2 1 1 2 2 A + A = J2ω2 − J1ω1 外 内 2 2
3、刚体的重力势能 、刚体的重力势能 一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集 中在质心时所具有的势能一样。 中在质心时所具有的势能一样。 Ep = mgzC
均质圆盘
y R
为质量的面密度， 令σ 为质量的面密度，则 质心坐标为： 质心坐标为：
O′
O″ C
r
xCO d
·
r
x
挖空
xC
系统可看作虚线圆盘＋ 系统可看作虚线圆盘＋剩下部分
d
0 + − d ⋅ σ ⋅ πr ） （ = 2 2 σ ⋅ πR − σ ⋅ πr d =− 2 (R / r ) − 1
2
1 ∴ J x = mR 2 2
3 由平行轴定理， 由平行轴定理， x′ = J x + mR = mR 2 J 2
2
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x′ x
o
2
m
R
3、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 、 （1）刚体定轴转动对轴的角动量定理 z ）刚体定轴转动对轴的角动量定理 v dL ——微分形式 微分形式 M外 = v F r dt α
3、角速度矢量 、
v
dθ 大小： v 大小： ω = ω = dt ω
方向:与转向成右手螺旋关系。 方向 与转向成右手螺旋关系。 与转向成右手螺旋关系
v v
v r
v v v v =ω×r a t = rβ
a n = rω
2
3
4、刚体的平面（平行）运动 、刚体的平面（平行） 定义：刚体上各点均在平面内运动， 定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些 平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面 固定平面平行 平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面 平行）运动。 （平行）运动。
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的半圆， 例4、一均匀铁丝弯成半径为 的半圆，求其质心。 、一均匀铁丝弯成半径为R的半圆 求其质心。 y 由对称性， 解： 由对称性，xC = 0
yC
∫ yd m =
m
C R dθ
dl y
o 思路：先取微元， 思路：先取微元，再积分 任取线段元dl,其质量 其质量dm=λdl, 任取线段元 其质量 λ 为质量线密度。 为质量线密度。 ∫ yλdl yC = m 技巧： 技巧：统一积分变量 π ∫ Rsinθ ⋅ λ ⋅ Rdθ
v v 质心运动定理（ 质心运动定理 适用于惯性系） F外 = m aC ——质心运动定理（适用于惯性系）
v 若F外 = 0 ⇒刚体的动量守恒
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v v p = m vC
求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 例3、如图所示， 、如图所示， 解： 由对称性分析，质心 应在 轴上。 由对称性分析，质心C应在 轴上。 应在x轴上
刚体
(Rigid Body) Body)
天津工业大学物理系
徐克平
1
一、刚体运动的描述 1、刚体的平动 、 可以用任一点 通常选质心 的运动来代表。 任一点（ 质心） 可以用任一点（通常选质心）的运动来代表。 2、刚体的定轴转动 、 （1） 角量描述 ） 角坐标 ：θ = θ(t) 角位移： 角位移：∆θ
A= ∫ M θ d
θ1
θ2
对刚体，内力矩不作功： 外 对刚体，内力矩不作功： A = ∫ M外dθ
θ1
θ2
Hale Waihona Puke 202、刚体定轴转动的动能定理 、 （1）刚体定轴转动的转动动能 ）刚体定轴转动的转动动能 （2）刚体定轴转动的动能定理 ）刚体定轴转动的动能定理
1 Ek = Jω2 2
对非刚体： 对非刚体：
dθ ω 角速度： 角速度： = dt
dω d 2θ 角加速度： = 2 角加速度：β = dt dt
2
（2）匀变速转动的规律 ）匀变速转动的规律
ω = ω 0 + β t 1 θ − θ0 = ω0 t + β t2 2 ω 2 − ω 02 = 2 β (θ − θ 0 )
v ∑m r =
i
· C· ·m · r · · · ·r
×
i c i
z
i
o
y
m
x
（ m = ∑ mi ） 分量形式： 分量形式：
∑mi xi xC =
m
∑mi yi yC =
m
∑mi zi zC =
m
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质量连续分布： 质量连续分布： 连续分布
z r o
v rC =
v ∫rdm m
x
dm ×C rc m y
R
2 a 2 = (ac + a t ) 2 + a n 最高点： 最高点：
= ( 2 Rβ ) 2 + ( R β 2 t 2 ) 2 = R β 4 + β 2 t 4
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二、刚体的动量和质心运动定理 1、刚体的质心 、 质量分立分布： 分立分布 质量分立分布： 质心C的位矢为 质心 的位矢为
v rC
车轮滚动 木梯下滑
处理方法：可看作随基点的平动 随基点的平动和 处理方法 ： 可看作 随基点的平动 和绕过基点 固定平面）的转动的合成 的合成。 轴（⊥固定平面）的转动的合成。
1 B
2 A
B
A
A′
刚体由1→2可分为 可分为 刚体由
1′
1 → 1′ 平动） （平动） 1′ → 2 转动） （转动）
4
y
v r
y′
B
A v r′ θ
刚体∥ 刚体∥固定平面的截面
v rB
基点（ 基点 任取） x′ B——基点（任取） v v v 对刚体上A点 对刚体上 点：r = rB + r ′
x o
v r ′ — — A点相对基点 B的位矢
v v v dr drB dr ′ v v v v v v ⇒ = + ⇒ v = v B + v′ v′ = ω × r ′ dt dt dt v ω — —刚体绕过基点轴的角 速度矢量
z M 对 轴的力矩 z = rF sinα v v α r F的夹角） （ 为 逆时针转至 的夹角）
L2
v v v M = r ×F
∴∫ M外dt = ∫ dL= L2 − L1
t1 L1
t2
t2
角冲量（冲量矩） 角冲量（冲量矩）
对定轴刚体， 对定轴刚体，
积分形式 M外dt = Jω2 − Jω1 ——积分形式 ∫
Jz = Jx + J y
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z
o
ri
xi
证明： 证明： Jz = ∑mi ri2 = ∑mi ( xi2 + yi2 ) yi y = ∑mi xi2 + ∑mi yi2 = J y + Jx
mi
x ′轴平行于 x 轴
x
y
例5、均匀薄圆环：求Jx , Jx′ 、均匀薄圆环： 由对称性， 由对称性， Jx = J y 由垂直轴定理， 由垂直轴定理，x + J y = J z = mR J
t1
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t2
对非刚体， 对非刚体，
∫ M dt = J ω − J ω
外 2 2 t1
1 1
（2）刚体定轴转动的角动量守恒定律 ）刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M外 = 0 ⇒ L守恒 角动量定理、角动 角动量定理、 量守恒定律和 量守恒定律和转动 4、刚体定轴转动的转动定律 、刚体定轴转动的转动定律 定律适用于 适用于惯性系 定律适用于惯性系 M外 = Jβ 质心系！ 和质心系！ 四、刚体定轴转动的动能定理 1、力矩的功 、